2017-2018学年河南省豫北重点中学高二12月联考数学（理）试题

2017-2018学年河南省豫北重点中学高二12月联考数学（理）试题

河南省豫北重点中学2017-2018学年高二12月联考 数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 数列满足，则等于（ ）‎ A．1 B．‎3 C. D．‎ ‎2. 命题：的否定是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎3.设，则下列结论中正确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎4.已知点是拋物线上一点，且到拋物线焦点的距离是到原点的距离的，则等于（ ）‎ A． B．‎1 C. D．2‎ ‎5.关于的不等式组表示的平面区域的面积为（ ）‎ A．3 B． C. 2 D．‎ ‎6. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设是双曲线的一个焦点，若点的坐标为，线段的中点在上，则的离心率为（ ）‎ A． B．‎3 C. D．‎ ‎9. 在中，内角所对的边分别为，已知，，，设的面积为，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图，在长方体中，，为中点，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线交直线于，若在以线段为直径的圆上，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设，则的最小值为 ．‎ ‎14．若等比数列的各项都是正数，且，则 ．‎ ‎15. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，是坐标原点.若的面积为，则 ．‎ ‎16. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知:方程表示双曲线；:方程表示焦点在轴上的椭圆.若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18.已知分别为三个内角的对边，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的周长的最大值.‎ ‎19. 设双曲线的方程为.‎ ‎（1）求的实轴长、虚轴长及焦距；‎ ‎（2）若抛物线的焦点为双曲线的右顶点，且直线与抛物线交于两点，若(为坐标原点），求的值.‎ ‎20.设数列的前项和为，且对任意正整数，满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，是否存在正整数，使? 若存在，求出符合条件的所有的值构成的集合；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面为矩形，,‎ ‎.‎ ‎（1）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎22.已知点与点都在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若的左焦点、左顶点分别为，则是否存在过点且不与轴重合的直线(记直线与椭圆的交点为)，使得点在以线段为直径的圆上；若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CBDBC 6-10: DACBA 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 5 14. 15 15. 5 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：为真命题时，，‎ 为真命题时，，或，‎ ‎∵为真命题，为假命题，∴与—真一假，‎ 当真，假时，，当假，真时，或，‎ ‎∴.‎ ‎18.解：（1）由已知及正弦定理得，‎ ‎∴，‎ 化简并整理得，即，‎ ‎∴，从而.‎ ‎（2）由余弦定理得，∴，‎ 又，∴，‎ 即，∴，从而，‎ ‎∴的周长的最大值为15.‎ ‎19. 解：（1）∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴的实轴长，虚轴长，焦距.‎ ‎（2）∵的右顶点为，‎ ‎∴，∴，的方程为.‎ 当时，，∴可设，‎ ‎∵，∴，∵，∴.‎ ‎20.解：（1），‎ 时，，‎ 所以，‎ 所以是以首项，公比的等比数列，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 记数列的前项和为，则 ‎，①‎ ‎，②‎ ‎②-①得，‎ ‎，‎ 所以，数列的前项和为.‎ 要使，即，‎ 所以.‎ 当时，，当时，，当时，，结合函数与的图象可知，当时都有，‎ 所以 .‎ ‎21.解：∵，∴底面，又底面为矩形，∴分别以 为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.‎ ‎∴.‎ ‎（1）设平面的一个法向量，‎ 则令，得 ，‎ ‎∴与平面所成角的正弦值.‎ ‎（2）设平面的一个法向量，‎ 则令，得 ，‎ ‎∴，∴二面角的余弦值为.‎ ‎22.解：（1）由已知∴所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意知：，设，则 ‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.‎ 另解：由题意可设直线的方程为，.‎ 由可得：.‎ 所以.‎ 所以 ‎. ‎ 因为，所以， ‎ 所以.‎ 所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.‎