高考理科数学专题复习练习12.2古典概型与几何概型

高考理科数学专题复习练习12.2古典概型与几何概型

第十二章概率与统计 ‎12.2古典概型与几何概型 专题1‎ 古典概型的概率 ‎■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,古典概型的概率,填空题,理15)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是　　　　　. ‎ 答案:‎ 解析:第一次位置调换之后有乙甲丙、甲丙乙、丙乙甲三种情况,第二次位置调换之后各有甲乙丙、丙甲乙、乙丙甲这三种情况,而甲在乙左边的情况有甲乙丙、丙甲乙两种情况,所以甲在乙左边的概率是.‎ ‎■(2015辽宁大连高三双基测试,古典概型的概率,填空题,理14)5人随机站成一排,甲、乙两人不相邻的概率是　　　　　. ‎ 答案:‎ 解析:依题意,所求的概率等于1-=1-.‎ ‎■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,古典概型的概率,填空题,理14)有一名同学在书写英文单词“error”时,只是记不清字母的顺序,那么他写错这个单词的概率是　　　　　. ‎ 答案:‎ 解析:将此问题转化为插空问题;先将3个r排好,此时产生4个空位,当e和o分别插不同的2个空位时,共有=12种方法;当e和o插入同一个空位时,共有4=8种方法;因为正确的写法只有1种,故所求概率P=1-.‎ ‎■(2015银川二中高三一模,古典概型的概率,选择题,理6)将三封信件投入两个邮箱,每个邮箱都有信件的概率是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1 B. C. D.‎ 答案:B 解析:依题意,所求概率P=1-,故选B.‎ ‎■(2015银川一中高三二模,古典概型的概率,填空题,理14)从某地高中男生中随机抽取100名同学,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知体重的平均值为　　　　　kg;若要从身高在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,再从这12人中选两人当正副队长,则这两人体重不在同一组内的概率为　　　　　. ‎ 答案:64.5　‎ 解析:依题意,由图中数据可知体重的平均值为45×0.05+55×0.35+65×0.30+75×0.20+85×0.10=64.5kg;若要从身高在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,其中应从这三组中分别抽取6,4,2人,再从这12人选两人当正副队长,则这两人体重不在同一组内的概率为1-.‎ 专题2‎ 古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)‎ ‎■(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),选择题,理5)已知a∈{-2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数f(x)=(a2-2)x+b在R上为增函数的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案:B 解析:利用概率公式求解.(a,b)的所有可能取值有5×2=10种,其中满足函数f(x)在R上单调递增,即a2>2的a=-2,3,4,则(a,b)的取值有3×2=6种,所求概率为,故选B.‎ 专题3‎ 几何概型在不同测度中的概率 ‎■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,几何概型在不同测度中的概率,填空题,理15)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是　　　　　. ‎ 答案:1-‎ 解析:依题意,题中的三角形(其三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(5,1),C(1,1),三边长分别是3,4,5)区域的面积是×3×4=6,分别以点A,B,C为圆心,1为半径的圆形区域与△ABC区域的公共区域的面积等于π×12=π,因此所求的概率等于1-÷6=1-.‎ ‎■(2015东北三省三校高三第一次联考,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理9)不等式组表示的点集记为A,不等式组表示的点集记为B,在A中任取一点P,则P∈B的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案:A 解析:联立解得x=-1或x=2.由几何概型知识可知所求概率P=,故选A.‎ ‎■(2015银川一中高三二模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理3)在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好落在正方形与曲线y=围成的区域内(阴影部分)的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案:B 解析:依题意,正方形OABC的面积为1,题中的阴影区域的面积等于dx=,因此所求的概率等于,故选B.‎ ‎■(2015银川高中教学质量检测,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理9)在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域是α,不等式组所表示的平面区域为β,在区域α内随机取一点P,则点P落在区域β内的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案:D 解析:利用几何概型的概率公式求解.平面区域α是以点(0,0),(8,0)和(0,8)为顶点的三角形,面积为32,其中在平面β的区域为32-×42=24,所求概率为,故选D.‎ ‎12.3离散型随机变量及其分布列 专题2‎ 求离散型随机变量的分布列 ‎■(2015银川一中高三二模,求离散型随机变量的分布列,解答题,理19)某工厂生产甲、乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测,检测结果统计如下:‎ 测试指标 ‎[70,76)‎ ‎[76,82)‎ ‎[82,88)‎ ‎[88,94)‎ ‎[94,100]‎ 芯片甲 ‎8‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎8‎ 芯片乙 ‎7‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎29‎ ‎6‎ ‎(1)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率;‎ ‎(2)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件芯片乙,若是合格品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(1)的前提下,‎ ‎①记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润,求随机变量X的分布列;‎ ‎②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.‎ 解:(1)芯片甲为合格品的概率约为,‎ 芯片乙为合格品的概率约为.‎ ‎(2)①随机变量X的所有取值为90,45,30,-15.‎ P(X=90)=;‎ P(X=45)=;‎ P(X=30)=;‎ P(X=-5)=.‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎90‎ ‎45‎ ‎30‎ ‎-5‎ P ‎②设生产的5件芯片乙中合格品有n件,则次品有5-n件.‎ 依题意得50n-10(5-n)≥140,解得n≥,‎ 所以n=4或n=5.‎ 设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A,‎ 则P(A)=.