云南文山州马关县第一中学2019-2020学年高二月考数学试卷

云南文山州马关县第一中学2019-2020学年高二月考数学试卷

数学试卷 一、单选题（共12题；共60分）‎ ‎1.若集合 ， ，则 （     ） ‎ A.            B.            C.            D. ‎ ‎2.已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则 ＝(   ) ‎ A.                              B.                              C. 10                             D. 100‎ ‎3.下列函数既是奇函数，又在 上为增函数的是（    ） ‎ A.                       B.                       C.                       D. ‎ ‎4.已知函数 ，若 ，则（    ） ‎ A.                 B.                 C.                 D. ‎ ‎5.函数 的定义域为（    ） ‎ A.           B.           C.           D. ‎ ‎6.已知三棱锥 的各棱长都相等， 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为(    ) ‎ A.                            B.                            C.                            D. ‎ ‎7.若 ，则 的大小关系为（    ）. ‎ A.                   B.                   C.                   D. ‎ ‎8.已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（    ） ‎ A.                                B.                                C. 2                               D. ‎ ‎9.已知函数 ，则 的值等于 （    ） ‎ A.                              B.                              C.                              D. ‎ ‎10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A.                                 B. 3                                C.                                 D. ‎ ‎11.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(   ) A. y＝2x＋4            B. y＝ x－3            C. x－2y－1＝0            D. 3x＋y＋1＝0‎ ‎12.在高为 的正三棱柱 中， 的边长为2， 为棱 的中点，若一只蚂蚁从点 沿表面爬向点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） ‎ A. 3                               B.                                C.                                D. 2‎ 二、填空题（共4题；共20分）‎ ‎13.函数 恒过定点为________． ‎ ‎14.若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是________ ‎ ‎15.函数 的零点所在区间为 (n,n+1),n ∈ Z，则 n = ________. ‎ ‎16.已知函数 满足 ，对任意的 都有 恒成立，且 ，则关于 的不等式 的解集为________． ‎ 三、解答题（共6题；共70分）‎ ‎17.已知 ， ，全集 . ‎ ‎（1）求 和 ； ‎ ‎（2）已知非空集合 ，若 ，求实数 的取值范围. ‎ ‎18.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时有 . ‎ ‎（1）求函数 的解析式； ‎ ‎（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明. ‎ ‎19.如图，在三棱柱ABC–A1B1C1中，AB＝BC ， D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，AC⊥BC1 ． 求证： ‎ ‎（1）OD ∥平面A1ABB1； ‎ ‎（2）平面A1C1CA ⊥ 平面BC1D ． ‎ ‎20.已知函数 . ‎ ‎（1）若f(－1）＝f(1)，求a ，并直接写出函数 的单调增区间； ‎ ‎（2）当a≥ 时，是否存在实数x，使得 ＝一 ？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由． ‎ ‎21.设直线 ， ， ． ‎ ‎（1）若直线 ， ， 交于同一点，求m的值； ‎ ‎（2）设直线过点 ，若被直线 ， 截得的线段恰好被点M平分，求直线的方程． ‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数 ， ． ‎ ‎（1）若函数 是奇函数，求实数 的值； ‎ ‎（2）在在（1）的条件下，判断函数 与函数 的图像公共点个数，并说明理由； ‎ ‎（3）当 时，函数 的图象始终在函数 的图象上方，求实数 的取值范围． ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】 D ‎ ‎【解析】【解答】解:∵ , , ‎ ‎∴ .‎ 故答案为： .‎ ‎【分析】先解不等式求出集合M和N,再根据交集的运算求出 .‎ ‎2.【答案】 C ‎ ‎【解析】【解答】因为lg a＝2.31，lg b＝1.31，‎ 所以lg a－lg b＝lg ＝2.31－1.31＝1，‎ 所以 ＝10.‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】利用对数的运算法则，即可得出结论。‎ ‎3.【答案】 B ‎ ‎【解析】【解答】根据题意,依次分析选项: 对于A, 为奇函数，但在区间 上为减函数，不符合题意; 对于B, ,有 ，所以 奇函数，且在 上为增函数，符合题意； ‎ 对于C, ,有 ,即 为偶函数,不符合题意;‎ 对于D, 为非奇非偶函数,不符合题意; 故答案为：B.‎ ‎【分析】利用函数的单调性与奇偶性的判断方法，依次分析选项中的函数，即可得答案.‎ ‎4.【答案】 C ‎ ‎【解析】【解答】因为函数 ， 所以 ， ， ，， ， 所以 ， 根据零点存在定理得出 ， ‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】根据函数解析式求得各端点的函数值的符号，利用零点存在定理列式，即可求出结果.‎ ‎5.【答案】 D ‎ ‎【解析】【解答】要使函数有意义，则需 ‎ 解得 ，‎ 所以函数定义域为 .‎ 故答案为：D ‎【分析】根据函数的解析式，可得到函数的定义域.‎ ‎6.【答案】 B ‎ ‎【解析】【解答】取AC中点M，则因为 为 中点，因此ME平行AB，从而异面直线 与 所成角等于∠MED，因为三棱锥 的各棱长都相等，设为1，则 ‎ ‎，即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，选B.‎ ‎【分析】求线面角关键找平行，利用三角形中位线是解决本题的关键，再根据余弦定理求求得结果.‎ ‎7.【答案】 D ‎ ‎【解析】【解答】解：因为 ， ， ‎ 即 ，‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】由指数函数，对数函数的单调性，求出 的大致范围即可得解.‎ ‎8.【答案】 C ‎ ‎【解析】【解答】由题意，设幂函数的解析式为 ， ‎ 根据幂函数的图象过点 ，可得 ，解得 ，即 ，‎ 所以 .‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】设幂函数的解析式为 ，根据幂函数的图象过点 ，求得 ‎ ‎，结合对数的运算性质，即可求解.‎ ‎9.【答案】 B ‎ ‎【解析】【解答】因为 , ‎ 所以 .‎ 故答案为：B ‎【分析】根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.‎ ‎10.【答案】 B ‎ ‎【解析】【解答】解：根据三视图得到原图是一个斜三棱锥，底面是一个底边长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3，故得到体积为3.‎ 故答案为：B.‎ ‎【分析】根据三视图得到原几何体表示，底面是一个底边长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3的三棱锥，利用椎体的体积公式，即可求解三棱锥的体积。‎ ‎11.【答案】 C ‎ ‎【解析】【解答】设点A（3,1）关于直线 的对称点为 ，则  ，解得  ，即 ，所以直线 的方程为 ，联立  解得  ，即  ,又 ，所以边AC所在的直线方程为 ，‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】先求出点A关于直线的对称点A'的坐标,得到直线A'B的方程,与∠ACB的平分线方程为y＝x＋1的交点即为点C,再求出直线AC的方程.‎ ‎12.【答案】 A ‎ ‎【解析】【解答】如图1， ‎ 将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ,‎ 此时，爬行的最短距离为 ；‎ 如图2，将 翻折到与平面 共面的位置 ，‎ 易知 ， ，此时爬行的最短距离 ；‎ 如图3，将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ，‎ 此时，爬行的最短距离 .‎ 综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.‎ 故选：A.‎ ‎【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A 点出发，经过 再到达点D.第二种是从A点出发，经过 再到达点D.第三种是从A点出发，经过 ，最后到达点D.分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.‎ 二、填空题 ‎13.【答案】 ‎ ‎【解析】【解答】当 时， ， ‎ 故恒过 ．‎ ‎ 【分析】利用指数函数的图象恒过定点的性质结合图象的平移变换，从而求出函数 恒过的定点。‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎【解析】【解答】当 时， ， ； ‎ 当 时， 是减函数， ，要满足 ，此时应满足 ，即 ‎ 故答案为： ‎ ‎【分析】分类讨论，先由 求出 的取值范围，再结合 时二次函数的单调性求解值域即可 ‎15.