2019-2020学年辽宁省本溪市高级中学、盘锦市高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省本溪市高级中学、盘锦市高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年辽宁省本溪市高级中学、盘锦市高级中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．经过点且与直线垂直的直线方程为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据直线垂直斜率乘积为可求得所求的直线斜率，进而利用点斜式得到直线方程.‎ ‎【详解】‎ 直线斜率为，与垂直的直线的斜率为，‎ 过且与垂直的直线为：，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线垂直关系求解直线方程的问题，关键是明确两直线垂直斜率乘积为.‎ ‎2．圆与圆的位置关系是( )‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ‎【答案】C ‎【解析】由圆的方程可求得两圆圆心和半径，根据圆心距可得两圆位置关系.‎ ‎【详解】‎ 圆方程可整理为：，则圆心，半径；‎ 圆方程可整理为：，则圆心，半径.‎ 则两圆圆心距，两圆外切.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与圆的位置关系的判断，关键是明确两圆位置关系需利用圆心距和两圆半径之间的关系来进行判断.‎ ‎3．过原点的直线被圆所截得的弦长为1，则直线的倾斜角为( )‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】根据圆的方程确定圆心和半径，根据垂径定理可构造方程求得直线斜率，由斜率和倾斜角的对应关系可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由圆方程知，圆心，半径.‎ 当直线斜率不存在时，直线与圆相切，不合题意，‎ 可设直线，即，则圆心到直线距离，‎ ‎，解得：，‎ 直线的倾斜角为或.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线倾斜角的求解，关键是能够利用垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，从而构造方程求得直线的斜率.‎ ‎4．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，若周长是6，则椭圆的方程是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由椭圆定义和焦距可表示出的周长，求得；根据椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆定义知：，‎ 周长为，，，‎ 椭圆的方程为：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解问题，涉及到椭圆的定义、椭圆焦点三角形周长的问题，属于基础题.‎ ‎5．圆与圆的公共弦长为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】两圆方程作差可求得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：，即公共弦所在直线方程为：.‎ 圆方程可整理为，则圆心，半径，‎ 圆心到的距离，‎ 公共弦长为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆相交公共弦长的求解，涉及到垂径定理的应用；关键是明确两圆相交的公共弦所在直线方程可通过两圆方程直接作差求得.‎ ‎6．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴的长为( )‎ A． B．2或 C． D．2或 ‎【答案】B ‎【解析】分别讨论焦点在轴和轴两种情况下利用离心率构造方程可求得，由此得到长轴长.‎ ‎【详解】‎ 若椭圆焦点在轴上，则，解得：，符合题意，长轴长为；‎ 若椭圆焦点在轴上，则，解得：，符合题意，长轴长为.‎ 综上所述：椭圆的长轴长为或.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据离心率求解椭圆长轴长的问题，易错点是忽略椭圆焦点位置的讨论，造成丢根的情况出现.‎ ‎7．若为圆上任意两点，为轴上一个动点，则的最大值是( )‎ A．45° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【答案】D ‎【解析】若最大，则只需最大，可知当是圆的切线时，最大，根据正弦值可确定只需最小时，最大；当轴时，最小，由此得到的最小值，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由圆的对称性可知，若最大，则只需最大，‎ 当直线是圆的切线时，最大.‎ ‎，最大时，最小，‎ 当轴时，最小，最小值为，的最大值为，‎ ‎，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆中最值问题的求解，关键是能够将所求角的最值转化为线段长度最值的求解问题，考查学生的分析和解决问题的能力.‎ ‎8．已知曲线与直线有两个不同的交点，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将问题转化为过定点的直线与半圆有两个交点的问题，通过数形结合的方式可确定临界状态，进而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由可得：.‎ 直线过定点，‎ 若曲线与有两个不同的交点，则的取值范围为如下图所示的，‎ 轴，，‎ ‎，，，的取值范围为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线与圆的交点个数求解参数范围的问题，关键是通过能够通过数形结合的方式确定临界状态；易错点是忽略的取值范围，将半圆误认为圆，造成求解错误.‎ ‎9．若直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二元二次方程表示圆可求得的取值范围，由直线与圆至少有一个交点，可知直线所过定点在圆内或圆上，由此构造不等式求得的范围；综合上述范围可得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 圆的方程可整理为：，，解得：或，‎ 圆心，半径.‎ 直线方程可整理为：，则直线恒过定点.