2021版新高考数学一轮复习单元质检卷十一概率A新人教A版

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单元质检卷十一　概率(A)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)‎ ‎1.(2019陕西黄陵中学模拟,6)在区间[-1,4]内取一个数x,则‎2‎x-‎x‎2‎‎≥‎‎1‎‎4‎的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎3‎‎5‎ ‎2.袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用X表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量X的数学期望E(X)是(　　)‎ A.‎11‎‎5‎ B.‎12‎‎5‎ C.‎13‎‎5‎ D.‎‎14‎‎5‎ ‎3.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎5‎ ‎4.(2019湖北武汉四校联考,6)如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷800个点,其中落入黑色部分的有453个点,据此可估计黑色部分的面积约为(　　)‎ A.11 B.10 C.9 D.8‎ 10‎ ‎5.(2019江西九江模拟,6)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a,从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎6.如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架,一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎7‎ ‎ B.‎2‎‎7‎ ‎ C.‎3‎‎7‎ ‎ D.‎‎4‎‎7‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎7.(2019山西晋城三模,14)某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如右的茎叶图,则从中任取1名员工,迟到次数在[20,30)的概率为　　　　. ‎ 10‎ ‎8.(2019江西南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校联考,14)若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动,则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是　　　　. ‎ 三、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)(2019江西上饶三模,19)目前共享单车基本覆盖市区,根据统计,市区所有人骑行过共享单车的人数已占60%,骑行过共享单车的人数中,有30%是学生(含大中专、高职及中学生),若市区人口按40万计算,学生人数约为9.6万.‎ ‎(1)任选出一名学生,求他(她)骑行过共享单车的概率;‎ ‎(2)随着单车投放数量增加,乱停乱放成为城市管理的问题,如表是本市某组织累计投放单车数量x与乱停乱放单车数量y之间关系图表:‎ 累计投放 单车数量x ‎100000‎ ‎120000‎ ‎150000‎ ‎200000‎ ‎230000‎ 乱停乱放 单车数 ‎1400‎ ‎1700‎ ‎2300‎ ‎3000‎ ‎3600‎ 10‎ 量y 计算y关于x的线性回归方程(其中b‎^‎精确到0.000 1,a‎^‎值保留三位有效数字),并预测当x=26 000时,单车乱停乱放的数量;‎ ‎(3)已知信州区、广丰区、上饶县、经开区四区中,其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准,在“大美上饶”活动中,检查组随机抽取两个区调查单车乱停乱放数量,X表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”,求X的分布列和数学期望.‎ 参考公式和数据:回归直线方程y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎中的斜率和截距的最小二乘估计分别为b‎^‎‎=‎∑‎i=1‎nxiyi‎-nxy‎∑‎i=1‎nxi‎2‎‎-nx‎2‎=‎∑‎i=1‎n‎(xi-x)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎n‎(xi-x)‎‎2‎,a‎^‎=y-‎b‎^‎x,‎ ‎∑‎i=1‎‎5‎xiyi=2 117 000 000,‎∑‎i=1‎‎5‎xi‎2‎=1 398×108‎ ‎10.(14分)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列,‎ ‎(1)求a,b,c的值及居民用水量介于2~2.5的频数;‎ 10‎ ‎(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应定为多少立方米?(精确到小数点后2位)‎ ‎(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及其均值.‎ ‎11.(16分)交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率就越高,具体浮动情况如表:‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 A1‎ 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ A2‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ A3‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ A4‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ A5‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ A6‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 10‎ 某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计如下表:‎ 类型 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ 数量 ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ 以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:‎ ‎(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,a=950(元),记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X的分布列与数学期望;‎ ‎(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5 000元,一辆非事故车盈利10 000元:‎ ‎①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;‎ ‎②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求该销售商获得利润的期望值.