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文档介绍
2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(九)
2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(九) 17.设数列的前项和为,且. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 【答案】(1)由······①, ······②, ①-②得,∴, 又当时,,即,(符合题意) ∴是首项为1,公比为3的等比数列,∴. (2)由(1)得:,∴······③, ······④, ③-④得: ∴. 18.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次(指针停在任一位置的可能性相等),并获得相应金额的返券.若指针停在区域返券60元;停在区域返券30元;停在 区域不返券.例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和. (1)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率; (2)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为(元).求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】设指针落在区域分别记为事件.则,,, (1)消费128元的顾客,只能转一次,若返券金额不低于30元,则指针落在或区域,其概率, 即消费128元顾客返券金额不低于30元概率是. (2)该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0,30,60,90,120. ;;; ;; 所以,随机变量的分布列为: 0 30 60 90 120 其数学期望. 19.在四棱锥中,底面为平行四边形, ,点在底面内的射影在线段上,且,,为的中点,在线段上,且. (1)当时,证明:平面平面; (2)当平面与平面所成二面角的正弦值为时,求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明:连接,作交于点,则四边形为平行四边形, ,在中,,,,由余弦定理得. 所以,从而有. 在中,分别是的中点,则,, 因为,所以. 由平面,平面,得, 又,,得平面, 又平面,所以平面平面. (2)以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,, ,. 平面的一个法向量为.设平面的法向量为, 由,,得,令,得. 由题意可得,, 解得,所以四棱锥的体积. 20.已知点在圆上,而为在轴上的投影,且点满足,设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)若,是曲线上两点,且,为坐标原点,求的面积的最大值. 【答案】(1)设,∴,∵轴,所以, 又设,由有代入有. 即曲线的方程为. (2)设,,直线方程为:, 联立得, 故,, 由,得, 故原点到直线的距离,∴,令, 则,又∵, 当时,. 当斜率不存在时,不存在,综合上述可得面积的最大值为1. 21.设函数. (1)研究函数的极值点; (2)当时,若对任意的,恒有,求的取值范围; (3)证明:. 【答案】(1)∵,∴的定义域为, , 当时,,在上无极值点, 当时,令,∴,随的变化情况如下表: + 0 - ↗ 极大值 ↘ 从上表可以看出:当时有唯一的极大值点; (2)当时在处取得极大值也是最大值,要使恒成立, 只需,∴,即的取值范围为; (3)令,由(2)知,,∴,∵, ∴,∴, ,∴结论成立.查看更多