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文档介绍
辽宁省凌源市联合校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析
辽宁省凌源市联合校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1. 直线x+y-6=0的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2. 直线l:2x+3y-6=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A. 6 B. 1 C. D. 3 3. 已知直线mx-y-2=0与直线x+ny+3=0垂直,则m,n的关系为( ) A. B. C. D. 4. 已知直线l1:ax+2y+8=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是( ) A. 或2 B. C. 0或1 D. 2 5. 已知直线l:2mx+y-m-1=0与圆C:x2+(y-2)2=4交于A,B两点,则当弦AB最短时直线l的方程为( ) A. B. C. D. 6. 抛物线y2=4x的一条焦点弦为AB,若|AB|=8,则AB的中点到直线x=-2的距离是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为( ) A. B. C. D. 8. 方程mx2+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 9. 双曲线(a>0,b>0)经过点(,2),且离心率为3,则它的虚轴长是( ) A. B. C. 2 D. 4 10. 已知直线,则之间的距离为( ) A. B. C. 7 D. 11. 抛物线x2=8y的焦点F的坐标是( ) A. B. C. D. 12. △ABC的两个顶点为A(-4,0),B(4,0),△ABC周长为18,则C点轨迹为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 已知集合M={y|y=x2,x∈R},,则M∩N=______ 14. 如果双曲线的焦点在y轴上,焦距为8,则实数m=______. 15. 若实数x、y满足(x-2)2+y2=3,则的最大值为______. 16. 设双曲线的离心率为e,其渐近线与圆M:(x-2)2+y2=e2相切,则m=______. 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分) 17. 已知直线l方程为(m+2)x﹣(m+1)y﹣3m﹣7=0,m∈R. (Ⅰ)求证:直线l恒过定点P,并求出定点P的坐标; (Ⅱ)若直线l在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程. 1. 已知直线l过点(1,3),且在y轴上的截距为1. (Ⅰ)求直线l的方程; (Ⅱ)若直线1与圆C:(x-a)2+(y+a)2=5相切,求实数a的值. 2. 已知圆C: 求圆C关于直线对称的圆D的标准方程; 过点的直线l被圆C截得的弦长为8,求直线l的方程; 当k取何值时,直线与圆C相交的弦长最短,并求出最短弦长. 3. 求满足下列条件的曲线的标准方程: (1),焦点在x轴上的椭圆; (2)顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线x-y+2=0上抛物线的方程. 4. 已知椭圆+=1(a>b>0)的长轴长为2,离心率e=,过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点. (1)求椭圆的方程. (2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积. 1. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A,B两点,B在x轴的上方,且点B的横坐标为4. (1)求抛物线C的标准方程; (2)设点P为抛物线C上异于A,B的点,直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E,G两点,x轴与准线的交点为H,求证:HG•HE为定值,并求出定值. 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解:直线x+y-6=0的斜率k=-, 设其倾斜角为θ(0≤θ<π),则tan, ∴. 即直线x+y-6=0的倾斜角为. 故选:C. 由直线方程求得直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值求解直线的倾斜角. 本题考查直线的倾斜角与斜率的关系,是基础题. 2.【答案】D 【解析】解:直线l:2x+3y-6=0与x,y轴的交点为(3,0),(0,2), 则围成的三角形的面积为×3×2=3. 故选:D. 求得直线与坐标轴的交点,由三角形的面积公式可得所求. 本题考查直线方程的运用,考查三角形的面积求法,化简运算能力,属于基础题. 3.【答案】C 【解析】解:根据题意,直线mx-y-2=0与直线x+ny+3=0垂直, 则有m×1+(-1)×n=0,即m-n=0; 故选:C. 根据题意,由直线的一般式方程判定直线垂直的方法可得m×1+(-1)×n=0,变形即可得答案. 本题考查直线的一般式方程以及直线与直线垂直的判定,属于基础题. 