2020届二轮复习高考解题的数学思想课件
函数与方程思想
总纲目录
应用一 解决与不等式有关的问题
应用二 解决最值或范围问题
应用三 解决与数列有关的问题
应用四 解决与解析几何有关的问题
应用一 解决与不等式有关的问题
例1
已知
f
(
x
)=log
2
x
,
x
∈[2,16],对于函数
f
(
x
)值域内的任意实数
m
,
使
x
2
+
mx
+4>2
m
+4
x
恒成立的实数
x
的取值范围为
( )
A.(-
∞
,-2] B.[2,+
∞
)
C.(-
∞
,-2]
∪
[2,+
∞
) D.(-
∞
,-2)
∪
(2,+
∞
)
答案
D
解析
因为
x
∈[2,16],所以
f
(
x
)=log
2
x
∈[1,4],
即
m
∈[1,4].
不等式
x
2
+
mx
+4>2
m
+4
x
恒成立,
即为
m
(
x
-2)+(
x
-2)
2
>0恒成立.
设
g
(
m
)=(
x
-2)
m
+(
x
-2)
2
,
则此函数在区间[1,4]上恒大于0,
所以
即
解得
x
<-2或
x
>2.
【技法点评】
解决不等式问题的方法及注意点
(1)在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造
适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.
(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量
和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.
1
.已知
f
(
x
)是定义在R上的可导函数,且满足(
x
+2)
f
(
x
)+
xf
'(
x
)>0,则
( )
A.
f
(
x
)>0 B.
f
(
x
)<0
C.
f
(
x
)为减函数 D.
f
(
x
)为增函数
答案
A 令
g
(
x
)=
x
2
f
(
x
)e
x
,
则
g
'(
x
)=2
xf
(
x
)e
x
+
x
2
f
'(
x
)e
x
+
x
2
f
(
x
)e
x
=
x
e
x
[(
x
+2)
f
(
x
)+
xf
'(
x
)],
因为(
x
+2)
f
(
x
)+
xf
'(
x
)>0,
所以当
x
>0时,
g
'(
x
)>0,函数
g
(
x
)单调递增,
当
x
<0时,
g
'(
x
)<0,函数
g
(
x
)单调递减,
故
g
(
x
)=
x
2
f
(
x
)e
x
>
g
(0)=0,
即
f
(
x
)>0.故选A.
2
.对于满足0
≤
p
≤
4的所有实数
p
,使不等式
x
2
+
px
>4
x
+
p
-3成立的
x
的取值范围是
.
答案
(-
∞
,-1)
∪
(3,+
∞
)
解析
设
f
(
p
)=(
x
-1)
p
+
x
2
-4
x
+3,
当
x
=1时,
f
(
p
)=0,不符合题意.所以
x
≠
1.
f
(
p
)在0
≤
p
≤
4上恒为正等价于
即
解得
x
>3或
x
<-1.
应用二 解决最值或范围问题
例2
(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形
ABCD
中,
AB
⊥
BC
,
AD
⊥
CD
,∠
BAD
=120
°
,
AB
=
AD
=1.若点
E
为边
CD
上的动点,则
·
的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.3
答案
A
解析
如图,以
D
为坐标原点建立直角坐标系.
连接
AC
,由题意知∠
CAD
=∠
CAB
=60
°
,∠
ACD
=∠
ACB
=30
°
,则
D
(0,0),
A
(1,0),
B
,
C
(0,
).设
E
(0,
y
)(0
≤
y
≤
),则
=(-1,
y
),
=
,
∴
·
=
+
y
2
-
y
=
+
,
∴当
y
=
时,
·
有最小值
.
【技法点评】 求最值或参数范围的技巧
(1)充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等
式(组)求解.
(2)充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函
数,然后应用函数知识求解.
(3)当问题中出现两数积与这两数和时,应构建一元二次方程,再
利用方程知识使问题巧妙解决.
(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的
个数.
3
.(2018北京,14,5分)若△
ABC
的面积为
(
a
2
+
c
2
-
b
2
),且∠
C
为钝
角,则∠
B
=
;
的取值范围是
.
答案
;(2,+
∞
)
解析
由余弦定理得
a
2
+
c
2
-
b
2
=2
ac
cos
B
.
又∵
S
=
(
a
2
+
c
2
-
b
2
),
∴
ac
sin
B
=
×
2
ac
cos
B
,
∴tan
B
=
,∴∠
B
=
.
又∵∠
C
为钝角,∴∠
C
=
-∠
A
>
,
∴0<∠
A
<
.
