2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二4月月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二4月月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 ‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二4月月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．圆的圆心极坐标是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆的直角坐标方程，得圆心坐标，即可得圆心极坐标．‎ ‎【详解】‎ ‎，即，‎ 可化为，‎ 圆心坐标为,‎ 由于圆心在第四象限，所以=，‎ 即圆心的极坐标是．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎2．下列在曲线 为参数上的点是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：,因为,所以曲线的普通方程为．显然B正确．‎ 考点：参数方程与普通方程间的互化．‎ ‎3．设分别为直线（t为参数）和曲线C：（为参数）上的点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将直线和曲线分别化简成普通方程，得到直线和圆，再利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为直线（t为参数）的普通方程为2x+y-15=0‎ 曲线C：（为参数）的普通方程 ‎ 所以曲线C是以C(1,-2)为圆心，半径的圆，‎ 圆心C（1，-2）到直线距离为 ‎ ‎ 所以的最小值为 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程和普通方程的互化，还有直线与圆的位置关系，能否将参数方程化简为普通方程是解题的关键，属于较为基础的题.‎ ‎4．极坐标系中，点之间的距离是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理进行计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得,‎ 由余弦定理得, ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标、余弦定理的应用,属于基础题．‎ ‎5．若函数则( )‎ A．0 B．1 C．-3 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数f(x)求导，即可求的值.‎ ‎【详解】‎ 函数,‎ 则 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查导数的求法，熟记常见函数的导数公式是解题的关键.‎ ‎6．已知椭圆的离心率为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的离心率求出a，然后设出P点坐标，利用两点间距离公式，转为求解最值即可．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的离心率，可得：，解得a=，‎ 椭圆方程为设P，则P与定点连线距离为 ，‎ 当时，取得最大值3．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆简单的几何性质，考查含的二次函数求最值问题,属于基础题.‎ ‎7．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程变换为椭圆方程，此伸缩变换公式是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对比曲线方程中横纵坐标之间的关系即可得到伸缩变换公式.‎ ‎【详解】‎ 在曲线即上任意取一点P(x,y)，‎ 在伸缩变换后，得到椭圆上对应的点，‎ 可得 ,即伸缩变换公式为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.‎ ‎8．在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 把直线l的方程化为直角坐标方程为x+y-1=0，‎ 点的直角坐标为，故点A到直线l的距离为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与直角坐标之间的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎9．设曲线的参数方程为 为参数，直线l的方程为，则曲线上到直线l的距离为的点的个数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆C化为普通方程，计算圆心到直线l的距离，通过比较所求距离与的关系即可得到满足条件的点的个数．‎ ‎【详解】‎ 化曲线C的参数方程为普通方程：，‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，‎ 与l平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．‎ ‎10．与直线平行的抛物线的切线方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义求出切点坐标，由点斜式写出切线方程即可．‎ ‎【详解】‎ 对函数求导得，设切点坐标为（x,y）, ‎ 因为切线与直线平行得斜率k=2x=2,即x=1,‎ 则切点坐标为（1,1），‎ 与直线平行的抛物线的切线方程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，属于基础题．‎ ‎11．若正实数满足，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，，‎ ‎ ‎ 当且仅当，取等号，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎12．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题.‎ ‎【详解】‎ 不等式去掉绝对值符号得，‎ 即对任意恒成立，‎ 变量分离得，只需，即 所以a的取值范围是 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若实数满足，则的最小值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件可令代入2x-y中，利用余弦函数的性质即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 实数满足，令 ‎ 则，其中，‎ 由余弦函数的性质可知最小值为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的参数方程的应用，考查辅助角公式和余弦函数性质的应用，属于基础题.‎ ‎14．在极坐标系中，已知两点的极坐标为,则（其中为极点）的面积为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件得到，然后由三角形的面积公式计算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意得,由三角形的面积公式可得，‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标的应用、三角形面积的计算公式，属于基础题．‎ ‎15．若关于 x 的不等式 对任意 恒成立，则实数a ‎ 的取值范围是 ___．‎ ‎【答案】 或 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值三角不等式可得|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，于是解不等式a2﹣3a≥4即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，‎ 不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，对任意实数x恒成立，‎ ‎∴a2﹣3a≥4，即（a﹣4）（a+1）≥0，‎ 解得： 或 ，‎ ‎∴实数a的取值范围为 或 ，‎ 故答案为： 或 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式|x+a|﹣|x+b|≤|a﹣b|的应用，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．