2017-2018学年广东省佛山市高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年广东省佛山市高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（　　）‎ A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∃x0∉R，x02+2x0+2＞0‎ C．∀x∈R，x2+2x+2≥0 D．∀x∈R，x2+2x+2＞0‎ ‎2．（5分）“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ A．x=﹣4 B．x=﹣2 C．x=2 D．x=4‎ ‎5．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（　　）‎ A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=0‎ ‎6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线方程可以是（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎7．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0相切，则m等于（　　）‎ A．16 B．7 C．﹣4或16 D．7或16‎ ‎8．（5分）已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：‎ p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；‎ q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；‎ 那么，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎9．（5分）若直线x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，4﹣3] B．[﹣4﹣3，4﹣3] C．[﹣4﹣3，﹣5] D．[﹣5，﹣]‎ ‎10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（　　）‎ A．x﹣ B．x C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0‎ ‎11．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，则异面直线PE，CD所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为ab，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程　 　．‎ ‎14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　 　．‎ ‎15．（5分）《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为　 　．‎ ‎16．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣1，2），B（0，﹣1），C（4，1）．‎ ‎（Ⅰ）求顶点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．‎ ‎18．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）2+y2=36上的动点，B的坐标为（﹣2，0），P在线段AB上，满足=．‎ ‎（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．‎ ‎（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2‎ ‎，求直线l的方程．‎ ‎19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；‎ ‎（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．‎ ‎20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．‎ ‎21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且经过点P（）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△‎ ABC能否为正三角形？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（　　）‎ A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∃x0∉R，x02+2x0+2＞0‎ C．∀x∈R，x2+2x+2≥0 D．∀x∈R，x2+2x+2＞0‎ ‎【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．‎ ‎【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得 若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为 ‎∀x∈R，x2+2x+2＞0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△≥0，解得a范围．即可判断出关系．‎ ‎【解答】解：关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△=4﹣4a≥0，解得a≤1．‎ ‎∴“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，求得结果．‎ ‎【解答】解：直线3x+4y﹣12=0，即直线6x+8y﹣24=0，‎ 根据直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0平行，可得a=6，‎ 故两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ A．x=﹣4 B．x=﹣2 C．x=2 D．x=4‎ ‎【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其准线方程，利用抛物线的定义可得|4﹣（﹣）|=6，解可得﹣=﹣2，即可得抛物线的准线方程．‎ ‎【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=2px，则其准线为x=﹣，‎ 又由抛物线上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则M到准线的距离为6，‎ 则有|4﹣（﹣）|=6，‎ 解可得﹣=﹣2，‎ 即抛物线的准线方程为x=﹣2；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的几何性质，关键是分析得到点M到准线的距离为6．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（　　）‎ A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=0‎ ‎【分析】由点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，﹣y），即可得到所求对称的直线方程．‎ ‎【解答】解：点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，﹣y），‎ 将直线2x﹣3y+2=0中的x不变，y换为﹣y，‎ 可得2x+3y+2=0．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查直线关于直线的对称问题解法，注意特殊直线的代换方法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线方程可以是（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】根据题意，依次分析选项，求出选项中双曲线的渐近线方程，综合即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；‎ 对于B，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；‎ 对于C，双曲线的方程为﹣‎ ‎=1，其焦点在x轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，不符合题意；‎ 对于D，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，符合题意；‎ 故选：D ‎【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意分析双曲线的焦点的位置．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0相切，则m等于（　　）‎ A．16 B．7 C．﹣4或16 D．7或16‎ ‎【分析】根据两圆内切时两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，‎ 两圆外切时两圆的圆心距等于半径之和，列方程求出m的值．