【数学】2020届一轮复习人教A版函数思想学案

【数学】2020届一轮复习人教A版函数思想学案

函数思想 ‎ ‎ ‎【高考展望】‎ 函数知识是高中数学的重要内容之一，也是每年高考必考的重要知识点之一， 分析历年高考函数试题，大致有这样几个特点：‎ ‎1.常常通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象．‎ ‎2.在解答题的考查中，常常与不等式、导数、数列，偶尔也与解析几何等结合命题，以综合题的形式出现．‎ ‎3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查．‎ ‎4.每年高考题中都会涌现出一些函数新题型，但考查的重点仍然是对函数有关知识的深刻理解．‎ ‎【知识升华】‎ ‎1．了解映射的概念，理解函数的概念并能在简单的问题中应用．‎ ‎2．理解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．‎ ‎3.掌握基本初等函数的图像，掌握某些简单函数的图像变换.‎ ‎4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．‎ ‎5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质．‎ ‎6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．‎ 高考冲刺第3讲 函数的概念、图象和性质 368992知识要点】‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：函数的定义域及其求法 函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.‎ 例1．函数的定义域是( )‎ ‎（A）(3,+∞) （B）[3, +∞) （C）(4, +∞) （D）[4, +∞)‎ ‎【思路点拨】此为复合函数的定义域求解，对数、根式等不能漏 ‎【解析】由，故选D.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】函数的定义域为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由且且得 例2．若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a等于 A. B. C. D.2‎ ‎【思路点拨】因为底数不确定，需要讨论.‎ ‎【解析】f（x）=loga（x+1）的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2.‎ 当a＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；‎ 当0＜a＜1时，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾.‎ 综上，a=2.‎ ‎【答案】D 举一反三：‎ ‎【变式1】函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由且得或.‎ 类型二：复合函数问题 ‎ 复合函数问题属于偏难些的内容.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.‎ 例3．若函数的值域是，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【思路点拨】对于复合函数的很多问题都是可以通过换元法来解决的.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】函数对于任意实数满足条件，若则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得，所以，则.‎ 高考冲刺第3讲 函数的概念、图象和性质 368992 例1】‎ 例4.已知 求。‎ ‎【思路点拨】分段函数求值，也应该从自变量的分段开始.‎ ‎【解析】当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以 举一反三：‎ ‎【变式1】设函数则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵， ∴.‎ 类型三：函数的重要性质（单调性、奇偶性和周期性）‎ 函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.‎ 例5．若函数、分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【思路点拨】根据两个函数的奇偶性可以分别求出这两个函数，再看各自的单调性.‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵即， ‎ ‎∴，‎ ‎∴，又∵单调递增， ∴且.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎【答案】‎ ‎【解析】先证充分性：因为，均为偶函数，‎ 所以，，‎ 有，‎ 所以为偶函数．‎ 反过来，若为偶函数，，不一定是偶函数．‎ 如，，故选B.‎ 方法二：可以选取两个特殊函数进行验证．‎ 例6．设是奇函数，是偶函数，并且，求.‎ ‎【思路解析】、的奇偶性已知，可以从奇函数、偶函数的定义来分析问题。‎ ‎【解析】为奇函数 ‎ ‎ 为偶函数 ‎ 从而 ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】由奇函数可知，而，‎ 则，‎ 方法一:当时，；‎ 当时，，‎ 又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，‎ ‎∴.‎ 方法二:作出函数的示意图，有 当时，即；‎ 当时，，即.‎ 类型四：函数的图象与性质 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.‎ 例7.(2018 安徽高考)函数的图像如图所示，则下列结论成立的是( )‎ ‎ A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0‎ ‎【思路点拨】分别根据函数的定义域，函数的零点以及的取值进行判断即可.‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数在点P处无意义，由图像看P在轴右边，所以-c>0即c<0‎ 由得即由图像知 综上a<0,b>0,c<0故选C.‎ ‎【总结升华】函数图像的判断问题，可以根据函数图象变换方法判断，也可以根据函数图像中关键点，关键线，关键值进行解答.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】(2018 北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )‎ A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米 B. 以相同的速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，从图中可以看车当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米没升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误.‎ 对于选项B,以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误.‎ 对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误.‎ 对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确.‎ 例8. 直线与函数的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围。‎ ‎【思路点拨】在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，当直线介于AB和CD之间时，直线和函数的图像有两个不同的交点。‎ ‎【解析】如图，直线CD和半圆相切，所以 因为点,所以 所以实数的取值范围为 举一反三：‎ ‎【变式1】设函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）‎ ‎(A) 3 (B)2 (C)1 (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数的图象关于直线对称 ‎ ‎∴即，把选项ABCD的值逐一代入，‎ 可以确定选A.‎ 类型五：函数与其它知识的综合应用 与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.‎ 例9.设数列的前项和为，点均在函数的图像上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.‎ ‎【思路点拨】数列是特殊的函数，因此绝大多数的数列综合题都可以应用函数的方法、思想来解决.‎ ‎【解析】（I）依题意得，即.‎ 当时，;‎ 当时，.‎ 所以.‎ ‎（II）由（I）得，‎ 故.‎ 因此，使得成立的必须满足，即,‎ 故满足要求的最小整数为10.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知函数f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，又f(1)=n2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【解析】（1）由题意：f(1)=a1+a2+…+an=n2，(n∈N*)‎ n=1时，a1=1‎ n≥2时，an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1‎ ‎∴对n∈N*总有an=2n-1,‎ 即数列{an}的通项公式为an=2n-1.‎ ‎(2)‎ ‎∴‎ ‎∴‎