2020-2021年新高三数学一轮复习训练：充分条件与必要条件
2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：充分条件与必要条件
充分、必要条件的判定
1.【2020 年高考天津】设 a R ，则“ 1a ”是“ 2aa ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.【2020 年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n．“l ，m，n 共面”是“l ，m，n 两两相交”
的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．【2020·安徽省高三二模（理）】已知平面 内一条直线 l 及平面 ，则“ l ”是“ ”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．【2020·天津高三其他】已知直线 a ， b 和平面 ，若 a ， b ，则“ ab ”是“ b ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．【2020·安徽省高三二模（理）】已知平面 内一条直线 l 及平面 ，则“ ”是“ ”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．【2020·天津高三其他】已知直线 ， 和平面 ，若 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
充分、必要条件的应用
1.【2020 年高考北京】已知 ,R ，则“存在 k Z 使得 π ( 1)kk ”是“sin sin ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．【甘肃省天水市一中 2020 届高三一轮复习第一次模拟考试（理）】设函数 2 3( ) e xxfx （e 为自然底数），
则使 ( ) 1fx 成立的一个充分不必要条件是
A． 01x B． 04x
C． 03x D． 34x
3．【2020 届陕西省咸阳市高三第三次高考模拟数学(理)试题】“ 22 ”是“方程
22
12 c o s
xy
表示双
曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.【2020·山东省高三一模】南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖
暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个
平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹
在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 12,VV，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截
面的面积分别为 12,SS，则“ 总相等”是“ 相等”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志
者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
充要条件的探求
1．【2020·安徽省高三二模（理）】已知平面 内一条直线 l 及平面 ，则“ l ”是“ ”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．【2020·天津高三其他】已知直线 a ， b 和平面 ，若 a ， b ，则“ ab ”是“ b ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知 p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若 p 是 q 的充要条件，则实数 a 的值为________．
1．已知 p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
2．(多选)若 x2－x－2<0 是－2
cb2”的充要条件是“a>c”
C．“a<1”是“方程 x2＋x＋a＝0 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“a>1”是“1
a<1”的充分不必要条件
4．已知命题 p：1
a>1
4，命题 q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则 p 成立是 q 成立的________条件．(选填“充分不
必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
5．(2020·深圳模拟)对于任意实数 x，〈 x〉表示不小于 x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那
么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知集合
2 61
3
xx
Ax
≤1 ，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则实数 a 的取值范围是________．
7．求 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负实根的充要条件．
8．已知 ab≠0，求证：a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
1．“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设 a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a0，b>0，则“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若“x>1”是“不等式 2x>a－x 成立”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是( )
A．a>3 B．a<3 C．a>4 D．a<4
6．(2019·福州模拟)已知 f (x)是 R 上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f (x1)＋f (x2)＝0”的__________条件．(选
填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
7．若 x∈{－1，m}是不等式 2x2－x－3≤0 成立的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是________．
8．设 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0(其中 a>0)，q：实数 x 满足x－3
x－2≤0.若 p 是 q 的必要不充分条件，求实
数 a 的取值范围．
考点练
考向 1
1.【答案】A
【解析】求解二次不等式 2aa 可得： 1a 或 0a ，据此可知： 是 的充分不必要条件.
故选 A．
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
2.【答案】B
【解析】
【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意， ,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 / / / /m n l ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ,,mnA mlB nlC ，根据公理 2 可知 ,mn确定一个平面 ，而
,BmCn ，根据公理 1 可知，直线 BC 即 l ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选 B.
3.【答案】B
【解析】由面面垂直的定义知，当“l⊥β”时，“α⊥β”成立，
当 时， l 不一定成立，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：B．
【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.
4.【答案】B
【解析】由线面垂直的判定定理得：若 a ，b ，则“ ab ”不能推出“b ”，
由“ ”，根据线面垂直的性质定理，可得“ ”，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选 B．
5.【答案】B
【解析】由面面垂直的定义知，当“l⊥β”时，“α⊥β”成立，
当 时， l 不一定成立，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：B．
【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.
6.【答案】B
【解析】由线面垂直的判定定理得：若 a ， b ，则“ ab ”不能推出“ b ”，
由“ ”，根据线面垂直的性质定理，可得“ ”，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选 B．
考向 2
1.【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在 k Z 使得 π ( 1)kk 时，
若 k 为偶数，则 sinsin π sink ；
若 为奇数，则 sin sin π sin 1 π π sin π sinkk ；
(2)当sinsin 时， 2 πm 或 π 2 πm ， mZ ，即 π 12kk k m 或
π 121kkkm ，
亦即存在 使得 π (1) kk ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选 C．
2.【答案】A
【解析】 1fx 2 3e 1xx 2 30xx，
解得： 03x；
又“01x”可以推出“ ”，
但“ ”不能推出“ ”，
所以“ ”是“ ” 充分不必要条件.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题.