‎ 参考答案 单元质检卷十一　概率(A)‎ 10‎ ‎1.D　因为‎2‎x-‎x‎2‎‎≥‎‎1‎‎4‎,所以x2-x-2≤0,解得x∈[-1,2],所以P=‎2-(-1)‎‎4-(-1)‎‎=‎3‎‎5‎.‎故选D.‎ ‎2.A　X的可能取值为2,3,P(X=3)=‎2‎‎5‎‎×‎1‎‎4‎+‎2‎‎5‎×‎1‎‎4‎=‎‎1‎‎5‎,P(X=2)=1-P(X=3)=‎4‎‎5‎,∴E(X)=‎4‎‎5‎‎×‎2+‎1‎‎5‎‎×‎3=‎11‎‎5‎,故选A.‎ ‎3.B　基本事件总数n=C‎6‎‎2‎C‎4‎‎2‎C‎2‎‎2‎=90,每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C‎3‎‎1‎C‎3‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎=36,所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为P=‎mn‎=‎36‎‎90‎=‎2‎‎5‎.‎ ‎4.C　因为边长为4的正方形二维码面积为42=16,设图中黑色部分的面积为S,则S‎16‎‎=‎‎453‎‎800‎,所以S=‎453‎‎50‎‎≈‎9.故选C.‎ ‎5.B　基本事件总数为4×3=12,当m⊥n时,b=2a,满足m⊥n的基本事件有(2,4),(3,6),(4,8),共3个,故所求概率为P=‎3‎‎12‎‎=‎‎1‎‎4‎,故选B.‎ ‎6.B　根据题意,最近路线,即不能走回头路,不能走重复的路,∴一共要走3次向上,2次向右,2次向前,一共7次,‎ ‎∴最近的行走路线共有n=A‎7‎‎7‎=5040,‎ ‎∵不能连续向上,∴先把不向上的次数排列起来,也就是将2次向右和2次向前全排列A‎4‎‎4‎,‎ 接下来,把3次向上插到4次不向上之间的空当中,5个位置排三个元素,也就是A‎5‎‎3‎,则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m=A‎4‎‎4‎A‎5‎‎3‎=1440种,‎ ‎∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P=‎mn‎=‎1440‎‎5040‎=‎2‎‎7‎.‎ ‎7‎.‎‎3‎‎10‎　依题意,该公司共有20名员工,其中迟到次数在[20,30)的有6人,故所求概率P=‎‎3‎‎10‎‎.‎ 10‎ ‎8‎.‎‎5‎‎7‎　从5名男同学和2名女同学中选出3人,有C‎7‎‎3‎=35种选法.选出的男女同学均不少于1名,有C‎5‎‎1‎‎·C‎2‎‎2‎+C‎5‎‎2‎·‎C‎2‎‎1‎=25种选法.故选出的同学中男女生均不少于1名的概率P=‎‎25‎‎35‎‎=‎5‎‎7‎.‎ ‎9.解(1)骑行单车的学生人数为40×60%×30%=7.2,故任选一学生骑行过单车的概率为‎7.2‎‎9.6‎‎=‎3‎‎4‎.‎ ‎(2)由题意得x=160000,y=2400,b‎^‎‎=‎2117×‎10‎‎6‎-5×16×24×‎‎10‎‎6‎‎1398×‎10‎‎8‎-5×256×‎‎10‎‎8‎=‎197‎‎118‎×‎1‎‎10‎‎2‎≈‎0.016 7,‎ a‎^‎‎=2 400-0.016 7×160 000=-272,故所求回归方程为y‎^‎=0.016 7x-272,‎ 当x=26 000时,y‎^‎‎≈‎162,即单车投放累计26 000辆时,乱停乱放的单车数量为162.‎ ‎(3)X的取值为0,1,2,‎ P(X=0)=C‎2‎‎2‎C‎4‎‎2‎‎=‎‎1‎‎6‎;P(X=1)=C‎2‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎4‎‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎;P(X=2)=C‎2‎‎2‎C‎4‎‎2‎‎=‎‎1‎‎6‎,X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎6‎ ‎2‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ E(X)=0‎×‎‎1‎‎6‎+1‎×‎‎2‎‎3‎+2‎×‎‎1‎‎6‎=1.‎ ‎10.解(1)∵前四组频数成等差数列,‎ ‎∴所对应的频率也成等差数列,‎ 设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,∴0.5(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,‎ 解得d=0.1,a=0.3,b=0.4,c=0.5.‎ 居民月用水量介于2~2.5的频率为0.25.‎ 10‎ 居民月用水量介于2~2.5的频数为0.25×100=25人.‎ ‎(2)由题图和(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,‎ 应定为ω=2.5+‎0.1‎‎0.3‎‎≈‎2.83(立方米).‎ ‎(3)将频率视为概率,设A代表居民月用水量,由题图知:‎ P(A≤2.5)=0.7,‎ 由题意X~B(3,0.7),‎ P(X=0)=C‎3‎‎0‎‎×‎0.70×0.33=0.027,‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎‎×‎0.32×0.7=0.189,‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎‎×‎0.3×0.72=0.441,‎ P(X=3)=C‎3‎‎3‎‎×‎0.73=0.343.‎ ‎∴X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.027‎ ‎0.189‎ ‎0.441‎ ‎0.343‎ ‎∵X~B(3,0.7),∴E(X)=np=2.1.‎ ‎11.解(1)由题意可知,X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a,‎ 由统计数据可知:P(X=0.9a)=‎1‎‎5‎,P(X=0.8a)=‎1‎‎10‎,P(X=0.7a)=‎1‎‎10‎,P(X=a)=‎3‎‎10‎,P(X=1.1a)=‎1‎‎5‎,P(X=1.3a)=‎1‎‎10‎,‎ 10‎ ‎∴X的分布列为:‎ X ‎0.9a ‎0.8a ‎0.7a a ‎1.1a ‎1.3a P ‎1‎‎5‎ ‎1‎‎10‎ ‎1‎‎10‎ ‎3‎‎10‎ ‎1‎‎5‎ ‎1‎‎10‎ ‎∴E(X)=0.9a‎×‎‎1‎‎5‎+0.8a‎×‎‎1‎‎10‎+0.7a‎×‎‎1‎‎10‎+a‎×‎‎3‎‎10‎+1.1a‎×‎‎1‎‎5‎+1.3a‎×‎1‎‎10‎=‎‎9.8‎‎10‎a=931.‎ ‎(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为‎3‎‎10‎,三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=C‎3‎‎0‎‎3‎‎10‎01-‎3‎‎10‎3+C‎3‎‎1‎‎3‎‎10‎11-‎3‎‎10‎2=0.784.‎ ‎②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y的可能取值为-5000,10000,P(Y=-5000)=‎3‎‎10‎,P(Y=10000)=‎7‎‎10‎,∴Y的分布列为:‎ Y ‎-5000‎ ‎10000‎ P ‎3‎‎10‎ ‎7‎‎10‎ E(Y)=-5000‎×‎‎3‎‎10‎+10000‎×‎‎7‎‎10‎=5500.∴该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100E(Y)=550000(元)=55(万元).‎ 10‎