4.【答案】A 【解析】解:∵直线l1:ax+2y+8=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行, ∴, 解得a=2或a=-1, ∴实数a的取值是-1或2. 故选:A. 利用直线与直线平行的性质直接求解. 本题考查实数值的求法,考查直线平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 5.【答案】A 【解析】解:根据题意,圆C的圆心C为(0,2),半径r=2; 已知直线l:2mx+y-m-1=0恒过点P(); ∴当CP与AB垂直时,即P为AB的中点时,弦长|AB|最短, 此时,则; 此时-2m=⇒m=; 此时直线AB的方程为-,变形可得2x-4y+3=0 . 故选:A. 根据题意,分析圆C的圆心坐标与半径,分析可得当CP与AB垂直时,弦长|AB|最短,求出直线CP的斜率,通过垂直关系可得直线AB的斜率,即可得答案. 本题考查直线与圆的位置关系,涉及弦长问题,属于基础题. 6.【答案】B 【解析】解:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1, A,B在准线上的射影为M,N,可得|AF|=|AM|,|BF|=|BN|, 即有|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|, 设AB的中点为P,P到准线的距离为(|AM|+|BN|)=|AB|=4, 则AB的中点到直线x=-2的距离是4+1=5, 故选:B. 求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义,以及梯形的中位线定理,即可得到所求距离. 本题考查抛物线的定义和方程、性质,考查梯形的中位线定理,考查运算能力,属于基础题. 7.【答案】B 【解析】解:设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切, 设直线方程为y=x+a,圆心(0,0)到直线的距离等于半径, ∴, ∴a的值为±2, 故选:B. 先求出过点(0,a),其斜率为1的直线方程,利用相切(圆心到直线的距离等于半径)求出a即可. 本题考查圆的切线方程,直线的点斜式方程,点到直线的距离公式,是基础题. 8.【答案】A 【解析】解:根据题意,方程mx2+y2=1即+y2=1,若其表示焦点在y轴上的椭圆, 必有1>>0, 解可得:m>1,即m的取值范围为(1,+∞); 故选:A. 根据题意,将方程mx2+y2=1变形可得+y2=1,由椭圆标准方程的形式分析可得1>>0,解可得m的取值范围,即可得答案. 本题考查椭圆的标准方程,注意椭圆的标准方程的形式,属于基础题. 9.【答案】B 【解析】解:根据题意,双曲线(a>0,b>0)经过点(,2),则有-=1,①; 又由双曲线的离心率的e=3,则有e2==1+=9,变形可得b2=8a2,②; 解可得:b2=20,即b=2; 则它的虚轴长2b=4; 故选:B. 根据题意,将点(,2)代入双曲线方程可得-=1,结合双曲线的性质可得e2==1+=9,变形可得b2=8a2,联立两式分析解可得b的值,据此分析可得答案. 本题考查双曲线的几何性质,涉及双曲线的标准方程,属于基础题. 10.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查平行线间的距离计算,属于基础题. 根据题意,将l1的方程变形可得6x+8y-24=0,由平行线间距离公式计算可得答案. 【解答】 解:根据题意,直线l1:3x+4y-12=0,即6x+8y-24=0, 又由l2:6x+8y+11=0, 则l1与l2之间的距离d===; 故选D. 11.【答案】A 【解析】解:由抛物线x2=8y,得2p=8,∴p=4, ∴抛物线x2=8y的焦点F的坐标是(0,)=(0,2). 故选:A. 直接由抛物线方程求得p值,则焦点坐标可求. 本题考查抛物线的标准方程,考查了由抛物线方程求焦点坐标,是基础题. 12.【答案】A 【解析】解:∵△ABC的两顶点A(-4,0),B(4,0),周长为18, ∴AB=8,BC+AC=10, ∵10>8,∴点C到两个定点的距离之和等于定值, ∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆, ∴2a=10,2c=8,∴b=3, ∴椭圆的标准方程是=1(y≠0). 故选:A. 根据三角形的周长和定点,得到点A到两个定点的距离之和等于定值,得到点A的轨迹是椭圆,椭圆的焦点在y轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点. 本题考查轨迹方程的求法,注意椭圆的定义的应用是关键. 13.【答案】[0,+∞) 【解析】解:∵M={y|y≥0},N=R, ∴M∩N=[0,+∞). 故答案为:[0,+∞). 可以求出集合M,N,然后进行交集的运算即可. 本题考查了描述法的定义,考查了计算能力,属于基础题. 14.【答案】-4 【解析】解:由题意,双曲线的焦点在y轴上,焦距为8,则-m-3m=16, ∴m=-4. 故答案为:-4. 将双曲线的标准方程,焦点在y轴上,焦距为8,列出方程,即可得到结论. 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质,属于基础题. 15.【答案】 【解析】解:= ,即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率, 因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率. 