数学卷·2018届江西师大附中高二上学期12月月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届江西师大附中高二上学期12月月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年江西师大附中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）‎ ‎1．y=tanx的导数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知点M（ρ，θ），则M点关于极点对称的点N的极坐标是（　　）‎ A．（ρ，π+θ） B．（ρ，﹣θ） C．（ρ，π﹣θ） D．（ρ，2π﹣θ）‎ ‎3．“p∨q为真”是“￢p为假”的（　　）条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎4．椭圆C： +=1（a＞0）的离心率是，则实数a为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎5．已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知直线x﹣y+2=0过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎7．方程=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．2＜k＜5 B．k＞4 C．k＜1 D．k＜2或k＞5‎ ‎8．已知命题p：，命题q：“a=﹣1”是“直线x﹣y+5=0与直线（a﹣1）x+（a+3）y﹣2=0平行”的充要条件，则下列命题正确的是（　　）‎ A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎9．已知点M（﹣1，﹣2）是抛物线y2=2px（p＞0）的准线上一点，A，B在抛物线上，点F为抛物线的焦点，且有|AF|+|BF|=8，则线段AB的垂直平分线必过点（　　）‎ A．（3，0） B．（5，0） C．（3，2） D．（5，4）‎ ‎10．下列命题错误的是（　　）‎ A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”‎ B．若命题p：∃x0∈R，x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x+1＞0‎ C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件 D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角 ‎11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为l时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（　　）‎ A．（1，） B．（1，） C．（，） D．（，）‎ ‎12．曲线y=a（a＞0）与曲线y=ln有公共点，且在公共点处的切线相同，则a的值为（　　）‎ A．e B．e2 C．e﹣2 D．e﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知x，y满足条件，则z=x+2y的最小值为　　．‎ ‎14．已知f（x）=x2f'（1）﹣3x，则f'（2）的值为　　．‎ ‎15．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（1）若C1与C2相交于A、B两点，求|AB|；‎ ‎（2）若把曲线C2上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到曲线C3，设点P是曲线C3上的一个动点，求它到曲线C1的距离的最大值．‎ ‎18．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．‎ ‎19．设p：≤，q：关于x的不等式x2﹣4x+m2≤0的解集是空集，试确定实数m的取值范围，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题．‎ ‎20．已知函数f（x）=ax3+3x2﹣6ax﹣11，g（x）=3x2+6x+12，和直线m：y=kx+9，又f′（﹣1）=0．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是曲线y=g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），且曲线C1上的点对应的参数θ=，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（1）写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2交于P、Q两点，射线OP与曲线C1交于点A，射线OQ与曲线C1交于点B，求的值．‎ ‎22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，且椭圆过点（0，），（，﹣），且A是椭圆上位于第一象限的点，且△AF1F2的面积S=．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）过点B（3，0）的直线l与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与x轴相交于M，N两点，点C（，0），则•是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西师大附中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）‎ ‎1．y=tanx的导数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据题意，由同角三角函数的基本关系式可得y=tanx=，由商的导数计算法则计算可得答案．‎ ‎【解答】解：y=tanx=，‎ 则y′==；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知点M（ρ，θ），则M点关于极点对称的点N的极坐标是（　　）‎ A．（ρ，π+θ） B．（ρ，﹣θ） C．（ρ，π﹣θ） D．（ρ，2π﹣θ）‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】由点M（ρ，θ）关于极点的对称点到极点的距离等于ρ，极角为π+θ，从而求得对称点的极坐标．‎ ‎【解答】解：由点的极坐标的意义可得，点M（ρ，θ）关于极点的对称点到极点的距离等于ρ，极角为π+θ，‎ 故点M（ρ，θ）关于极点的对称点的极坐标是（ρ，π+θ），‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．“p∨q为真”是“￢p为假”的（　　）条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】￢p为假，可得：p为真．由于“p∨q为真”，反之不成立，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：∵￢p为假，∴p为真，∴“p∨q为真”，反之不成立，可能q为真．