2017-2018学年湖南省郴州市临武一中、嘉禾一中高二12月联考数学（文）试题
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2017-2018学年湖南省郴州市临武一中、嘉禾一中高二12月联考
文科数学试题
本试卷4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一．选择题（共12题，每题5分，共计60分）
1. 已知数列{an}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则a7＝( )
A．9或－9 B．9
C．27或－27 D．27
2．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2
|a＋b|
3. 已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为( )
A．0 B．2
C．1 D．3
4. 设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. △ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，
b＝，则c∶sin C 等于( )
A．3∶1 B.∶1
C.∶1 D．2∶1
6．下列说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．已知y＝f(x)是R上的可导函数，则“f′(x0)＝0”是“x0是函数y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件
C．命题 “存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”
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D．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题
7. 数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
8. 若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A. B．(0,0)
C．(1,2) D．(1,4)
9．已知函数f(x)＝x2－bx＋a的图象如图所示，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2,3)
10. 已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝( )
A．4 B．8
C．12 D．16
11. 在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
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C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
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12.设点P(x，y)满足则－的取值范围是( )
A. B.
C. D．[－1,1]
二．填空题（共4题，每题5分，共计20分）
13．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.
14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，
3sin A＝2sin B，则c＝________.
15. 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
16．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：
x
－1
0
2
4
5
f(x)
1
2
1.5
2
1
f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．
下列关于函数f(x)的命题：
①函数f(x)的值域为[1,2]；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1b>0)与抛物线C2：x2＝2py(p>0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l
与椭圆C1有一个交点的坐标是．
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)若点P是直线l上的动点，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求·的取值范围．
22.已知函数f(x)＝ln x＋＋ax(a是实数)，g(x)＝＋1.
(1)当a＝2时，求函数f(x)在定义域上的最值；
(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围；
(3)是否存在正实数a满足：对于任意x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
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嘉禾一中、临武一中高二联考
2017年12月文科数学月考试题答案
命题人 王学文 审题人 刘艳萍 周丽芳
一． 选择题
1-4 B D B D 5-6 D B B A 9-12 B B C B
二．填空题
13 14 4 15 16 ①②④
三．解答题
17解(1)由题意知，A＝，B＝.
当m＝3时，B＝，
∴A∩B＝[0,3]．
(2)由q是p的必要条件知，A⊆B，
结合(1)知解得0≤m≤2.
∴实数m的取值范围是[0,2]．
18解(1)由sin A＝sin B可知A＝B，
从而有C＝π－2A.
又sin A＝－cos C＝cos 2A＝1－2sin2A，
∴2sin2A＋sin A－1＝0，
∴sin A＝－1(舍去)，或sin A＝.
故A＝B＝，C＝.
(2)设BC＝2x，则AC＝2x，
在△ACM中，AM 2＝AC2＋MC2－2AC·MCcos C，
∴7＝4x2＋x2－2·2x·x·cos，
∴x＝1，
∴△ABC的面积S＝·CA·CB·sin C
＝·2x·2x·sin ＝.
19解(1) y＝ (25≤x≤40) ；
(2)当x＝26时，y最大＝100e4，
当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该食品厂的利润最大，最大值为100e4元。
20.解 (1) ∵Sn＝2n2，∴a1＝2，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，
当n＝1时，上式也成立，
∴an＝4n－2，n∈N*.
∵b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1，
∴b1＝2，b2＝，
又为等比数列，∴公比q＝，
∴bn＝b1qn－1＝2n－1＝
(2)由(1)得cn＝＝(2n－1)·4n－1，
则Tn＝1·40＋3·41＋5·42＋…＋(2n－3)·4n－2＋(2n－1)·4n－1，
4Tn＝1·41＋3·42＋5·43＋…＋(2n－3)·4n－1＋(2n－1)·4n.
∴－3Tn＝1＋2[41＋42＋43＋…＋4n－1]－(2n－1)·4n
＝1＋－(2n－1)4n
＝－－.
∴Tn＝＋.
21．解：(1)抛物线C2的准线方程是y＝－2，所以＝2，p＝4，
所以抛物线C2的方程是：x2＝8y，
椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，所以c＝2，
2a＝＋＝4，
所以a＝2，b＝2，
即椭圆C1的方程是＋＝1.
(2)设点P(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
E(x3，y3)，F(x4，y4)，
抛物线方程可以化为：y＝x2，
所以y′＝x，
所以AP的方程为：y－y1＝x1(x－x1)，
所以－2－y1＝x1t－2y1，
即y1＝tx1＋2，
同理BP的方程为：y2＝tx2＋2，
所以直线AB的方程为：y＝tx＋2，
将直线AB的方程代入椭圆C1的方程得到：
(t2＋32)x2＋16tx－64＝0，
则Δ＝256t2＋256(t2＋32)>0，
且x3＋x4＝，x3x4＝，
所以·＝x3x4＋y3y4[]
＝x3x4＋(x3＋x4)＋4
＝
＝－8.
因为0<≤10，
所以·的取值范围是(－8,2]．
22．解：(1)当a＝2时，f(x)＝ln x＋＋2x，x∈(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋2＝，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0，
所以f(x)在x＝处取到最小值，最小值为3－ln 2；无最大值．
(2)f′(x)＝－＋a＝，x∈[1，＋∞)， []
显然a≥0时，f′(x)≥0，且不恒等于0，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，符合要求．
当a<0时，令h(x)＝ax2＋x－1，
当x―→＋∞时，h(x)―→－∞，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上只能是单调递减函数．
所以Δ＝1＋4a≤0或解得a≤－.
综上：满足条件的a的取值范围是
∪[0，＋∞)．
(3)不存在满足条件的正实数a.
由(2)知，a >0时f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，[]
所以f(x)在[1,2]上是单调递增函数．
所以对于任意x1∈[1,2]，
f(1) ≤f(x1)≤f(2)，即f(x1)∈.
g′(x)＝，当x∈[1,2]时，g′(x)≤0，
所以g(x)在[1,2]上是单调递减函数．
所以当x2∈[1,2]时，g(x2)∈.
若对于任意x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，
使得f(x1)＝g(x2)成立，
则⊆，此时a无解．
所以不存在满足条件的正实数a.[]
