数学文卷·2018届湖南省邵阳市洞口一中高三上学期第一次月考（2017

数学文卷·2018届湖南省邵阳市洞口一中高三上学期第一次月考（2017

洞口一中2018届高三第一次月考 文科数学试题 考试时间：120分钟；命题： 审题：‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题只有一个正确答案！每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设集合，集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知与之间的几组数据如下表:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎ 则与的线性回归方程必过（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知实数， 满足则的最小值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎5．甲在微信群中发布总金额6分钱的“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知直线y=b/2与椭圆： 交于两点，若椭圆的两个焦点与两点可以构成一个矩形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．如图，为正方体，下面结论：①平面；②；③平面；④直线与所成的角为45°．其中正确结论的个数是( )‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎8．函数的部分图象可能是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．执行如图所示的程序框图，如果输出的值为，则输入的值可以是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知点， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线： ，当其离心率 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．已知向量满足，，且，则实数__________．‎ ‎14．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎15．如果，那么= .‎ ‎16． 体积为的球面上有三点，，，两点的球面距离为，则球心到平面的距离为_______________.‎ 三、解答题（共70分，其中第17--21题为必考题，第22、23题为选考题）‎ ‎（一）必考题P A B D C O ‎ ‎ ‎17．（本题12分）如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎18．（本题12分）已知数列的前项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎19．（本题12分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：‎ 愿意被外派 不愿意被外派 合计 ‎70后 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎80后 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排4名参与调查的70后员工参加．70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，现采用随机抽样方法从报名的员工中选4人，求选到愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数的概率．‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎（参考公式： ，其中）‎ ‎20．（本题12分）在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.‎ ‎(I )求顶点A的轨迹方程；‎ ‎(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围 ‎21．（本题12分）已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线的方程；‎ ‎（2）若不等式 对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题（考生在以下两题中选一题作答）‎ ‎22．（本题10分）选修4－4：坐标系与参数方程 直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）若，求圆的直角坐标方程与直线的普通方程；‎ ‎（2）设直线截圆的弦长等于圆C的半径长的倍，求的值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎（本题10分）已知函数.‎ ‎（1）当时, 解不等式；‎ ‎（2）若存在,使得成立, 求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】由题意得， ，则的共轭复数是，故选D.‎ ‎2．D ‎【解析】由，解得 或 . 或 ， ‎ ‎，又集合 ， ，故选D. ‎ ‎3．C ‎【解析】解：由已知得到,又因为与的线性回归方程必过因此答案选择C ‎4．D ‎【解析】作出可行域：‎ 所以当取B时目标函数取得最小值-4-1=-5‎ ‎5．D ‎【解析】分钱分成份，可能性有，第一个分法有种，第二个分法有种，第三个分法有种，其中符合“最佳手气”的有种，故概率为.‎ ‎6．C ‎【解析】因为椭圆的两个焦点与两点可以构成一个矩形，所以等于焦距，则椭圆经过点,所以.‎ ‎7．D ‎【解析】‎ 由正方体的性质得， ，所以， 平面 ，故①正确．由正方体的性质得 ，而 是 在底面 内的射影，由三垂线定理知， ，故②‎ 正确．由正方体的性质得 ，由②知， ，所以， ，同理可证 ，故 垂直于平面内的两条相交直线，所以， ⊥平面 ，故③正确．异面直线与所成的角就是直线 与 所成的角，故 为异面直线与所成的角，在等腰直角三角形 中， ，故④正确．‎ 点睛：求异面直线所成角的常见方法——平移法.将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）.常利用平行四边形或三角形中位线来构造平行线.‎ ‎8．A ‎【解析】为奇函数,排除B;‎ ‎,函数单调递增，排除C,D;‎ 故选A.‎ ‎9．D ‎【解析】非奇非偶函数,不正确;‎ 偶函数,不正确;‎ 非奇非偶函数,不正确;‎ 是奇函数,且为增函数,满足,‎ 故选D.‎ ‎10．D ‎【解析】由程序框图知，第1次循环后， ,‎ 第2次循环后， ，‎ 第3次循环后， ，‎ 由题意知，此时不满足，退出循环，输出，所以，故选D.‎ ‎11．C ‎【解析】由题知，则 ‎，则．故本题答案选．‎ 点睛:本题主要考查向量的线性运算与坐标运算.向量的坐标运算主要是利用向量加,减,数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标,向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算的完全代数化,将数与形紧密结合起来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟悉的数量运算.‎ ‎12．D ‎【解析】由题意可得： ，‎ 设双曲线的渐近线与 轴的夹角为 ，‎ 双曲线的渐近线为 ，则 ，‎ 结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎13．‎ ‎【解析】很明显，则：，‎ 据此有：，解得：.‎ ‎14．‎ ‎【解析】 ，切线方程为 即 点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎。‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎17．