四川省广安市广安中学2019-2020学年高二9月月考数学（理）试题

四川省广安市广安中学2019-2020学年高二9月月考数学（理）试题

广安中学高2018级高二上期9月月考数学（理科)试题 ‎ 一、单选题（共12小题,每小题5分，共60分)‎ ‎1.若，，则两点间的距离为（ ）‎ A. B. 25 C. 5 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ A（1，3，-2）、B（-2，3，2），则A、B两点间的距离为 ‎ 故选C ‎2.直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由直线l的方程为，可得直线的斜率为k=，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，，∴α=150°． 故选：A．‎ ‎3.直线在轴上的截距为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令＝0，求出的值即为所求.‎ ‎【详解】直线，令＝0，解得＝﹣，∴直线在轴上的截距为﹣．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的纵截距的求法，注意直线性质的合理运用，属于基础题．‎ ‎4.已知直线 与直线平行，则它们之间的距离是(　 　)‎ A. 1 B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意两直线平行，得，由直线可化为，再由两直线之间的距离公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意直线与直线平行，则，‎ 即，则直线可化为，‎ 所以两直线之间的距离为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.点关于直线的对称点的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点Q的坐标为（m，n），利用垂直及中点在轴上这两个条件求出m、n的值，可得结论．‎ ‎【详解】设点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点Q的坐标为（m，n），‎ 则由题意可得 故答案为：B．‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求点关于直线l:对称的点的坐标，可以根据直线l垂直平分得到方程组，解方程组即得对称点的坐标.‎ ‎6.已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为（ ）‎ A. 或 B. 或 ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围。‎ ‎【详解】易求得线段的方程为，得，‎ 由直线方程得 ‎，‎ 当时，，此时，；‎ 当时，，此时，。‎ 因此，实数的取值范围是或，故选：A。‎ ‎【点睛】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎7.一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反射光线和入射光线的性质得到反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x-2），化为kx-y-2k-3=0，再由圆和直线的位置关系得到参数值.‎ ‎【详解】点A（-2，-3）关于y轴的对称点为A′（2，-3），‎ 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x-2），‎ 化为kx-y-2k-3=0．‎ ‎∵反射光线与圆（x+3）2+（y-2）2=1相切，‎ ‎∴圆心（-3，2）到直线的距离，‎ 化为24k2+50k+24=0，‎ ‎∴或 故选C．‎ ‎【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。‎ ‎8.已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．‎ ‎【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.‎ ‎∵圆的圆心，，‎ 圆心到直线：的距离，‎ 则．‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎9.若直线（）始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由圆的性质可知，直线，‎ 是圆的直径所在的直线方程，‎ 圆的标准方程为：‎ 圆心在直线上，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 的最小值为，故选D.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查圆的方程与性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎10.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出圆心与半径，则圆上至少有三个不同点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离；从而求直线的斜率的取值范围．‎ ‎【详解】根据题意，圆的标准方程为，其圆心为，半径，‎ 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，‎ 则圆心到直线的距离，‎ 设直线的斜率为，则＝﹣，直线的方程为，则有≤，‎ 解得：，即的取值范围是.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，以及直线倾斜角与斜率的关系等知识，属于中档题．‎ ‎11.圆：和：，M，N分别是圆，上的点，P是直线上的点，则的最小值是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得圆关于的对称的圆的性质，然后将问题转化为三点共线的问题求解最值即可.‎ ‎【详解】圆关于的对称圆的圆心坐标，半径为3，‎ 圆的圆心坐标，半径为1，‎ 由图象可知当P，，，三点共线时，取得最小值，‎ 的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，‎ 即：．‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.已知两点,若曲线上存在点，使得 ‎,则正实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 把圆的方程化为，以为直径的圆的方程为，若曲线上存在点，使得，则两圆有交点，所以，解得 ，选B.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分)‎ ‎13.点关于坐标平面的对称点的坐标是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 点P（x，y，z）关于xOy平面的对称点的坐标：P（x，y，-z）， ∴点P（2，3，5）关于xOy平面的对称点的坐标是（2，3，-5）． 故答案为 ‎14.已知圆关于轴对称，经过点，且被轴分成两段弧,弧长之比为，则圆的方程为：____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心，由题意可得圆被轴截得的弦所对的圆心角为，故有，解得，可得半径的值，从而求得圆的方程．