2018-2019学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)‎ A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据空间向量数量积的坐标公式，计算即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 不妨设向量＝（x，y，z）‎ 选项A,若＝（﹣1，1，0），则cosθ＝＝ ，不满足条件．‎ 选项B,若＝（1，﹣1，0），则cosθ＝＝，满足条件．‎ 选项C,若＝（0，﹣1，1），则cosθ＝＝ ，不满足条件．‎ 选项D,若＝（﹣1，0，1），则cosθ＝＝ ，不满足条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的数量积的计算，向量的坐标公式是解决本题的关键．‎ ‎2．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若，, ,则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则即可表示出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵,‎ ‎＝ ‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．‎ ‎3．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选B.‎ ‎【考点】充分条件、必要条件.‎ ‎4．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=, ‎ ‎[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).‎ ‎5．不等式组的解集为D,有下面四个命题：‎ ‎，，‎ ‎ ，‎ 其中的真命题是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，设，则，当直线过点时，取到最小值，，故的取值范围为，所以正确的命题是，选B．‎ ‎【考点定位】1、线性规划；2、存在量词和全称量词．‎ ‎6．已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为.若 ‎ ,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是 （　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，‎ 设M（x，y），A（-a，0）、B（a，0）；‎ 因为，所以y2=λ（x+a）（a-x），‎ 即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．‎ 当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；‎ 当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程;‎ 当λ=0时，是直线的轨迹方程；‎ 综上，方程不表示抛物线的方程．‎ 故选C．‎ ‎【考点】轨迹方程的求法,圆锥曲线方程。‎ 点评：中档题，判断轨迹是什么，一般有两种方法，一是定义法，二是求轨迹方程后加以判断。‎ ‎7．已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝‎ ‎（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以f(x)的极大值为f(-1),极小值为f(1),因为函数y＝x-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,所以只须满足，即,所以.选A。‎ ‎【考点】导数在研究函数的极值和图像当中的应用.‎ 点评：根据导数确定出其单调区间，从而得到其极大值，与极小值，然后函数y＝x-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点实质就是极大值大于零，极小值小于零.‎ ‎8．三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， ,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，设，, ,，棱长均为1，‎ 则，‎ ‎∴＝(＝＝1，‎ ‎∵,‎ ‎∴cos＜，＞＝，‎ ‎∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力．‎ ‎9．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程和简单几何性质．‎ ‎10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 判断，下列近似公式中最精确的一个是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由V=，解得d=,设选项中的常数为，则π=;‎ 选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；‎ 选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857‎ 由于D的值最接近π的真实值;‎ 故选：D．‎ ‎【考点】进行简单的演绎推理．‎ ‎11．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有(　　)‎ A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：用分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得的学生最多只有个，语文成绩得也最多只有个，得的最多只有个，因此人数最多只有人，显然满足条件，故选B．‎ ‎【考点】合情推理的应用．‎ ‎12．已知函数f(x)＝x2＋ex－ (x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：原命题等价于在是有解，图像有交点.即在上有解，令，显然在上为增函数.当时，只需，解得；当时，，有解.综上，的取值范围是.‎ ‎【考点】函数的奇偶性、对称性.‎ 二、填空题 ‎13．若“”是真命题，则实数的最小值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：，，当时，的最大值是1，故，即实数的最小值是1．‎ ‎【考点】全称命题的应用 ‎14．设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】试题分析：因为，曲线与直线所围成封闭图形的面积为，所以，==，解得， 。‎ ‎【考点】定积分计算，定积分的几何意义。‎ 点评：简单题，利用定积分的几何意义，将面积计算问题，转化成定积分计算。‎ ‎15．椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据椭圆定义知：‎4a=12, 得a=3 , 又 ‎[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.‎ ‎16．设函数,其中a1，若存在唯一的整数，使得， 则a的取值范围是 _______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设,由题设可知存在唯一的整数 ‎，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案.‎ ‎【考点】函数的图象和性质及导数知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依据题设建立不等式组求出解之得.