‎ ‎【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1；‎ 圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0化为（x﹣4）2+（y+4）2=32﹣m，‎ 表示以（4，﹣4）为圆心，半径等于的圆；‎ 由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，‎ 可得5=|﹣1|，‎ 解得m=﹣4．‎ 两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=+1，‎ 解得m=16，‎ 综上，m的值为﹣4或16．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了两圆的位置关系应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：‎ p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；‎ q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；‎ 那么，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎【分析】判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由25﹣k=k﹣9时，2k=34，得k=17时，方程不表示椭圆，即命题p是假命题，‎ 若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，‎ 即，得k＜9，即命题q是真命题，‎ 则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题真假判断的应用，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若直线x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，4﹣3] B．[﹣4﹣3，4﹣3] C．[﹣4﹣3，﹣5] D．[﹣5，﹣]‎ ‎【分析】显然曲线y=有表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于半径列出关于m的方程，求出m的值；当直线过（5，0）时，把（5，0）代入直线方程求出m的值，根据两次求出的m的值写出满足题意m的范围即可 ‎【解答】解：显然曲线y=‎ 有表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，‎ 根据题意画出图形，如图所示：‎ 当直线与圆相切时，圆心到直线y=x+m的距离d=r，‎ ‎，解得：m=4﹣3或m=﹣4﹣3（舍去），‎ 当直线过（5，0）时，代入得：5+m=0，解得：m=﹣5，‎ 则满足题意的m的范围是[﹣5，4﹣3]，‎ 故选：A ‎【点评】此题考查了直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想．准确判断出曲线方程为半圆且根据题意画出图形是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（　　）‎ A．x﹣ B．x C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0‎ ‎【分析】由已知椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），结合已知利用“点差法”求得直线l的斜率，代入直线方程点斜式得答案．‎ ‎【解答】解：由椭圆E：，得a2=18，b2=9，‎ 则c=，‎ ‎∴椭圆E：的右焦点为F（3，0），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），‎ 则，，‎ 两式作差可得：，‎ 即，‎ ‎∵过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，‎ ‎∴，则，即AB所在直线的斜率为，‎ ‎∴直线l的方程为y﹣0=（x﹣3），即x﹣2y﹣3=0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解与弦中点有关的问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，则异面直线PE，CD所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【分析】以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PE，CD所成的角．‎ ‎【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，‎ E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，‎ ‎∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ P（2，0，2），E（0，1，0），C（2，2，0），D（4，0，0），‎ ‎=（﹣2，1，﹣2），=（2，﹣2，0），‎ 设异面直线PE，CD所成的角为θ，‎ 则cosθ===，‎ ‎∴θ=45°，‎ ‎∴异面直线PE，CD所成的角为45°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为ab，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为ab，求出A的坐标，代入圆的方程，结合离心率公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，‎ 双曲线的两条渐近线方程为y=±x，‎ 设A（x，x），（x＞0），由对称性可得四边形ABCD为矩形，‎ ‎∵四边形ABCD的面积为ab，‎ ‎∴2x•=ab，‎ ‎∴x=a，‎ 将A（a，b）代入x2+y2=a2，可得a2+b2=a2，∴b2=3a2，‎ ‎∴双曲线的离心率e====2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，主要是离心率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程　4x﹣3y﹣1=0　．‎ ‎【分析】设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0，把点（1，1）代入可得m，即可得出．‎ ‎【解答】解：设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0，‎ 把点（1，1）代入可得：4﹣3+m=0，解得m=﹣1．‎ ‎∴要求的直线方程为：4x﹣3y﹣1=0．‎ 故答案为：4x﹣3y﹣1=0．‎ ‎【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　12+　．‎ ‎【分析】由几何体的三视图得：该几何体是长方体和圆锥的组合体，其中长方体的长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面半径r=，高为2，由此能求出该几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由几何体的三视图得：‎ 该几何体是长方体和圆锥的组合体，‎ 其中长方体的长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面半径r=，高为2，‎ ‎∴该几何体的体积：‎ V==12+．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、长方体及圆锥的体积等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为　4π　．‎ ‎【分析】三棱锥A﹣BCD的外接球的半径：R==‎ ‎，由此能求出三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，‎ AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，‎ ‎∴三棱锥A﹣BCD的外接球的半径：‎ R====1，‎ ‎∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为：‎ S=4πR2=4π．‎ 故答案为：4π．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查新宝定义、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为　5　．‎ ‎【分析】先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最大值．‎ ‎【解答】解：双曲线的两个焦点为F1（﹣4，0）、F2‎ ‎（4，0），为两个圆的圆心，半径分别为r1=2，r2=1，‎ ‎|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|﹣1，‎ 故|PM|﹣|PN|的最大值为（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=|PF1|﹣|PF2|+3=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的几何性质以及平面几何等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣1，2），B（0，﹣1），C（4，1）．