2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(九)

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2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(九)

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(九)‎ ‎17.设数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)由······①,‎ ‎······②,‎ ‎①-②得,∴,‎ 又当时,,即,(符合题意)‎ ‎∴是首项为1,公比为3的等比数列,∴.‎ ‎(2)由(1)得:,∴······③,‎ ‎······④,‎ ‎③-④得:‎ ‎∴.‎ ‎18.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次(指针停在任一位置的可能性相等),并获得相应金额的返券.若指针停在区域返券60元;停在区域返券30元;停在 区域不返券.例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和.‎ ‎(1)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;‎ ‎(2)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为(元).求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】设指针落在区域分别记为事件.则,,,‎ ‎(1)消费128元的顾客,只能转一次,若返券金额不低于30元,则指针落在或区域,其概率,‎ 即消费128元顾客返券金额不低于30元概率是.‎ ‎(2)该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0,30,60,90,120.‎ ‎;;;‎ ‎;;‎ 所以,随机变量的分布列为:‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎120‎ 其数学期望.‎ ‎19.在四棱锥中,底面为平行四边形,‎ ‎,点在底面内的射影在线段上,且,,为的中点,在线段上,且.‎ ‎(1)当时,证明:平面平面;‎ ‎(2)当平面与平面所成二面角的正弦值为时,求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明:连接,作交于点,则四边形为平行四边形,‎ ‎,在中,,,,由余弦定理得.‎ 所以,从而有.‎ 在中,分别是的中点,则,,‎ 因为,所以.‎ 由平面,平面,得,‎ 又,,得平面,‎ 又平面,所以平面平面.‎ ‎(2)以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,‎ ‎,.‎ 平面的一个法向量为.设平面的法向量为,‎ 由,,得,令,得.‎ 由题意可得,,‎ 解得,所以四棱锥的体积.‎ ‎20.已知点在圆上,而为在轴上的投影,且点满足,设动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)若,是曲线上两点,且,为坐标原点,求的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)设,∴,∵轴,所以,‎ 又设,由有代入有.‎ 即曲线的方程为.‎ ‎(2)设,,直线方程为:,‎ 联立得,‎ 故,,‎ 由,得,‎ 故原点到直线的距离,∴,令,‎ 则,又∵,‎ 当时,.‎ 当斜率不存在时,不存在,综合上述可得面积的最大值为1.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)研究函数的极值点;‎ ‎(2)当时,若对任意的,恒有,求的取值范围;‎ ‎(3)证明:.‎ ‎【答案】(1)∵,∴的定义域为,‎ ‎,‎ 当时,,在上无极值点,‎ 当时,令,∴,随的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 从上表可以看出:当时有唯一的极大值点;‎ ‎(2)当时在处取得极大值也是最大值,要使恒成立,‎ 只需,∴,即的取值范围为;‎ ‎(3)令,由(2)知,,∴,∵,‎ ‎∴,∴,‎ ‎,∴结论成立.‎
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