设=k,则kx-y=0.由=,得k=±, 故()max=,()min=-. 故答案为: 利用的几何意义,以及圆心到直线的距离等于半径,求出k的值,可得最大值. 本题考查直线的斜率,直线与圆的位置关系,考查计算能力,是基础题. 16.【答案】-2 【解析】解:双曲线C的渐近线方程为x±y=0. ∵双曲线C的渐近线与圆M:(x-2)2+y2=e2相切, ∴=e=, ∴m=-2. 故选:A. 根据双曲线C的渐近线与圆M:(x-2)2+y2=e2相切,利用点到直线的距离公式即可得到d=r,解出即可. 本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切,求双曲线的离心率,着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识,属于基础题. 17.【答案】解:(Ⅰ)直线l方程为(m+2)x-(m+1)y-3m-7=0,m∈R,即m(x-y-3)+2x-y-7=0, 令x-y-3=0,可得2x-y-7=0,联立方程组求得,可得直线l恒过定点P(4,1). (Ⅱ)若直线l在x轴,y轴上的截距相等, 令x=0,求得y=-;令y=0,求得, ∴-=,求得m=-, ∴直线l方程为x+y-=0,即x +y-5=0. 【解析】(Ⅰ)先分离参数,再令参数的系数等于0,求得x、y的值,可得直线l恒过定点的坐标. (Ⅱ)先求出直线l在x轴,y轴上的截距,再根据直线l在x轴,y轴上的截距相等,求得m的值,可得直线l的方程. 本题主要考查直线经过定点问题,直线的截距的定义,属于中档题. 18.【答案】解:(Ⅰ)直线l过点(1,3),且在y轴上的截距为1, 可得直线l的斜率为=2, 则直线l的方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1; (Ⅱ)若直线1与圆C:(x-a)2+(y+a)2=5相切, 可得圆心(a,-a)到直线l的距离为,即有 =, 解得a=-2或. 【解析】(Ⅰ)求得直线的斜率,再由点斜式方程可得所求直线方程; (Ⅱ)运用直线和圆相切的条件,即圆心到直线的距离等于半径,解方程可得所求值. 本题考查直线方程和圆方程的运用,考查直线和圆相切的条件,考查方程思想和运算能力,属于基础题. 19.【答案】解(1)圆心C(1,2),r=5,设D(m,n),因为圆心C与D关于直线对称,所以 ⇒D(3,-2),r=5 所以圆D标准方程为:(x-3)2+(y+2)2=25 (2)设点C到直l距离d,因为2=8⇒d=3 ①当l斜率不存在时,直线方程x=4 ,满足题意 ②l斜率存在时,设直线方程为y+4=k(x-4) d==3⇒k=- 综上,直线方程x=4或3x+4y+4=0 (3)直线l过定点M(-3,1),当CM⊥l时,弦长最短, ∵kCM=,∴k=-4 此时最短弦长为2=4. 【解析】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题. (1)根据圆心关于直线对称,半径相等可得圆D的标准方程. (2)根据点到直线的距离和勾股定理列方程可解得. (3)直线l过定点M(-3,1),当CM⊥l时,弦长最短,据此可求得. 20.【答案】解:(1)由,解得c=6,所以,b2=a2-c2=64, 故所求的椭圆方程为:; (2)直线x-y+2=0与坐标轴的交点坐标分别是(-2,0),(0,2), 当焦点坐标为(-2,0)时,p=4,顶点在原点,对称轴是坐标轴的抛物线方程是:y2=-8x. 当焦点坐标为(0,2)时,p=4, 顶点在原点,对称轴是坐标轴的抛物线方程是:x2=8y. 【解析】(1)利用已知条件求出a,b,然后求解椭圆方程. (2)求出直线与坐标轴的交点,得到抛物线的焦点坐标,然后求解抛物线方程. 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法,抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法,是基本知识的考查. 21.【答案】解:(1)由长轴长为2a=2,a=,离心率e===, ∴故所求椭圆方程为; (2)因为直线l过椭圆右焦点F(1,0),且斜率为1, 所以直线l的方程为y=x-1,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由,得3y2+2y-1=0,解得y1=-1,y2=, 则S△POQ=|OF|•|y1-y2|=|y1-y2|=, ∴△POQ的面积. 【解析】(1)由2a=2,根据离心率公式即可求得c,求得b,即可求得椭圆方程; (2)求出斜率为1的直线l的方程,与椭圆方程联立,求出交点的纵坐标,即可求△POQ的面积. 本题考查椭圆的标准方程与几何性质,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题. 22.【答案】解:(1)由题意得:, 因为点B的横坐标为4,且B在x 轴的上方,所以, 因为AB的斜率为, 所以,整理得:, 即,得p=2, 抛物线C的方程为:y2=4x. (2)由(1)得:B(4,4),F(1,0),准线方程x=-1, 直线l的方程:, 由,解得或x=4,于是得. 设点,又题意n≠1且n≠-4, 所以直线PA:,令x=-1 ,得, 即, 同理可得:, HG•HE=. 【解析】(1)由AB的斜率为,可得,解得p=2即可, (2)设点,可得 ,,即可得HG•HE=. 本题考查了抛物线的性质,计算能力,转化思想,属于中档题. 查看更多