由正弦定理得
=
=
=
+
·
∵0
,
∴
>
+
×
=2,
即
>2.
4
.若对
x
∈(-
∞
,-1],不等式(
m
2
-
m
)2
x
-
<1恒成立,则实数
m
的取值
范围是
.
答案
(-2,3)
解析
不等式(
m
2
-
m
)2
x
-
<1恒成立等价于
m
2
-
m
<
+
⇔
m
2
-
m
<
,构造函数
f
(
x
)=
+
,利用换元法,令
t
=
,则
y
=
t
2
+
t
=
-
,∵
x
∈(-
∞
,-1],∴
t
∈[2,+
∞
),∴
y
=
t
2
+
t
=
-
的
最小值为6,∴
m
2
-
m
<6
⇔
m
2
-
m
-6<0
⇔
-2<
m
<3,所以实数
m
的取值范
围是-2<
m
<3.
应用三 解决与数列有关的问题
例3
已知数列{
a
n
}是各项均为正数的等差数列.
(1)若
a
1
=2,且
a
2
,
a
3
,
a
4
+1成等比数列,求数列{
a
n
}的通项公式
a
n
;
(2)在(1)的条件下,数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,设
b
n
=
+
+
…
+
,若对任意的
n
∈N
*
,不等式
b
n
≤
k
恒成立,求实数
k
的最小值.
解析
(1)因为{
a
n
}是正项等差数列,所以
d
≥
0,
由题意知
=
a
2
·(
a
4
+1),又
a
1
=2,
所以(2+2
d
)
2
=(2+
d
)(3+3
d
),
解得
d
=2或
d
=-1(舍去),
所以数列{
a
n
}的通项公式
a
n
=2
n
.
(2)易知
S
n
=
n
(
n
+1),
则
b
n
=
+
+
…
+
=
+
+
…
+
=
-
+
-
+
…
+
-
=
-
=
=
,
令
f
(
x
)=2
x
+
(
x
≥
1),
则
f
'(
x
)=2-
,
当
x
≥
1时,
f
'(
x
)>0恒成立,
所以
f
(
x
)在[1,+
∞
)上是增函数,
故当
x
=1时,
f
(
x
)
min
=
f
(1)=3,
即当
n
=1时,(
b
n
)
max
=
,
要使对任意的正整数
n
,不等式
b
n
≤
k
恒成立,
则须使
k
≥
(
b
n
)
max
=
,
所以实数
k
的最小值为
.
【技法点评】
数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类
型:
(1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或
不等式求解.
(2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式
组
(
n
≥
2,
n
∈N
*
)或
(
n
≥
2,
n
∈N
*
)求解.
(3)数列中前
n
项和的最值转化为二次函数,借助二次函数的单调
性或求使
a
n
≥
0(
a
n
≤
0)成立时最大的
n
值即可求解.
5.
设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若
S
4
=-2,
S
5
=0,
S
6
=3,则
nS
n
的最小
值为
.
答案
-9
解析
由已知得,
a
5
=
S
5
-
S
4
=2,
a
6
=
S
6
-
S
5
=3,因为数列{
a
n
}为等差数列,
所以公差
d
=
a
6
-
a
5
=1.又
S
5
=
=0,所以
a
1
=-2,故
S
n
=-2
n
+
=
,即
nS
n
=
,令
f
(
x
)=
(
x
>0),则
f
'(
x
)=
x
2
-5
x
,令
f
'(
x
)>
0,得
x
>
,令
f
'(
x
)<0,得0<
x
<
.又
n
为正整数,所以当
n
=3时,
nS
n
=
取得最小值,即
nS
n
的最小值为-9.
6.
(2018天津,18,13分)设{
a
n
}是等差数列,其前
n
项和为
S
n
(
n
∈N
*
);
{b
n
}是等比数列,公比大于0,其前n项和为
T
n
(
n
∈N
*
).已知
b
1
=1,
b
3
=
b
2
+2,
b
4
=
a
3
+
a
5
,
b
5
=
a
4
+2
a
6
.
(1)求
S
n
和
T
n
;
(2)若
S
n
+(
T
1
+
T
2
+
…
+
T
n
)=
a
n
+4
b
n
,求正整数
n
的值.
解析
(1)设等比数列{
b
n
}的公比为
q
(
q
>0).
由
b
1
=1,
b
3
=
b
2
+2,可得
q
2
-
q
-2=0.
因为
q
>0,可得
q
=2,故
b
n
=2
n
-1
.
所以
T
n
=
=2
n
-1.