‎ 三、解答题 ‎17．已知c 设P：函数在R上单调递减.Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在R上单调递减…………………………………2’‎ 不等式 ‎…………………12’‎ ‎18．在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直．由已知得，故只需证明，在中，由余弦定理得的关系，即的关系确定，在中，结合已知条件可判定是直角三角形，且，从而可证明BD⊥平面AED；（2）求二面角，可先找后求，过作，由已知FC⊥平面ABCD，得面，故，，故为二面角F—BD—C的平面角，在中计算．‎ ‎（1）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB= 60°，，由余弦定理可知，‎ ‎ ，即，在中，，，则是直角三角形，且，又，且，故BD⊥平面AED．‎ ‎（2）过作，交于点，因为FC⊥平面ABCD，面，所以 ‎，所以 面，因此，，故为二面角F—BD—C的平面角.‎ 在中，，可得 因此. 即二面角F—BD—C的正切值为2.‎ ‎【考点】1、直线和平面垂直的判定；2、二面角.‎ ‎19．已知椭圆 的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是、，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．‎ ‎（1）由， 得.‎ 因为，所以△是等腰直角三角形，‎ 所以，.‎ ‎（2）设，，直线的方程为.‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，‎ 消去得.结合韦达定理和得到a的值 ‎20．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋‎ ‎)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．‎ ‎(1)试写出y关于x的函数关系式；‎ ‎(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设需要新建n个桥墩，‎ 则,---------------------------------------------------4分 所以 ‎(x＞0)------------------------------7分 ‎（2）‎ 令,即-----------------------------------------------10分 当0＜x＜64时，，在区间（0,64）上为减函数，‎ 当64＜x＜640时，，在区间（64,640）上为增函数，‎ 所以当x=64时y最小，这时--------------------------15分 答：当m=640米时，需新建9个桥墩才能使y最小．----------------16分 ‎21．如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分.那么 ‎       ‎ ‎（1）在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？‎ ‎（2）猜想：圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成多少条线段？‎ ‎（3）猜想：在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成多少部分？‎ 并用数学归纳法证明你所得到的猜想.‎ ‎【答案】 (1)25,16(2) n2(3)见解析 ‎【解析】根据1条、2条、3条、4条的特殊情况，发现规律，即可得到结论，然后用数学归纳法证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分,所以画5条线段，彼此最多分割成25条线段，将圆最多分割成16部分.‎ ‎(2) 圆内两两相交的n条线段,彼此最多分割成n2条线段；‎ ‎(3) 1条线段把圆分成f(1)=2部分，2条线段把圆分成f(2)=2+2部分，3条线段把圆分成f(3)=2+2+3部分，4条线段把圆分成f(4)=2+2+3+4部分，可猜想n条线段把圆分成f(n)=2+（2+3+4+5+6+7+8+…n）＝1+（1+2+3+4+5+6+7+8+…n）＝部分，证明如下，‎ 证明：①当n＝1时 上式显然成立 ‎②假设当n＝k（k≥2）时成立，即f(k)=成立 则当n＝k+1时，第k+1条直线与前k条直线相交有k个交点，‎ 所以k个交点将第k+1条线段分成k+1份，每一份将原来的部分又分成2份，‎ 所以在原来的基础上增加了k+1部分， ‎ 所以f（k+1）＝f（k）+k+1＝+k+1＝‎ 所以当n＝k+1时成立,综合①②，所以猜想成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理能力，考查利用数学归纳法证明问题，证明步骤：第一步验证当n＝n0时命题成立，第二步假设当n＝k时命题成立，那么再证明当n＝k+1时命题也成立．‎ ‎22．已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.‎ ‎【答案】：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）的单调增为单调减区为.‎ ‎（Ⅲ）见解析 ‎【解析】试题分析：(1)根据导数的几何意义，可知，所以先求函数的导数，然后代入，即得.‎ ‎(2)根据导数求函数的单调区间，第一步先求，因为，所以，第二步，令，求，或的解集，即为函数的单调增，减区间；‎ ‎（3）第一步先求函数，再设，第二步求，以及求函数的极值点，分析两侧的单调性以及最大值，第三步，分析当时，，所以，即命题成立.‎ 试题解析：解 (1)由f(x)＝，‎ 得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，‎ 由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．‎ 所以f′(1)＝0，因此k＝1. ‎ ‎(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，‎ 令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，‎ 当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0.‎ 又ex＞0，所以x∈ (0,1)时，f′(x)＞0；‎ x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.‎ 因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞) ‎ ‎(3)因为g(x)＝xf′(x)，‎ 所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，‎ 由(2)得，h(x)＝1－x－xln x，‎ 求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)．‎ 所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；‎ 当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．‎ 所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.‎ 又当x∈(0，＋∞)时，0＜＜1，‎ 所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)＜1＋e－2，即g(x)＜1＋e－2.‎ 综上所述结论成立 ‎【考点】导数的综合应用