‎ ‎12.4离散型随机变量的均值与方差 专题2‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎■(2015辽宁大连高三双基测试,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)‎ 某研究性学习小组,从某公路服务区内,在小型汽车中按进服务区顺序的先后,每隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行车速调查,将车速度(km/h)分成六段:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100].统计后得到如图的频率分布直方图.‎ ‎(1)研究性学习小组用到的抽样方法是　　　　　; ‎ ‎(2)若从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆,求车速在[80,85)和[85,90)内都有车辆的概率;‎ ‎(3)若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆,求车速在[75,80)的车辆数的数学期望.‎ 解:(1)系统抽样.‎ ‎(2)车速在[80,90)的车辆共有(0.04+0.06)×5×40=20辆,速度在[80,85),[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆.‎ 记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车,车速在[80,85)内的有2辆,在[85,90)内的有1辆为事件A,车速在[80,85)内的有1辆,在[85,90)内的有2辆为事件B,则P(A)+P(B)=.‎ ‎(3)车速在[70,80)的车辆共有(0.01+0.02)×5×40=6辆,车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆,若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆,设车速在[75,80)的车辆数为X,则X的可能取值为1,2,3.‎ P(X=1)=;‎ P(X=2)=;‎ P(X=3)=.‎ 故X的分布列为 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为E(X)=1×+2×+3×=2.‎ ‎■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,离散型随机变量的均值与方差,选择题,理7)同时抛掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为ξ,则ξ的数学期望是(　　)‎ A.20 B.25 C.30 D.40‎ 答案:B 解析:依题意可知在一次抛掷中,5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的概率为,‎ 因此E(ξ)=80×=25,故选B.‎ ‎■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某中学举行了一次“环保知识竞赛”,为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).‎ ‎(1)求样本容量n和频率分布直方图中x,y的值;‎ ‎(2)把在[60,70),[70,80),[80,90)的成绩分组的学生按分层抽样的方法抽取8人,求[60,70),[70,80),[80,90)成绩分组中各应该抽取的人数;‎ ‎(3)在(2)中的8人中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,记X为成绩在[60,70)的人数,求X的分布列和数学期望.‎ 解:(1)由题意可知样本容量n==50,则y==0.004,x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.‎ ‎(2)在[60,70),[70,80),[80,90)成绩分组的学生分别为15人,20人,5人,现要按分层抽样的方法抽取8人,则在[60,70),[70,80),[80,90)成绩分组中各抽取3人,4人,1人.‎ ‎(3)由题可知X的可能取值有0,1,2,3.‎ P(X=0)=;‎ P(X=1)=;‎ P(X=2)=;‎ P(X=3)=.‎ X的分布列为 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故E(X)=.‎ ‎■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)有一种舞台灯,外形是正六棱柱,在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯,假若每只灯正常发光的概率为0.5,若一个侧面上至少有3只灯发光,则不需要更换这个面,否则需要更换这个面,假定更换一个面需要100元,用η表示更换的面数,用ξ表示更换费用.‎ ‎(1)求①号面需要更换的概率;‎ ‎(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率;‎ ‎(3)写出η的分布列,求ξ的数学期望.‎ 解:(1)①号面不需要更换的概率为,‎ 所以①号面需要更换的概率为P=1-.‎ ‎(2)根据独立重复试验,6个面中恰好有2个面需要更换的概率为P(η=2)=.‎ ‎(3)因为η~B,又P(η=0)=,‎ P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,P(η=4)=,P(η=5)=,P(η=6)=.‎ η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ξ=100η,E(ξ)=100E(η)=300.‎ ‎■(2015江西八所重点中学高三联考,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)已知集合A={1,2,3,4},函数f(x)的定义域、值域都是A,且对于任意i∈A,f(i)≠i,设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的任意一个排列,定义数表,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表.‎ ‎(1)求满足条件的不同的数表的张数;‎ ‎(2)若ai=i(i=1,2,3,4),从所有数表中任意抽取一张,记ξ为表中ai>f(i)的个数,求ξ的分布列及期望.‎ 解:(1)9=216.‎ ‎(2)ξ的取值可为1,2,3,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.‎ 因此,ξ的分布列如下:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(ξ)=2.‎ ‎12.5二项分布与正态分布 专题4‎ 正态分布下的概率 ‎■(2015东北三省四市教研联合体高三模拟一,正态分布下的概率,填空题,理13)设随机变量X服从正态分布N(1,4),若P(X>a+1)=P(X<2a-5),则a=　　　　　. ‎ 答案:2‎ 解析:依题意,由正态分布对称性可知,=1,解得a=2.‎ ‎■(2015东北三省三校高三二模,正态分布下的概率,填空题,理14)设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ(单位:元),经统计得ξ~N(520,14 400),从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本,其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有　　　　　辆. ‎ ‎(附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.997 4)‎ 答案:6 826‎ 解析:依题意得μ=520,σ=120,μ-σ=400,μ+σ=640,P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826,因此其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有0.6826×10000=6826辆.‎ ‎■(2015江西八所重点中学高三联考,正态分布下的概率,选择题,理6)在某次联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则落在(0,80)内的概率为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2‎ 答案:B 解析:利用正态分布的性质求解.由题意可得P(0<ξ<80)=P(ξ>120)=(1-0.8)=0.1,故选B.‎