设等差数列{
a
n
}的公差为
d
.由
b
4
=
a
3
+
a
5
,可得
a
1
+3
d
=4.
由
b
5
=
a
4
+2
a
6
,可得3
a
1
+13
d
=16,从而
a
1
=1,
d
=1,
故
a
n
=
n
,所以,
S
n
=
.
(2)由(1),有
T
1
+
T
2
+
…
+
T
n
=(2
1
+2
2
+
…
+2
n
)-
n
=
-
n
=2
n
+1
-
n
-2.
由
S
n
+(
T
1
+
T
2
+
…
+
T
n
)=
a
n
+4
b
n
可得
+2
n
+1
-
n
-2=
n
+2
n
+1
,
整理得
n
2
-3
n
-4=0,
解得
n
=-1(舍)或
n
=4.
所以,
n
的值为4.
应用四 解决与解析几何有关的问题
例4
(2018浙江,21,15分)如图,已知点
P
是
y
轴左侧(不含
y
轴)一点,
抛物线
C
:
y
2
=4
x
上存在不同的两点
A
,
B
满足
PA
,
PB
的中点均在
C
上.
(1)设
AB
中点为
M
,证明:
PM
垂直于
y
轴;
(2)若
P
是半椭圆
x
2
+
=1(
x
<0)上的动点,求△
PAB
面积的取值范
围.
解析
(1)证明:设
P
(
x
0
,
y
0
),
A
,
B
.
因为
PA
,
PB
的中点在抛物线上,
所以
y
1
,
y
2
为方程
=4·
,即
y
2
-2
y
0
y
+8
x
0
-
=0的两个不
同的实根.
所以
y
1
+
y
2
=2
y
0
,
因此,
PM
垂直于
y
轴.
(2)由(1)可知
所以|
PM
|=
(
+
)-
x
0
=
-3
x
0
,
|
y
1
-
y
2
|=2
.
因此,
S
△
PAB
=
|
PM
|·|
y
1
-
y
2
|=
(
-4
x
0
.
因为
+
=1(
x
0
<0),所以
-4
x
0
=-4
-4
x
0
+4∈[4,5].
因此,△
PAB
面积的取值范围是
.
【技法点评】
解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的
综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运
动变化的过程中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)
变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
7.
在平面直角坐标系
xOy
中,
A
为直线
l
:
y
=2
x
上在第一象限内的点,
B
(5,0),以
AB
为直径的圆
C
与直线
l
交于另一点
D
.若
·
=0,则点
A
的横坐标为
.
答案
3
解析
设
A
(
a
,2
a
),且
a
>0.
又
B
(5,0),故以
AB
为直径的圆的方程为(
x
-5)(
x
-
a
)+
y
(
y
-2
a
)=0.
易知
C
,
由
解得
或
∴
D
(1,2).
又
·
=0,
=(5-
a
,-2
a
),
=
,
∴(5-
a
,-2
a
)·
=
a
2
-5
a
-
=0,
解得
a
=3或
a
=-1.
又
a
>0,∴
a
=3.
8.
已知椭圆
C
的离心率为
,过上顶点(0,1)和左焦点的直线的倾
斜角为
,直线
l
过点
E
(-1,0)且与椭圆
C
交于
A
,
B
两点.
(1)求椭圆
C
的标准方程;
(2)△
AOB
的面积是否有最大值?若有,求出此最大值?若没有,请说
明理由.
解析
(1)由题意知,
e
=
=
,
=
,
b
=1.所以
a
=2.
故椭圆
C
的标准方程为
+
y
2
=1.
(2)有最大值.因为直线
l
过点
E
(-1,0),所以可设直线
l
的方程为
x
=
my
-
1,与椭圆方程联立得方程组
消去
x
并整理,得(
m
2
+4)
y
2
-2
my
-3=0,
Δ
=(-2
m
)
2
+12(
m
2
+4)>0.
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),其中
y
1
>
y
2
,
则由一元二次方程根与系数的关系,得
y
1
+
y
2
=
,
y
1
y
2
=
,
所以|
y
2
-
y
1
|=
,
所以
S
△
AOB
=
|
OE
||
y
2
-
y
1
|
=
=
.
设
t
=
,
t
≥
,则
g
(
t
)=
t
+
,
t
≥
,
易知
g
(
t
)在区间[
,+
∞
)上为增函数,
所以
g
(
t
)
≥
,所以
S
△
AOB
≤
,当且仅当
m
=0时等号成立.
所以△
AOB
的面积存在最大值,为
.