‎ ‎∴“p∨q为真”是“￢p为假”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．椭圆C： +=1（a＞0）的离心率是，则实数a为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】对椭圆的焦点分类讨论，利用离心率的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：当椭圆C焦点在x轴上时，e==（a＞0），解得a=．‎ 当椭圆C焦点在y轴上时，e==（a＞0），解得a=．‎ 综上可得：a=，或a=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】指数函数单调性的应用；复合命题的真假；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】由p且q为真命题，故p和q均为真命题，我们可根据函数的性质，分别计算出p为真命题时，参数a的取值范围及分别计算出q为真命题时，参数a的取值范围，求其交集即可．‎ ‎【解答】解：命题p等价于，3a≤2，即．‎ 由y=（2a﹣1）x为减函数得：0＜2a﹣1＜1即．‎ 又因为p且q为真命题，所以，p和q均为真命题，‎ 所以取交集得．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知直线x﹣y+2=0过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由直线x﹣y+2=0过（﹣2，0），可得c=2，即a2+b2=4，求出渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得=，解方程可得a=1，进而得到双曲线的实轴长2a．‎ ‎【解答】解：直线x﹣y+2=0过（﹣2，0），‎ 由题意可得c=2，即a2+b2=4，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 由题意可得=，‎ 解得a=1，b=，‎ 则双曲线的实轴为2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．方程=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．2＜k＜5 B．k＞4 C．k＜1 D．k＜2或k＞5‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】方程=1表示双曲线⇔（k﹣2）（5﹣k）＜0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：方程=1表示双曲线⇔（k﹣2）（5﹣k）＜0，解得k＞5，或k＜2．‎ ‎∴方程=1表示双曲线的一个充分不必要条件是k＜1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．已知命题p：，命题q：“a=﹣1”是“直线x﹣y+5=0与直线（a﹣1）x+（a+3）y﹣2=0平行”的充要条件，则下列命题正确的是（　　）‎ A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：sinx＜时是假命题．命题q：直线x﹣y+5=0与直线（a﹣1）x+（a+3）y﹣2=0平行⇔，解得a，即可判断出真假．‎ ‎【解答】解：命题p：，sinx＜时是假命题．‎ 命题q：直线x﹣y+5=0与直线（a﹣1）x+（a+3）y﹣2=0平行⇔，解得a=﹣1．‎ ‎∴“a=﹣1”是“直线x﹣y+5=0与直线（a﹣1）x+（a+3）y﹣2=0平行”的充要条件，‎ 则下列命题正确的是（￢p）∧q．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知点M（﹣1，﹣2）是抛物线y2=2px（p＞0）的准线上一点，A，B在抛物线上，点F为抛物线的焦点，且有|AF|+|BF|=8，则线段AB的垂直平分线必过点（　　）‎ A．（3，0） B．（5，0） C．（3，2） D．（5，4）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】确定抛物线的方程，由|AF|+|BF|=8，利用抛物线的定义转化为x1+x2+2=8，从而求出A，B两点横坐标的和，设出C的坐标，利用C在AB的垂直平分线上得|AC|=|BC|，代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求m的值．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），‎ ‎∵点M（﹣1，﹣2）是抛物线y2=2px（p＞0）的准线上一点，‎ ‎∴抛物线方程为y2=4x，其准线x=1．‎ ‎∵|AF|+|BF|=8，‎ ‎∴由定义得x1+x2+2=8，则x1+x2=6．‎ 设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C（m，0）．‎ 由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|，‎ 即（x1﹣m）2+y12=（x2﹣m）2+y22，‎ 即（x1+x2﹣2m）（x1﹣x2）=4x2﹣4x1=﹣4（x1﹣x2），‎ ‎∵x1≠x2，∴x1+x2﹣2m=﹣4．‎ 又∵x1+x2=6，∴m=5，‎ ‎∴点C的坐标为（5，0）．‎ 即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点（5，0）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．下列命题错误的是（　　）‎ A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”‎ B．若命题p：∃x0∈R，x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x+1＞0‎ C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件 D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A．根据逆否命题的定义进行判断，‎ B．根据含有量词的命题的否定进行判断，‎ C．根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断，‎ D．根据向量数量积以及夹角关系进行判断．‎ ‎【解答】解：A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，正确为真命题，‎ B．若命题p：∃x0∈R，x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x+1＞0，命题为真命题，‎ C．△ABC中，sinA＞sinB等价为a＞b，等价为A＞B，则△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件为真命题．‎ D．当向量，反向共线时，夹角为180°，满足•＜0，但与的夹角为钝角错误，故D错误，‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为l时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（　　）‎ A．（1，） B．（1，） C．