山西省长治市2020届高三上学期第二次联考 数学（文）（扫描版含答案）

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共 4 页，第 1 页 长治市 2019 年高三年级九月份统一联考（文科）数学答案 1--5 C B A D D 6----10 C B B C B 11,12 C D 13. )1,( e 14. 22 15. 8 3 16.①②① 17.解 (1)当 n＝1 时，a1＝2， 当 n≥2 时，  2222 11   nnnnn aaSSa ，即 2 1  n n a a ， ①数列 }{ na 为以 2 为公比的等比数列，① n na 2 ； (2) nb ＝2n·log22n＋1＝(n＋1)·2n， { 푇푛 = 2 × 2 + 3 × 22 + ⋯ + 푛 · 2푛−1 + (푛 + 1) · 2푛, 2푇푛 = 2 × 22 + 3 × 23 + ⋯ + 푛 · 2푛 + (푛 + 1) · 2푛+1, 两式相减，得－ nT ＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1＝－n·2n＋1， ① nT ＝n·2n＋1. 18.(1)证明 设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO，如图所示． 因为底面 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点， 又因为 E 为 PD 的中点，所以 EO①PB， 而 EO①平面 AEC，PB ①平面 AEC，所以 PB①平面 AEC.……6 分 (2)解 ABADABPAV 6 3 6 1  ， 由 4 3V ,可得 2 13)2 3(1,2 3 22  PBAB 作 AH①PB 交 PB 于点 H. 由题意可知 BC①平面 PAB，所以 BC①AH， 因为 PB∩BC＝B，所以 AH①平面 PBC. 又 13 133 PB ABPAAH ，所以点 A 到平面 PBC 的距离为 13 133 .……12 分 19. 解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 28)(,4 2 7 1   i i ttt ， 646.27,55.0)( 2 7 1  i i yy ，    7 1 7 1 7 1 89.232.9417.40))(( i i i ii i ii ytytyytt ， 共 4 页，第 2 页 99.0646.2255.0 89.2 r 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回 归模型拟合 y 与 t 的关系．……6 分 (2) 由 331.17 32.9 y 及(1)得 92.04103.0331.1ˆˆ,103.028 89.2ˆ  tbyab 所以 y 关于 t 的回归方程为 ty 10.092.0ˆ  . 将 2020 年对应的 t＝13 代入回归方程得푦̂＝0.92＋0.10×13＝2.22. 所以预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 2.22 亿吨．……12 分 20.解：（Ⅰ）焦点到准线的距离为 2，即 2p  .，所以求抛物线C 的方程为 2 4xy …2 分 （Ⅱ）抛物线的方程为 2 4xy ，即 21 4yx ，所以 1 2yx  ……………3 分 设  11,A x y ，  22,B x y ，   2 11 11: 42 xxl y x x      2 22 22: 42 xxl y x x   由于 12ll ，所以 12 122 xx   ，即 12 4xx  ……………5 分 设直线 l 方程为 y k x m，与抛物线方程联立，得 2 4 y kx m xy    所以 2 4 4 0x kx m   216 16 0km    ， 1 2 1 24 , 4 4x x k x x m      ，所以 1m  ……………7 分 即 :1l y kx 联立方程 2 11 2 22 24 24 xxyx xxyx     得 2 1 xk y    ，即：  2 , 1Mk ……………8 分 M 点到直线l 的距离 2 22 212 1 1 11 kkkd kk     ……………9 分      222 1 2 1 21 4 4 1AB k x x x x k     ……………10 分 共 4 页，第 3 页 所以     2 3 222 2 211 4 1 4 1 42 1 k S k k k          ……………11 分 当 0k  时， M A B 面积取得最小值 4. ……………12 分 21.解：（Ⅰ）因为 xaxxf ln2 12)('  ，且 1x 是极值点， 所以 02 12)1('  af ，所以 4 1a .……………1 分 此时 xxxf ln2 1 2)('  ，设 )(')( xfxg  ，则 x x xxg 2 21 2 1)('  . 则当 20  x 时， 0)(' xg ， )( xg 为减函数. 又 ()g 10, 02ln2 1)2( g ， 所以在 10  x 时， 0)( xg ， )( xf 为增函数； 21  x 时， 0)( xg ， )( xf 为减函数. 所以 x 1为 )( xf 的极大值点，符合题意. ……………4 分 （Ⅱ）当 2x 时， 0)(' xg ， )( xg 为增函数，且 02ln22 3)4( g ， ()g 20 所以存在  ,xx（ ）,002 4 0g 当 02 xx  时， 0)( xg ， )( xf 为减函数； xx 0 时， 0)( xg ， )( xf 为增函数，所以函数 )( xf 存在唯一的极小值点 0x .……………6 分 又 03ln1)3( g ，所以 43 0  x ，……………8 分 且满足 0ln2 1 2 0 0  xx . 所以 )4 30(4ln24)( 0 2 0 00 0 2 0 0 ， xxxxxxxf .……………12 分 (其中 0)( 0 xf 也可以用如下方式证明：（请对照给分） )ln2 1 4(ln24 1)( 2 xxxxxxxxf  ，设 xxxh ln2 1 4)(  ， 则 x x xxh 4 41 4 1)('  . 则当 40  x 时， 0)(' xh ， )(xh 为减函数；当 4x 时， 0)(' xh ， )(xh 为增函数. 所以 02ln22 3)4()(  hxh 所以在 0)( xf ，所以 0)( 0 xf ) 共 4 页，第 4 页 (其中 4 3)( 0 xf 也可以用如下方式证明： 当 2x 时， 0)(' xg ， )( xg 为增函数，且 02ln22 3)4( g ， 所以存在 ）（ 4,20 x ，当 02 xx  时， 0)( xg ， 所 以 当 01 xx  时， 0)( xg ， 所 以 )( xf 在 01 xx  时 为 减 函 数 ， 所 以 4 3)1()( 0  fxf ) 22.解：（1）由题意：曲线 的直角坐标方程为 ．.……………4 分 （2）设直线 的参数方程为 cos 1 sin xt yt        （ 为参数）代入曲线 的方程有： ，.……………………6 分 设点 对应的参数分别为 ，则 ， 则 ， ，.…………………8 分 ∴ ，∴直线 的方程为 ．.……………………………10 分 23.解：(1)当 a＝－3 时，f(x)＝    －2x＋5，x≤2， 1，2

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