（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要证，需先证平面，由于平面易证，故有，又因为，则证得平面；（2）综合法是先找到二面角的一个平面角，不过必须根据平面角的定义证明，然后在中解出的三角函数值.‎ 试题解析：（1）连接，由知，点为的中点，‎ 又∵为圆的直径，∴，‎ 由知，，‎ ‎∴为等边三角形，从而． 3分 ‎∵点在圆所在平面上的正投影为点，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴， 5分 由得，平面，‎ 又平面，‎ ‎∴． 6分 P A B D C O E ‎（2）（综合法）过点作，垂足为，连接． 7分 由（1）知平面，又平面，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴平面，又平面，∴， 9分 ‎∴为二面角的平面角． 10分 由（Ⅰ）可知，，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴在中，，‎ ‎∴，即二面角的余弦值为． 14分 考点：1、线线垂直和线面垂直的证明，2、二面角的计算.‎ ‎18．（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据公式 ，当时，求数列的首项，当时， ，两式相减得到 ，求得 ，即数列是等比数列，求通项公式；（Ⅱ） ，利用分组求和.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵ ‎ ‎∴时， ，即，解得；‎ 时， ……………………① ‎ ‎ …………………②‎ 由①-②得，所以 ‎ ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，即 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ‎∴ ‎ ‎=‎ ‎19．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）． ‎ ‎【解析】试题分析：（1）本问考查独立性检验，根据列联表中的数据，计算，并将所得结果与所给表格中的临界值进行对照，从而判断有多大把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”；（2）本问考查古典概型概率公式问题，关键是确定基本事件空间总数及事件A所包含的基本事件个数，基本事件空间可以采用列表法、树状图法，列举法等表示，本问中“愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数”即“愿意被外派人数为人或人”，确定其包含的基本事件个数，就可以求出从其概率.‎ 试题解析：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ 所以有90% 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”．‎ ‎（Ⅱ）设后员工中报名参加活动有愿意被外派的人为，不愿意被外派的人为，现从中选人，如图表所示，用表示没有被选到，‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎(可以以不同形式列举出15种情况) ‎ 则“愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数”即“愿意被外派人数为人或人” ‎ 共种情况，则其概率．‎ 考点：1.独立性检验；2.古典概型. ‎ ‎20． （1）（2）当k=0时，m的取值范围为；‎ 当k≠0时，m的取值范围为()．‎ ‎【解析】(I ) 且b,a, c成等差数列结合椭圆的定义求得轨迹方程；(II)将y=kx+m与椭圆方程联立，判别式大于0，根据点关于直线对称，得k、m的关系 解：（I）由题知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．‎ 由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），‎ 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为．‎ ‎∴ 顶点A的轨迹方程为．………………………………4分 ‎（II）由 消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0．∴ Δ=(‎8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0，‎ 整理得：4k2>m2-3．①令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 ‎ 设MN的中点P(x0，y0)，则 ‎，…………………7分 i)当k=0时，由题知，．……………………………8分 ii)当k≠0时，直线l方程为，由P(x0，y0)在直线l上，得，得‎2m=3+4k2．②把②式代入①中可得‎2m-3>m2-3，解得00，解得．∴ ．验证：当(-2，0)在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k无解．即y=kx+m不会过椭圆左顶点.同理可验证y=kx+m不过右顶点．∴ m的取值范围为()．………11分 综上，当k=0时，m的取值范围为；当k≠0时，m的取值范围为()．‎ ‎21．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求导得，利用导数求得斜率为，而切点，由此求得切线方程，分别令，求得，代入后利用二次函数求最值的方法求得当时有最小值，由此求得切线方程为；（2）构造函数，利用的导数，讨论函数的单调区间与最值，由此求得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）,切线斜率，切点为，所以切线的方程为，分别令 ，得切线与轴，轴的交点坐标为，，当，‎ 即时， 取得最小值，但且，所以当时，取得最小值.此时，切线的方程为，即.‎ ‎（2）设，则，①当时，因为在上单调递增，不符合题意.②‎ 当，即时，在上恒成立，在 上单调递减，于是满足题意.③当，即时,由,可得，由,可得，在上单调递增，在上单调递减，，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是.‎ 考点：导数与切线，导数与不等式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求解有关切线的问题，考查利用导数研究不等式的方法，考查分类讨论的数学思想.第一步根据题意，先利用函数的导数，利用切点和斜率，求出切线方程，这个方程是含有参数的，需要用一个方程将其解出，故令求出，代入题目所给要求最小值的式子，利用最小值求出参数的值.‎ ‎22．（1）圆的直角坐标方程为；‎ 直线的普通方程为；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）直接把极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程；‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式建立方程求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1) 时，圆的直角坐标方程为；‎ 直线的普通方程为. ‎ ‎(2)圆： ，直线，‎ ‎∵直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍 ‎ ‎∴圆心到直线的距离，‎ 得或.‎ ‎23．（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，得，从而两边平方即可求得不等式的解集；（2）由题意，得，从而令，进而用零点分段法求得的最小值，由此求得实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）当时，由得，两边平方整理得，‎ 解得或,原不等式解集为.‎ ‎（2）由得,令,则,‎ 故，从而所求实数的取值范围为.‎ 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题．‎