（，） D．（，）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】斜率为1的直线l过双曲线C1的右焦点，且与双曲线C1左右支各有一个交点，可得＞1，再利用离心率的计算公式即可得出e＞；再由直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则＜3，求得e＜．进而得到所求范围．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，‎ 由斜率为1的直线l过双曲线C1的右焦点，‎ 且与双曲线C1左右支各有一个交点，‎ 则＞1，即b2＞a2，c2＞2a2，‎ 可得e＞；‎ 又当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，‎ 则＜3，即即b2＜9a2，c2＜10a2，‎ 可得e＜．‎ 综上可得，＜e＜．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．曲线y=a（a＞0）与曲线y=ln有公共点，且在公共点处的切线相同，则a的值为（　　）‎ A．e B．e2 C．e﹣2 D．e﹣1‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】设出公共点的坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：y=ln=lnx，‎ 设公共点的坐标为（m， lnm），‎ 则函数y=f（x）=a（a＞0）的导数f′（x）=，‎ 曲线y=g（x）=lnx的导数g′（x）=，‎ 则f′（m）=，g′（m）=，‎ 则由f′（m）=g′（m），得=，（m＞0），‎ 则a=，‎ 又a=ln，‎ 即ln=1，得=e，则a=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知x，y满足条件，则z=x+2y的最小值为　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域，‎ 由z=x+2y，得y=﹣，‎ 平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，‎ 直线y=﹣的截距最小，此时z最小．‎ 由，解得，即B（2，0）‎ 此时z的最小值为z=2+2×0=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．已知f（x）=x2f'（1）﹣3x，则f'（2）的值为　9　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求函数的导数，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2f′（1）﹣3x ‎∴函数的导数为f′（x）=2xf′（1）﹣3‎ 令x=1，则f′（1）=2f′（1）﹣3，‎ 解得f′（1）=3，‎ 即f′（x）=6x﹣3，‎ 则f′（2）=6×2﹣3=9，‎ 故答案为：9‎ ‎　‎ ‎15．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为　±　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，由此能求出直线l的斜率．‎ ‎【解答】解：当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，‎ ‎∵圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，‎ ‎∴圆心O（0，0），半径r=，‎ ‎∴OA=OB=，AB==2，‎ ‎∴圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不合题意；‎ 当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣2），‎ 圆心（0，0）到直线l的距离d==1，‎ 解得k=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是　（0，]　．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】确定函数f（x）、g（x）在[﹣1，2]上的值域，根据对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0），可g（x）值域是f（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称 ‎∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，‎ 可得f（x1）值域为[﹣1，3]‎ 又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，‎ ‎∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]‎ 即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]‎ ‎∵对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）‎ ‎∴，∴0＜a≤‎ 故答案为：（0，]．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（1）若C1与C2相交于A、B两点，求|AB|；‎ ‎（2）若把曲线C2上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到曲线C3，设点P是曲线C3上的一个动点，求它到曲线C1的距离的最大值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）将代入x2+y2=1得t2+t=0，利用参数的意义求|AB|；‎ ‎（2）求出曲线C3，利用参数方程，点到直线的距离公式，即可求它到曲线C1的距离的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）将代入x2+y2=1得t2+t=0，∴|AB|=|t1﹣t2|=1‎ ‎（2）C1：y=（x﹣1），C2：x2+y2=1；C3： =1，‎ 因此设 因此．‎ ‎　‎ ‎18．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．‎ ‎【考点】圆的切线方程；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a的值，确定出直线l的方程；‎ ‎（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2，表示出|PM|2，由|PM|=|PO|，进而得到|PO|2，由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|2，两者相等，化简可得点P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．‎ 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，‎ 由=，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．