‎ 直线与圆至少有一个交点，在圆内部或圆上，‎ 即，解得：，‎ 综上所述：实数的取值范围为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为点在圆内或圆上的问题；易错点是忽略二元二次方程表示圆所需的参数的范围，造成求解错误.‎ ‎10．已知直线与直线的交点为，若点为直线上的一个动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据两直线恒过定点及垂直关系可知交点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；根据圆上的点到直线距离的最小值为可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 直线恒过定点，直线恒过定点，且，‎ 点轨迹是以为圆心，为半径的圆，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆上的点到直线距离的最小值的求解问题，关键是能够根据直线所过定点和垂直关系得到直线交点的轨迹，需明确圆上的点到直线距离最小值为圆心到直线距离减去半径.‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上关于原点对称的两个点，若，且，则椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由对称性可知四边形为平行四边形，结合椭圆定义可求得，在中利用余弦定理可构造关于的齐次方程，进而求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 连接，‎ 为中点，四边形为平行四边形，‎ ‎，，‎ 由椭圆定义知：，，.‎ 在中，由余弦定理得：，‎ 即，，，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的求解问题，涉及到椭圆定义和对称性的应用；关键是能够利用余弦定理构造出关于的齐次方程，通过齐次方程配凑出离心率.‎ ‎12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于D、E两点，，且轴.若点P是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设，‎ 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，，‎ 将代入椭圆方程得，‎ 所以，，‎ 设，‎ 则，‎ 所以的取值范围是.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知椭圆，直线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别讨论焦点在轴和轴两种情况，根据直线与坐标轴交点坐标确定，根据椭圆关系可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 直线与轴交点为，与轴交点为.‎ 若椭圆焦点在轴上，则，解得：，；‎ 若椭圆焦点在轴上，则，不合题意.‎ 综上所述：椭圆的离心率.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够准确求解出椭圆的的值，属于基础题.‎ ‎14．由直线上的任意一个点向圆 引切线，则切线长的最小值为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】若要切线长最小，则只需圆心与直线上的点的连线最小，即为圆心到直线距离即可；利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，代入可求得切线长的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由圆方程知：圆心，半径.‎ 设直线上的点为，过作圆切线，切点为.‎ 切线长，‎ 若切线长最小，则只需最小，‎ 最小值为圆心到直线的距离，，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查过直线上一点做圆的切线，切线长的最小值的求解问题，关键是能够将问题转化为圆心与直线上的点的连线的最小值的求解问题，进而利用点到直线距离公式求得结果.‎ ‎15．已知点.若直线上存在一点使得成立，则的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据可确定点轨迹为以为圆心，为半径的圆，利用直线与圆有交点可知，由此构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，，点轨迹是以为圆心，为半径的圆.‎ 上存在点，与以为圆心，为半径的圆有交点，‎ 圆心到直线距离，解得：，‎ 即的取值范围为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题；关键是能够根据平面向量数量积得到垂直关系，进而确定动点轨迹，从而将问题转化为直线与圆位置关系的求解问题.‎ ‎16．已知定点，若动点满足方程，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据方程的几何意义，结合椭圆定义可求得点轨迹方程；设椭圆右焦点为，将转化为，由此可得最小值为.‎ ‎【详解】‎ 由可知到和的距离之和为，‎ 根据椭圆定义可知：，，，‎ 点轨迹方程为：.‎ 设椭圆右焦点为，则，‎ ‎（当且仅当在线段上时取等号），‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆上点到定点与焦点的距离之和的最小值的求解问题，涉及到动点轨迹的求解；关键是能够利用椭圆定义将问题转化为椭圆上的点到定点与焦点距离之差的最小值的求解问题，进而结合三角形三边关系得到结果.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线与直线.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求和之间的距离.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由垂直关系可构造方程求得结果；‎ ‎（2）由平行关系可构造方程求得，利用平行直线间距离公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由可得：，解得：.‎ ‎（2）由可得，解得：.‎ 则，，和之间的距离.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线的垂直和平行关系求解参数值、平行直线间距离的求解；关键是明确两直线垂直则，两直线平行则且.‎ ‎18．