‎ ‎（Ⅰ）求顶点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）如图，设AC∩BD=M，因为四边形ABCD为平行四边形，所以对角线互相平分，利用中点坐标公式可得M，进而得到D的坐标．‎ ‎（Ⅱ）依题意可得kBC，可得点斜式可得直线BC的方程，利用两点之间的距离公式可得：|BC|．利用点到直线的距离公式可得点A到直线BC的距离d，即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图，设AC∩BD=M，‎ 因为四边形ABCD为平行四边形，所以对角线互相平分，‎ 又A（﹣1，2），C（4，1）．∴M，‎ 又B（0，﹣1），所以顶点D的坐标为（3，4）．‎ ‎（Ⅱ）依题意可得kBC==，‎ 故直线BC的方程为y=x﹣1，即x﹣2y﹣2=0，‎ 又|BC|==2，‎ 点A到直线BC的距离d==．‎ 所以四边形ABCD的面积S=|BC|•d=2=14．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质、点到直线的距离公式、中点坐标公式、四边形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）2+y2=36上的动点，B的坐标为（﹣2，0），P在线段AB上，满足=．‎ ‎（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．‎ ‎（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），可得，又：（x0﹣4）2+y02=36，即x2+y2=4．即可求出，‎ ‎（Ⅱ）若l斜率不存在，直线l的方程为x=﹣1，此时符合题意；若l斜率存在，设直线l的方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0，根据点到直线的距离公式即可求出 ‎【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），‎ 依题意得，即（x﹣x0，y﹣y0）=2（﹣2﹣x，﹣y），‎ 所以，解得，‎ 又：（x0﹣4）2+y02=36，即x2+y2=4．‎ 又|AP|≠0，所以点P的轨迹C的方程为x2+y2=4．（x≠﹣2）．‎ ‎（Ⅱ）因为直线l与曲线C交于M，N两点，且|MN|=2，‎ 所以原点O到直线l的距离d==1．‎ 若l斜率不存在，直线l的方程为x=﹣1，此时符合题意；‎ 若l斜率存在，设直线l的方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0，‎ 则原点O到直线l的距离d=，解得k=﹣，‎ 此时直线l的方程为4x+3y﹣5=0‎ 所以直线l的方程为4x+3y﹣5=0或x=﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了点的轨迹方程以及直线和圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；‎ ‎（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，取BD1 的中点F，连结EF，FO．由已知可得ACC1A1 是平行四边形，故A1C1∥AC．再由三角形中位线定理可得OF∥DD1，OF=，则OF∥EC，OF=EC，即四边形OCEF为平行四边形．得到A1C1∥EF，由线面平行的判定可得A1C1∥平面BED1；‎ ‎（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，由已知求得所用点的坐标，求出平面BED1的法向量与平面ABCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，取BD1 的中点F，连结EF，FO．‎ ‎∵AA1∥CC1，且AA1=CC1，∴ACC1A1 是平行四边形，故A1C1∥AC．‎ 又OF是△BDD1 的中位线，∴OF∥DD1，OF=，则OF∥EC，OF=EC，‎ ‎∴四边形OCEF为平行四边形．‎ ‎∴OC∥EF，则A1C1∥EF，‎ 又A1C1⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，‎ ‎∴A1C1∥平面BED1；‎ ‎（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，‎ 则B（0，1，0），E（，0，1），D1（0，﹣1，2），，，‎ 设平面BED1 的法向量，‎ 则，令y=1，得，‎ 显然平面ABCD的一个法向量，‎ ‎∴cos＜＞=，‎ ‎∴平面BED1 与平面ABCD所成锐二面角的大小为45°．‎ ‎【点评】‎ 本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），把已知点的坐标代入可得p值，则抛物线方程可求；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为0求得m=，可得直线l：y=kx+，得P（0，），B（，），再求出Q的坐标，由斜率的关系可得点A，Q，O是否共线．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），‎ ‎∴，解得p=2，‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=4x；‎ ‎（Ⅱ）点A，Q，O共线，理由如下：‎ 设直线l：y=kx+m，联立，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0．①‎ 由△=（2km﹣4）2﹣4m2k2=16（1﹣mk）=0，得m=，‎ 则直线l：y=kx+，得P（0，），B（，），‎ 又P关于点B的对称点为Q，故Q（，），‎ 此时，①可化为，解得x=，‎ ‎∴y=kx+=，即A（），‎ ‎∴kOA=kOQ=2k，即点A、Q、O共线．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了点关于点的对称点的求法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD，AC⊥BD，即可得PO⊥AC，即PO⊥OB，又PO⊥BD．即可证得BD⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，求出平面PBC的法向量为，则sinθ=|cos|=||==，即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为AB=CB，AD=CD，BD为公共边，‎ 所以△ABD≌△CBD，‎ 所以∠ABD=∠CBD，又AB=CB，‎ 所以AC⊥BD，且O为AC中点．‎ 又PA=PC，所以PO⊥AC，‎ 又AB⊥BC，所以OA=OB=OC，结合PA=PB，‎ 可得Rt△POA≌Rt△POB，‎ 所以∠POB=∠POA=90°，‎ 即PO⊥OB，又OA∩OB=O，‎ 故PO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．‎ 又PO∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，‎ 不妨设OA=1，易得OP=1，OD=，‎ 则P（0，0，1），B（﹣1，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），‎ 所以，，，‎ 设平面PBC的法向量为，则 ‎，得，‎ 设直线CD与平面PBC所成角为θ，则 sinθ=|cos|=||==，‎ 所以CD与平面PBC所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2‎ ‎（2，0），且经过点P（）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△ABC能否为正三角形？并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意设出椭圆的标准方程并得到c，再由定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC为正三角形，则AB⊥OC且|OC|=|OA|，显然直线AB的斜率存在且不为0，设AB方程为y=kx，则OC的方程为y=﹣，分别联立直线方程与椭圆方程，求出A，C的坐标，得到|OC|与|OA|，代入|OC|=|OA|，得到k2=﹣3，k无实数解，说明△ABC不可能为正三角形．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆F的标准方程为（a＞b＞0），‎ 依题意得c=2，‎ ‎2a=|PF1|+|PF2|=，‎ ‎∴a=，则b2=a2﹣c2=6，‎ 故椭圆F的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC为正三角形，则AB⊥OC且|OC|=|OA|，‎ 显然直线AB的斜率存在且不为0，‎ 设AB方程为y=kx，‎ 则OC的方程为y=﹣，联立，‎ 解得，，‎ ‎∴|OA|=，‎ 同理可得|OC|=．‎ 又|OC|=|OA|，‎ ‎∴，‎ 化简得：k2=﹣3，k无实数解，‎ ‎∴△ABC不可能为正三角形．‎ ‎【点评】本题考查利用椭圆定义求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎　‎