‎ ‎∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；…‎ ‎（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，‎ ‎∴|PM|2=|PC|2﹣r2．‎ 又∵|PM|=|PO|，‎ ‎∴|PC|2﹣r2=|PO|2，‎ ‎∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．‎ ‎∴2x﹣4y+3=0即为所求．…‎ ‎　‎ ‎19．设p：≤，q：关于x的不等式x2﹣4x+m2≤0的解集是空集，试确定实数m的取值范围，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】通过解分式不等式求得命题p为真时m的范围；根据一元二次不等式解集为空集的条件求得命题q为真时m的范围，再根据复合命题真值表知，‎ 若p∨q真，p∧q假，则命题p、q一真一假，分别求出当p真q假时和当p假q真时m的范围，再求并集．‎ ‎【解答】解：得0≤m＜3，故命题p为真时，0≤m＜3；‎ 由不等式x2﹣4x+m2≤0的解集是空集，得△=16﹣4m2＜0⇒m＜﹣2或m＞2．‎ 由复合命题真值表知，若p∨q真，p∧q假，则命题p、q一真一假，‎ 当p真q假时，即⇒0≤m≤2．‎ 当p假q真时，即⇒m＜﹣2或m≥3．‎ 综上得，m∈（﹣∞，﹣2）∪[0，2]∪[3，+∞）．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=ax3+3x2﹣6ax﹣11，g（x）=3x2+6x+12，和直线m：y=kx+9，又f′（﹣1）=0．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是曲线y=g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）由题中条件：“f′（﹣1）=0”，先求出函数的导数，再代入计算f′（﹣1）的值，即可求得a的值；‎ ‎（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是曲线y=g（x）的切线，再利用导数的几何意义，求出曲线y=g（x）的切线和曲线y=f（x）的切线，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=3ax2+6x﹣6a，f′（﹣1）=0，‎ 即3a﹣6﹣6a=0，∴a=﹣2．‎ ‎（2）∵直线m恒过定点（0，9），先求直线m是曲线y=g（x）的切线，设切点为（x0，3x02+6x0+12），‎ ‎∵g′（x0）=6x0+6，‎ ‎∴切线方程为y﹣（3x02+6x0+12）=（6x0+6）（x﹣x0），将点（0，9）代入，得x0=±1，‎ 当x0=﹣1时，切线方程为y=9；‎ 当x0=1时，切线方程为y=12x+9．‎ 由f′（x）=0得﹣6x2+6x+12=0，即有x=﹣1或x=2，‎ 当x=﹣1时，y=f（x）的切线方程为y=﹣18；‎ 当x=2时，y=f（x）的切线方程为y=9．‎ ‎∴公切线是y=9．‎ 又有f′（x）=12得﹣6x2+6x+12=12，∴x=0或x=1．‎ 当x=0时，y=f（x）的切线方程为y=12x﹣11；‎ 当x=1时，y=f（x）的切线方程为y=12x﹣10，‎ ‎∴公切线不是y=12x+9．‎ 综上所述公切线是y=9，此时存在，k=0．‎ ‎　‎ ‎21．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），且曲线C1上的点对应的参数θ=，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（1）写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2交于P、Q两点，射线OP与曲线C1交于点A，射线OQ与曲线C1交于点B，求的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）利用三种方程的互化方法，即可写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）分别代入中，即可求的值．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 因此C1的极坐标方程为 ‎（2）M1（0，1），M2（2，0）⇒M1M2：x+2y﹣2=0‎ 恰好过的圆心，∴OP⊥OQ⇒OA⊥OB，‎ ‎∴‎ 分别代入中，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，且椭圆过点（0，），（，﹣），且A是椭圆上位于第一象限的点，且△AF1F2的面积S=．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）过点B（3，0）的直线l与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与x轴相交于M，N两点，点C（，0），则•是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：，解出椭圆E的方程．由△AF1F2的面积，可得，解得yA，代入椭圆方程可得xA．‎ ‎（2）法一：设直线l的方程为x=my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线AP的方程为，可得．同理可得．联立，可得（2+m2）y2+6my+3=0．把根与系数的关系代入|CM|•|CN|，即•，即可得出定值．‎ 法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，0），N（x4，0），直线l，AP，AQ的斜率分别为k，k1，k2，由，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0，可得k1+k2=﹣2．由y﹣1=k1（x﹣2），令y=0，得，即，同理可得：‎ ‎，代入|CM|•|CN|，即•，即可得出定值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆．‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴椭圆E的方程为．‎ ‎∵△AF1F2的面积，‎ ‎∴，‎ ‎∴yA=1，代入椭圆方程．‎ ‎∵xA＞0，∴xA=2，∴A（2，1）．‎ ‎（2）法一：设直线l的方程为x=my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2）．‎ 直线AP的方程为，‎ 可得，即．‎ 直线AQ的方程为，‎ 可得，即．‎ 联立，消去x，整理，‎ 得（2+m2）y2+6my+3=0．‎ 由△=36m2﹣12（2+m2）＞0，可得m2＞1．‎ ‎∴，‎ ‎∴|CM|•|CN|为定值，且．‎ 即•=．‎ 法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，0），N（x4，0），直线l，AP，AQ的斜率分别为k，k1，k2，‎ 由，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0，△=144k4﹣4（1+2k2‎ ‎）（18k2﹣6）＞0，可得k2＜1，，‎ 由y﹣1=k1（x﹣2），令y=0，得，‎ 即，‎ 同理得，‎ 即，则 ‎∴|CM|•|CN|为定值，该定值为．‎ 即•=．‎