已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）求圆关于直线对称的圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用垂径定理可构造方程求得半径，进而得到圆的方程；‎ ‎（2）设圆心关于直线的对称点为，根据两点连线与直线垂直、两点连线中点在直线上可构造方程组求得，进而得到圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知：圆心到的距离为，，解得：，‎ 圆的方程为：.‎ ‎（2）设圆心关于直线的对称点的坐标为，‎ 则，解得：，‎ 圆的圆心为，半径为，‎ 圆的标准方程为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线被圆截得的弦长求解圆的方程、圆关于直线对称的圆的方程的求解等知识；关键是熟练应用垂径定理和点关于直线对称点的求解方法；需明确圆关于直线对称的圆的半径相同，圆心关于直线对称.‎ ‎19．已知直线与直线的交点为，圆.‎ ‎（1）求过的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；‎ ‎（2）过点做圆的切线，求切线方程.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或.‎ ‎【解析】（1）直线方程联立可求得，分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，从而求得直线方程；‎ ‎（2）由圆的方程可确定圆心和半径；分别讨论过的切线斜率存在和不存在两种情况，可知当斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，进而得到切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：，‎ ‎①直线过原点，则方程为：；‎ ‎②若直线不过原点，设方程为，‎ 将点代入该方程得：，故直线方程为.‎ 综上所述：直线方程为或.‎ ‎（2）圆方程可整理为：，则圆心，半径 ‎①当斜率不存在时，直线方程为，为圆的切线，满足题意；‎ ‎②当切线斜率存在时，设方程为，即，‎ 圆心到直线的距离，解得：，‎ 切线方程为.‎ 综上所述：切线方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查在坐标轴截距相等的直线方程的求解、过圆外一点圆的切线方程的求解问题；易错点是在忽略截距为零、直线斜率不存在的情况，造成丢根的情况.‎ ‎20．已知椭圆，其右焦点为，直线交椭圆于两点，交轴于点，线段中点为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上一点，求的最小值及取得最小值时点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2），或.‎ ‎【解析】（1）利用点差法可得到，根据焦点坐标和椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）设，利用两点间距离公式可得，根据二次函数的性质可求得最小值，并得到取最小值时的取值，代入椭圆方程可求得点坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，，‎ 中点为，，‎ 由得：，‎ ‎，即.‎ 右焦点，，，，‎ 椭圆的方程为：.‎ ‎（2）由题意得：.‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 此时或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆上的点到定点距离的最值的求解问题，涉及到点差法和二次函数性质的应用；当求解弦中点的问题时，常采用点差法来进行求解；求解椭圆上的点到定点距离的最值问题的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题.‎ ‎21．已知动点M在椭圆上，过点M作y轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ ‎（1）求点P的轨迹方程E；‎ ‎（2）已知点，若直线与P点轨迹交于G，H两点，证明：论k取何值时，直线AG和AH的斜率之积均是定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析 ‎【解析】（1）设P点坐标,则有点M坐标为，利用相关点法即可求解.‎ ‎（2）设，可得，计算 然后将直线与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，代入斜率之积式子化简即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设P点坐标,则有点M坐标为，‎ 因为M在椭圆上，所以将点坐标代入椭圆，‎ 可得 所以点P的轨迹方程为 ‎（2）证明：设，‎ 于是，‎ 直线与圆联立，‎ 于是有 由此可得 代入中可得，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了动点的轨迹方程，直线与圆的位置关系中定值问题，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为分别为左右焦点，是椭圆上点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值以及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，，.‎ ‎【解析】（1）根据椭圆定义和勾股定理可构造方程组得到，结合离心率和椭圆关系可求得的值，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）由等面积法可得，设，与椭圆方程联立得到韦达定理形式，利用韦达定理表示出，得到；根据分式型函数最值的求解方法可求得，进而得到内切圆面积的最大值，同时确定直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知：，，‎ 由得：，，‎ 椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设，内切圆半径为.‎ 由等面积法可得：，于是.‎ 由题意可知不可能是轴，故可设直线方程为：，‎ 联立得：，，‎ ‎.‎ 令，则，‎ ‎，当时，取得最小值，，‎ 内切圆的面积的最大值为：，‎ 此时，则直线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中最值问题的求解；求解最值的关键是能够将所求最值转化为关于某一变量的函数，通过函数最值的求解方法求得结果.‎