‎ ‎16．已知点,若圆上存在点,使得线段的中点也在圆上,则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：A点在圆上，可设，通过PA中点也在圆上的条件，可以建立P与圆的相关性。利用参数方程设出圆上A点的坐标，再用迭代法得到关于的方程，根据方程成立的条件即可求出的取值范围。‎ 详解：根据圆，可设 ，PA中点M的坐标即为 ，因为M也在圆上，所以 化简可得 ‎ 根据辅助角公式，化简等式左边，可得 根据，所以若存在的值使上式成立，则 两边同时平方，因式分解得 ‎ 因为，所以只需，可解得 ‎ 所以的取值范围为 ‎ 点睛：本题主要是根据条件，利用参数方程和存在性成立的条件，得到关于的不等式。考查了相关点的轨迹方程、参数方程、存在性成立和不等式解的问题，综合性较强。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线分别交于两点， 求的最大值.‎ ‎【答案】（1）： ， ： ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据转化即可；（2）首先设出点的极坐标，然后利用参数的几何意义求解即可．‎ 试题解析：（1）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，‎ C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ． …4分 ‎（2）设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－＜α＜，‎ 则ρ1＝，ρ2＝2cosα， …6分 ‎＝＝×2cosα(cosα＋sinα)‎ ‎＝(cos2α＋sin2α＋1)＝[cos(2α－)＋1]， …8分 当α＝时，取得最大值(＋1)． …10分 考点：1、直线与圆的极坐标方程；2、两差的余弦公式．‎ ‎18．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎1求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎2设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）圆的普通方程为.直线直角坐标方程 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合，消去参数，得到圆C的普通方程；结合 ‎，代入，得到直线l的直角坐标方程。（2）计算，圆心C到该直线的距离，计算四边形AMBC的面积，计算最小值，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，‎ 即圆的普通方程为. ‎ 由得，‎ 即，由得直线直角坐标方程 ‎ ‎（2）圆心到直线:的距离为 ‎ 是直线上任意一点，则，‎ 四边形面积……9分 四边形面积的最小值为 ‎【点睛】‎ 本道题考查了参数方程、极坐标方程向普通方程的转化，难度中等。‎ ‎19．如图，四边形是直角梯形， ，，又 ‎ ，，直线与直线所成的角为.‎ ‎（1）求证： ； ‎ ‎（2）求点B到平面ACM的距离。‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明平面，然后证明；（2）先证明平面，通过解三角形求出点到平面的距离，利用点是线段的中点，推出点到平面的距离是点到平面的距离的两倍．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴平面，∵平面，‎ ‎∴. ‎ ‎(2) 取的中点，连；作，交的延长线于，连接．作于．‎ 由题设，易知MN//PC，又平面，‎ MN平面,‎ ‎,‎ 平面，，平面，‎ 点到平面的距离为．‎ 点是线段的中点，‎ 点到平面的距离是点到平面的距离的两倍为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，点到平面的距离的求法，属于中档题．‎ ‎20．已知 ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）求出f(x)的最小值，得到关于的不等式，解出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得 ‎① 当时，不等式化为，即．所以，不等式的解为．‎ ‎②当时，不等式化为，即．所以，不等式无解．‎ ‎② 当时，不等式化为，即．所以，不等式的解为．‎ 综上，原不等式的解集为或．‎ ‎（2）不等式在上恒成立，只需，‎ 由可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在时取到最小值为，‎ 即，解得，‎ 即的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，属于基础题．‎ ‎21．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.‎ ‎（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 合计 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？‎ ‎（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少1人是女生的概率.‎ 参考公式：，其中.‎ 临界值表 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（2）根据题意，得出抽取男女生人数，列出所有的基本事件，找出满足条件的基本事件，利用古典概型概率公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 由列联表中数据，‎ 计算得到的观测值为 .‎ 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.‎ ‎（2）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为，‎ 故用分层抽样方法从中抽取5人，‎ 有3人是男生，记为，有2人是女生，记为，‎ 则从这5人中选出2人，‎ 选法有共10种，‎ 设事件表示“作重点发言的2人中，至少有1人是女生”，‎ 则事件发生的情况为，共7种.‎ 所以所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有独立性检验，分层抽样，古典概型，属于简单题目.‎ ‎22．已知曲线（为参数），曲线，将 的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点为曲线上的任意一点，为曲线上的任意一点，求线段的最小值，并求此时的的坐标；‎ ‎（3）过（2）中求出的点做一直线，交曲线于两点，求面积的最大值（为直角坐标系的坐标原点），并求出此时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）曲线：，曲线：；（2）最小值为，此时；（3）最大值为，此时.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过变换求出曲线的参数方程然后化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系，求解曲线的直角坐标方程；（2）由题意线段的最小值，转为圆的圆心到直线的距离减去半径，利用直线的垂直关系，即可求此时的P的坐标．（3）写出三角形的面积公式即可得到最大值，并得到圆心O到直线l的距离，设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离公式进行计算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线（为参数），将的横坐标伸长为原来的2倍，‎ 纵坐标缩短为原来的得到曲线，化为普通方程为，‎ 曲线，即，‎ 可得直角坐标方程为.‎ ‎(2)设，则线段的最小值为点P到直线的距离．‎ 转为圆心到直线的距离减去半径，，‎ 直线的斜率为-1，所以直线PQ的斜率为1，直线PQ方程为y=x,‎ 联立解得Q(1,1).‎ ‎(3)由题意可得，‎ 当，即时取到面积的最大值，‎ 此时可知圆心O到直线l的距离为，‎ 由题意可得直线l的斜率肯定存在并设为k,‎ 则直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,‎ 圆心到直线l的距离,解得,‎ 所以直线l的方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的参数方程以及极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