3.【答案】A
【解析】若方程表示双曲线，则 c o s 0 ，所以 22,22kkkZ ，
即“ 22
”是“方程
22
12 c o s
xy
表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A．
4.【答案】A
【解析】根据祖暅原理，当 12,SS总相等时， 12,VV相等，所以充分性成立；
当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相
等，所以必要性不成立.
所以“ 总相等”是“ 相等”的充分不必要条件.
故选 A.
5.答案 D
解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．
考向 3
1.【答案】B
【解析】由面面垂直的定义知，当“l⊥β”时，“α⊥β”成立，
当 时，l 不一定成立，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：B．
【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.
2.【答案】B
【解析】由线面垂直的判定定理得：若 a ， b ，则“ ab ”不能推出“ b ”，
由“ ”，根据线面垂直的性质定理，可得“ ”，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选 B．
3.答案 1
解析 q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1.
由 p 是 q 的充要条件知
a＝1，
a＋1＝2， ∴a＝1.
拓展练
1. B 解析 由 q：(x＋1)(2－x)<0，得 x<－1 或 x>2，又 p 是 q 的充分不必要条件，所以 k>2，即实数 k 的取
值范围是(2，＋∞)，故选 B.
2.BCD 解析 由 x2－x－2<0，解得－1c”且 b＝0 时，推不出“ab2>cb2”，故错误；
C 正确，若方程 x2＋x＋a＝0 有一个正根和一个负根，则 Δ＝1－4a>0，x1x2＝a<0，则 a<0，又 “a<1”是“a<0”
的必要不充分条件，故正确；
D 正确，“a>1”⇒“1
a<1”但是“1
a<1”推不出“a>1”，故正确．
4.充分不必要 【解析】命题 p 等价于 00 等价于
a＝0，
1>0
或
a>0，
a2－4a<0，
则 0≤a<4，所以命题 p 成立是命题 q 成立的充分不必要条件．
5.B 解析 令 x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈 0.9〉＝1，〈 x〉≠〈y〉，可知充分性不成立．当
〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈 y〉＝y＋n，m，n∈[0,1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立．所以
“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件．故选 B.
6. (－∞，0] 解析 由
2 61
3
xx
x
≤ 1 ，得 x2－x－6≥0，解得 x≤－2 或 x≥3，则 A＝{x|x≤－2 或
x≥3}．由 log3(x＋a)≥1，得 x＋a≥3，即 x≥3－a，则 B＝{x|x≥3－a}．由题意知 B A，所以 3－a≥3，解
得 a≤0.
7.解 (1)当 a＝0 时，为一元一次方程，其根为 x＝－1
2，符合题目要求．
(2)当 a≠0 时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式 Δ≥0，即 4－4a≥0，从而 a≤1.
又设方程 ax2＋2x＋1＝0 的两根为 x1，x2，则由根与系数的关系得 x1＋x2＝－2
a，x1x2＝1
a.
①方程 ax2＋2x＋1＝0 有一个负实根的充要条件是
a≤1，
1
a<0， 得 a<0.
②方程 ax2＋2x＋1＝0 有两个负实根的充要条件是
a≤1，
－2
a<0，
1
a>0，
得 00，
所以 a＋b－1＝0，即 a＋b＝1.
综上可得当 ab≠0 时，a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
模拟练
1. A 解析 由 log2(2x－3)<1⇔0<2x－3<2⇔3
28⇔2x>3⇔x>3
2，所以“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的
充分不必要条件，故选 A.
2.A 解析 由(a－b)a2<0 可知 a2≠0，则一定有 a－b<0，即 ab，∴f (a)>f (b)，
∴a＋ln a>b＋ln b，充分性成立；
∵a＋ln a>b＋ln b，[来源:学科网]
∴f (a)>f (b)，∴a>b，必要性成立，
故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的充要条件，故选 C.
5.A 解析 若 2x>a－x，即 2x＋x>a.设 f (x)＝2x＋x，则函数 f (x)为增函数．由题意知“2x＋x>a 成立，即 f (x)>a
成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当 x>1 时，f (x)>3，∴a>3.
6. 充分不必要 解析 ∵函数 f (x)是奇函数，∴若 x1＋x2＝0，则 x1＝－x2，则 f (x1)＝f (－x2)＝－f (x2)，即
f (x1)＋f (x2)＝0 成立，即充分性成立；若 f (x)＝0，满足 f (x)是奇函数，当 x1＝x2＝2 时，满足 f (x1)＝f (x2)
＝0，此时满足 f (x1)＋f (x2)＝0，但 x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f (x1)＋f (x2)＝0”
的充分不必要条件．
7. －1，3
2 解析 不等式可转化为(x＋1)(2x－3)≤0，解得－1≤x≤3
2，由于 x∈{－1，m}是－1≤x≤3
2的
充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到 m∈ －1，3
2 .
8.解 设 A＝{x|a3， 则 1
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