‎ ‎【详解】设圆心，圆经过点，则半径为，根据圆被轴分成两段弧长之比为，‎ 可得圆被轴截得的弦对的圆心角为，故有，解得，‎ 半径，故圆的方程为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆相交的性质，关键是求圆心坐标，属于基础题．‎ ‎15.过定点的直线：与圆：相切于点，则__．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 直线：过定点，的圆心，半径为：3；定点与圆心的距离为：．过定点的直线：与圆：相切于点，则．‎ 点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用d与r的关系．‎ ‎(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．‎ ‎(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．‎ 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．‎ ‎16.已知点,圆与圆，若为圆上的一个动点，则的最小值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，利用圆参数方程建立关于的解析式，则，借助于正弦函数的有界性求最小值即可.‎ ‎【详解】为圆上一个动点，设，且，.‎ 则 ‎，，所以的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了圆的参数方程，以及考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的有界性，属于中档题．‎ 三、解答题（共70分)‎ ‎17.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎18.在四边形中，．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，求．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中通过正弦定理求解出的值，再利用“平方和为 ‎”以及角的范围求解出的值；‎ ‎（2）根据角度间关系得到与的关系，然后利用余弦定理求解长度.‎ ‎【详解】(1)在△ABD中，由正弦定理，得，‎ ‎∴sin∠ADB＝，‎ ‎∵∠ADB＜90°，∴cos∠ADB＝．‎ ‎(2)∠ADB＋∠BDC＝，∴cos∠BDC＝cos(－∠ADB)＝sin∠ADB，∴cos∠BDC＝cos(－∠ADB)＝sin∠ADB，∴cos∠BDC＝．‎ ‎∴＝.∴BC＝．‎ ‎【点睛】解三角形问题中，经常会出现角度和为以及隐含条件内角和为，将这些条件通过三角函数中的诱导公式都可以得到另一种表示形式，要灵活使用：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）因为，则.‎ ‎19.已知平面内两点.‎ ‎（1）求过点且与直线平行的直线的方程；‎ ‎（2）求线段的垂直平分线方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出线段的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程.‎ 试题解析：（1）∵点 ‎∴‎ ‎∴由点斜式得直线的方程 ‎（2）∵点 ‎∴线段的中点坐标为 ‎∵‎ ‎∴线段的垂直平分线的斜率为 ‎∴由点斜式得线段的垂直平分线的方程为 ‎20.设直线的方程为．‎ ‎（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；‎ ‎（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出横截距与纵截距，令其相等即可解出a的值，代入方程即可得到直线方程；‎ ‎（2）由于不过第二象限所以斜率大于等于0，纵截距小于等于0，由题意列不等式组即可求得参数范围.‎ ‎【详解】（1）令方程横截距与纵截距相等：，解得：或0，‎ 代入直线方程即可求得方程：，；‎ ‎（2）由l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，‎ 当且仅当解得a≤－1，故所求的a的取值范围为(－∞，－1]．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的系数与直线的位置关系，纵截距决定直线与y轴的交点，斜率决定直线的倾斜程度，解题时注意斜率与截距等于0的特殊情况，需要分别讨论，避免漏解.‎ ‎21.已知点，圆的圆心为，半径为.‎ ‎（1）设，求过点A且与圆相切的直线方程；‎ ‎（2）设，直线过点A且被圆截得的弦长为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，当切线没有斜率时，直线方程为＝3，成立；当切线有斜率时，设切线方程为，利用圆心到切线的距离公式求出，由此能求出切线的方程．‎ ‎（2）设直线方程为，即，圆心到直线的距离＝，由此能出直线的方程．‎ ‎【详解】（1）∵A（3，3），‎ 当过点A且与圆相切的直线没有斜率时，切线方程为x＝3，成立，‎ 当过点A且与圆相切的直线有斜率时，设切线方程为y﹣3＝k（x﹣3），即，‎ 圆心到切线的距离为半径r＝2，即d＝＝2，解得k＝﹣，‎ ‎∴切线方程为y﹣3＝﹣（x﹣3），即，‎ ‎∴过点A且与圆相切的直线方程为或．‎ ‎（2）∵直线过点A（4，3）且被圆截得的弦长为，‎ 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝4，不成立；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣3＝k（x﹣4），即，‎ 圆心到直线的距离d＝＝，解得k＝0或k＝，‎ ‎∴直线的方程为y﹣3＝（x﹣4）或y﹣3＝0，‎ 故直线的方程为或y＝3．‎ ‎【点睛】本题考查圆、直线方程、弦长的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．‎ ‎22.已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为,为坐标原点．‎ ‎(Ⅰ)求的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)当（不重合）时，求的方程及的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）(或) ， ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|＝|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【详解】（I）圆C的方程可化为，∴圆心为，半径为4，设，‎ ‎∴由题设知 ，即.由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是.‎ ‎（II）由（I）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.‎ 由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而.‎ ‎∵的斜率为3 ∴的方程为.(或).又，到的距离为，，∴的面积为 ‎【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．‎ ‎ ‎