宁夏六盘山高级中学2020届高三上学期期末考试数学（文）（A卷）试题

宁夏六盘山高级中学2020届高三上学期期末考试数学（文）（A卷）试题

宁夏六盘山高级中学 ‎2019-2020学年第一学期高三期末测试卷文科（A卷）‎ 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150 ‎ 一.选择题：（每题5分，共60分，每题只有一个答案是正确的）‎ ‎1.已知，，若，则a的取值集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解集合，再根据集合之间的关系，确定参数的值.‎ ‎【详解】因为，解得，故集合.‎ 当时，没有实数根，故，满足；‎ 当时，，解得，故集合，‎ 若满足，则，解得.‎ 综上所述，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查由集合之间的关系，求参数值的问题，属基础题.‎ ‎2.已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则，化简复数，根据其类型，列方程计算即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 因为其是纯虚数，故可得，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，以及由复数的类型求参数值的问题，属基础题.‎ ‎3.若x，y满足，则的最大值为（ ）‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 2 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】由题可知，不等式组表示的平面区域如下图所示：‎ 目标函数，可以整理为，与直线平行.‎ 数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，取得最大值.‎ 则的最大值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题.‎ ‎4.直线被圆截得的弦长为，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆的弦的性质，通过勾股定理求出.‎ ‎【详解】圆心为，半径为；圆心到直线的距离为，因为弦长为2，所以，解得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，利用弦长求解参数.直线和圆相交弦长问题，一般通过勾股定理来建立等式.‎ ‎5.已知等比数列满足，且成等差数列，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公比为q，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q，即可得到所求值．‎ ‎【详解】成等差数列，得，即：，‎ 所以，＝16‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎6.若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，利用同角三角函数关系，将目标式转化为的代数式，代值计算即可.‎ ‎【详解】因为角终边在直线上，故可得；‎ 又.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦的倍角公式，由角度终边所在位置求解三角函数值，属综合基础题.‎ ‎7.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线方程为，计算截距得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】易知斜率不存时不满足；‎ 设直线方程为，则截距和为：解得或 ‎ 故直线方程为：和 故选 ‎【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.如果双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线方程为，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先求出双曲线的方程，再计算出通径的长度即为所求.‎ ‎【详解】设双曲线方程为，‎ 由题可知，结合，‎ 解得.‎ 故双曲线的通径长.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程的计算，以及通径长度的计算，涉及由抛物线方程求焦点的坐标，属综合基础题.‎ ‎9.已知函数 ，且 ，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以，则，即，则；故选A.‎ ‎10.如下图，在正方体中，O是底面的中心，则异面直线和所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，找出异面直线夹角为，在中求解即可.‎ ‎【详解】连接，如下图所示：‎ 因为是正方形，‎ 故可得//，‎ 故四边形为平行四边形，‎ 故//，‎ 则即为所求角或其补角. ‎ 设正方体棱长为2，则在中：‎ ‎，‎ 故，‎ 则.‎ 则异面直线和所成角的大小为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，处理问题的关键是平移直线从而找到夹角，属基础题.‎ ‎11.若是定义在R上的奇函数，且对任意x，都有.当时，，则（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求得函数的周期，再根据上函数的解析式，即可求得函数值.‎ ‎【详解】因为是定义在R上的奇函数，故可得，‎ 又因为，故可得，‎ 故是周期为3的周期函数.‎ 则 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数周期的求解，以及利用函数周期求函数值的问题，涉及特殊角的三角函数值，属基础题.‎ ‎12.函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的x的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，根据的性质，求得的性质，再利用的性质，求解不等式即可.‎ ‎【详解】构造函数，则；‎ 因为对，都有成立，‎ 故可得在上恒成立，故是上的单调增函数.‎ 又因为，故可得，‎ 又不等式等价于，‎ 根据的性质，容易得不等式解集为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调性，涉及构造函数法，属中档题.‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13.如下图是一个算法流程图，则输出的k的值为______.‎ ‎ ‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，即可得到输出结果.‎ ‎【详解】模拟执行程序框图如下：‎ ‎，不满足，故，‎ ‎，不满足，故，‎ ‎，满足，输出.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.‎ ‎14.如图是一组数据（x，y）的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的线性回归方程为＝x＋1，则＝________.‎ ‎【答案】0.8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归直线必过样本点中心，即可求出．‎ ‎【详解】由图可知，＝＝2，‎ ‎＝＝26，‎ 将（2，2.6）代入＝x＋1中，解得＝0.8．‎ 故答案为：0.8．‎ ‎【点睛】本题主要考查由线性回归直线必过样本点中心，求参数的值，属于基础题．‎ ‎15.已知为等差数列的前n项和，且，，则______.‎ ‎【答案】210‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的基本量，求出数列的公差，利用公式即可求得结果.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 因为，故可得，解得.‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的基本量的计算，属基础题.‎ ‎16.已知向量，，且，则向量与的夹角大小为______弧度.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的坐标运算，求得参数，再根据向量夹角的坐标计算公式，即可求得.