【答案】 2 ‎ ‎【解析】【解答】因为 , ‎ 所以 ,‎ 由函数零点存在定理知函数 在区间(2,3)上有零点,所以 .‎ 故答案为:2‎ ‎【分析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.‎ ‎16.【答案】 ‎ ‎【解析】【解答】由题意，设函数 ， ‎ 因为函数 满足 ，即 ，‎ 则 ，所以函数 为 上的偶函数，‎ 又由 ，则 ，‎ 因为对任意的 都有 恒成立，‎ 则函数 在 为单调递增函数，‎ 所以当 时， ，此时 ，‎ 当 时， ，此时 ，‎ 所以 的解集为 .‎ 故答案为： .‎ ‎【分析】构造新函数 ，求得函数 为 上的偶函数，得出 ，在由任意的 都有 恒成立，得到函数 在 为单调递增函数，结合函数 的取值，即可求解.‎ 三、解答题 ‎17.【答案】 （1）解：由题意，集合 ， ‎ 因为集合 ，则 ，‎ 所以 ， ‎ ‎ （2）解：由题意，因为 ，所以 ， ‎ 又因为 ， ，所以 ，‎ 即实数 的取值范围为 ‎ ‎【解析】【分析】（1）求得集合 ，根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解；（2）由 ，所以 ，结合集合的包含关系，即可求解.‎ ‎18.【答案】 （1）解：由题意，当 时，则 ，可得 ， ‎ 因为函数 为奇函数，所以 ，‎ 所以函数的解析式为 .‎ ‎ （2）解：函数 在 为单调递增函数． ‎ 证明：设 ，则 ‎ 因为 ，所以   ‎ 所以 ，即 ‎ 故 在 为单调递增函数．‎ ‎【解析】【分析】（1）当 时，则 ，可得 ，进而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论.‎ ‎19.【答案】 （1）证明：连结 ， ‎ 在三棱柱 中，‎ 四边形 为平行四边形，‎ 从而O为平行四边形 对角线的交点，所以O为 的中点．‎ 又D是AC的中点，从而在 ，中，有 ，‎ 又 平面 ， 平面 ，‎ 所以 平面 ．‎ ‎ （2）解：在 中，因为 ，D为AC的中点， ‎ 所以 ．‎ 又因为 ，‎ ‎， ， 平面 ，‎ 所以 平面 ，‎ 因为 平面 ，‎ 所以平面 平面 ．‎ ‎【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，即可得到线面平行； （2）根据面面垂直的判定定理，证明线面垂直即可得到面面垂直.‎ ‎20.【答案】 （1）解：由 ，得 ，解得 ． ‎ 此时，函数 ‎ 所以函数 的单调增区间为 ， ．‎ ‎ （2）解：显然， 不满足 ； ‎ 若 ，则 ，由 ，得 ，‎ 化简，得 ，无解：‎ 若 ，则 ，由 ，得 ，‎ 化简，得 ．‎ 令 ， ．‎ 当 时， ；‎ 下面证明函数 在 上是单调增函数．‎ 任取 ，且 ，‎ 则 ‎ 由于 ‎ ‎，‎ 所以 ，即 ，故 在 上是单调增函数。‎ 因为 ， ，‎ 所以 ，又函数 的图象不间断，所以函数 在 上有且只有一个零点．‎ 即当 时，有且只有一个实数x满足 ．‎ 因为当 满足 时，实数 也一定满足 ，即满足 的根成对出现（互为相反数）；‎ 所以，所有满足 的实数x的个数为2．‎ ‎【解析】【分析】（1）根据 ，解方程，求出a，得到函数的表达式，即可求出函数的单调区间； （2）对x的取值分段讨论，结合单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论，即可证明函数的单调性.‎ ‎21.【答案】 （1）解：解 ，得交点 ．‎ 直线 交于同一点，则点C在直线 上，‎ 则  解得 ‎ ‎ （2）解：设 上一点A(a，1 2 a)，则点A关于M（2，0）的对称点B (4 a，2 a 1) ．‎ 由点B在 上，代入得 ，∴a= ，∴ ．‎ 直线l过两点A、M，斜率为 11，∴ 直线l的方程为 ‎ ‎【解析】【分析】由直线l1,l2的方程求出交点坐标.代入l3的方程,得到m的值; (2)设出直线l1上点A的坐标,求出点A关于点M的对称点B的坐标,代入直线l2的方程中,求出a的值即得到点A的坐标,再由直线l过点A,M,求直线l的方程. ‎ ‎22.【答案】 （1）解：因为 为奇函数，所以对于定义域内任意 ，都有 ，‎ 即 ，‎ ‎∴ ，‎ 显然 ，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有 .‎ 上面等式左右两边同时乘以 得：‎ ‎，‎ 化简得: ，‎ 上式对定义域内任意 恒成立，所以必有 ，‎ 解得 .‎ ‎ （2）解：由（1）知 ，所以 ，即 ，‎ 由 得 或 ，‎ 所以函数 定义域 ，‎ 由题意，要求方程 解的个数，即求方程：‎ 在定义域 上的解的个数.‎ 令 ，显然 在区间 和 均单调递增，‎ 又 ， ‎ 且 ， ，‎ 所以函数 在区间 和 上各有一个零点，‎ 即方程 在定义域 上有2个解，‎ 所以函数 与函数 的图象有2个公共点.‎ ‎ （3）解：要使 时，函数 的图象始终在函数 的图象的上方，‎ 必须使 在 上恒成立，‎ 令 ，则 ，上式整理得 在 恒成立.‎ 令 ， .‎ ‎① 当 ，即 时， 在 上单调递增，‎ 所以 ，恒成立；‎ ‎②当 ，即 时， 在 上单调递减，‎ 只需 ，解得 与 矛盾；‎ ‎③当 ，即 时，‎ 在 上单调递减，在 上单调递增，‎ 所以由 ，解得 ，‎ 又 ，所以 .‎ 综合①②③得 的取值范围是 ‎ ‎【解析】【分析】（1）奇函数满足条件, 将函数解析式代入并化简得到,又对任意成立，所以 ‎; （2）要求两函数图像交点个数，可转化为方程在相应区间上的根的个数问题. 题中由得方程， 又, 故方程根的个数为2. （3）问题转化为在上恒成立，令, 则有在恒成立，最后问题转化为关于t的二次函数在[2,4)上恒大于0，讨论对称轴的位置，最后可得a的取值范围。‎