‎ ‎【详解】因为，，且，‎ 故可得，解得，则，‎ 故，‎ 又向量夹角的范围为，‎ 故向量与的夹角大小为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量坐标的运算，涉及数量积的坐标运算，夹角的坐标运算，属基础题.‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明）‎ ‎17.在中，角所对的边分别为，且． （1）求角；‎ ‎（2）点在线段上，满足，且，，求线段的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件，且，，再运用正弦定理建立方程求解：‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，所以．‎ 因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）由条件．由．设，则，‎ ‎，在中，由正弦定理得．故．所以．‎ ‎18.银川市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，）进行了一次调查统计，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）试估计该市市民的平均购房面积：‎ ‎（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从购房面积位于的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在的概率，‎ ‎【答案】(1) 96平方米；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，结合平均数的求解方法即可代值计算；‎ ‎（2）先计算出从区间，各抽取的人数，再计算出所有抽取的可能情况数量以及满足题意的可能情况的数量，用古典概型的概率计算公式即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设该市市民的平均购房面积为平方米，‎ 则 解得.‎ 故该市市民的平均购房面积为96平方米.‎ ‎（2）由题可知在区间，上的人数分别有30人，10人，‎ 从中抽取4人，则在区间，上抽取的人数分别为3人，1人.‎ 设区间的3人为，在区间的1人为，‎ 故从4人中抽取2人的所有可能有6种，具体如下：‎ ‎，‎ 其中满足题意的有3种，具体如下：‎ ‎，‎ 故这2人的购房面积恰好有一人在的概率.‎ ‎【点睛】本题考查由频率分布直方图计算平均数，涉及古典概型的概率求解，分层抽样性质的应用，属综合基础题.‎ ‎19.在平行四边形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点，.连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明．，．推出，，得到平面BFP，然后证明平面平面BCP．（2）解法一：证明平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，得到平面ABCD．然后求解棱锥的高．解法二：证明平面ABCD．三棱锥的高等于．说明的面积是四边形ABCD的面积的，通过，求解三棱锥的体积．‎ ‎【详解】（1）证明：如题图1，在中，，，所以．‎ 在中，，所以．‎ 所以．‎ 如题图2，．又因为，所以，，，‎ 所以平面BFP，又因为平面BCP，所以平面平面BCP．‎ ‎（2）解法一：因为平面平面ABCD，‎ 平面平面，平面ADP，，所以平面ABCD．‎ 取BF的中点为O，连结GO，则，所以平面ABCD．‎ 即GO为三棱锥的高．‎ 且．‎ 因为，三棱锥体积为．‎ 解法二：因为平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，‎ 所以平面ABCD．‎ 因为G为PB的中点．‎ 所以三棱锥的高等于．‎ 因为H为CD的中点，所以的面积是四边形ABCD的面积的，‎ 从而三棱锥体积是四棱锥的体积的．‎ 面，‎ 所以三棱锥的体积为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎20.在中，点，，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．‎ 求E的方程；‎ 设点，过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，是否可能为直角，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，，则，可得M的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，则E的方程可求；‎ 设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系，结合向量数量积，证明不可能为直角．‎ ‎【详解】由题意得，，‎ ‎，‎ 则M的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 又由M，A，B三点不共线，．‎ 的方程为；‎ 设直线PQ的方程为，代入，‎ 得．‎ 设，，则，．‎ ‎∴‎ ‎．‎ 不可能为直角．‎ ‎【点睛】本题考查定义法求椭圆方程，考查了数量积在圆锥曲线中的应用，处理直线与椭圆的位置关系的问题常用到设而不求的方法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）函数在区间（）上有零点，求k的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)0或3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，解得，利用点斜式即可求得切线方程；‎ ‎（2）利用导数判断函数单调性，根据零点存在定理，即可求得零点所在区间，值得解.‎ ‎【详解】（1）因为，故可得，‎ 则，‎ 切线方程为，整理得.‎ 故曲线在处的切线方程为.‎ ‎（2）令，解得，‎ 容易知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 且，‎ 在区间上，存在，使得，‎ 故在区间上有一个零点；‎ 在区间上，因为，‎ 故在区间上有一个零点；‎ 综上所述，满足题意的区间为，，‎ 故的可取值为或.‎ ‎【点睛】本题考查根据导数的几何意义求切线的斜率，以及利用导数讨论函数的零点分布，涉及零点存在定理，属综合基础题.‎ 选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，，求的值．‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线 的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 即， 直线的普通方程为. ‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，‎ 得. 因为直线与曲线交于，两点．‎ 所以，解得.‎ 由根与系数的关系，得，. ‎ 因为点的直角坐标为，在直线上.所以， ‎ 解得，此时满足.且，故.．‎ ‎【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎23.已知a，b，c为正数，函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤10的解集；‎ ‎(2)若f(x)的最小值为m，且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥12.‎ ‎【答案】(1) {x|－3≤x≤7} (2) 证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段讨论的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；‎ ‎（2）求出的值，根据基本不等式得出结论．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 等价于或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，‎ 当且仅当即时取等号．‎ 所以，即．‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．当且仅当时等号成立．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎ ‎