四川省绵阳市南山中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

四川省绵阳市南山中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

‎2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为 A. B. C. 或 D. 或 2. 圆的半径为 A. 1 B. ‎3 ‎C. 2 D. 5‎ 3. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. ‎ 4. 直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是 A. B. C. D. ‎ 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称的点的坐标是 A. 4， B. C. 4， D. ‎ 6. 经过直线和的交点，且与中直线垂直的直线方程是 A. B. C. D. ‎ 7. 设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为 A. B. C. D. ‎ 8. 椭圆与具有相同的 A. 长轴 B. 焦点 C. 离心率 D. 顶点 9. 已知圆的圆心为C及点，则过M且使圆心C到它的距离最大的直线方程为 A. B. C. D. ‎ 10. 设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于两点，O为坐标原点，则的面积为       ‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为‎8a，则双曲线的离心率e的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 12. 已知抛物线C：的焦点为F，点，直线FA与抛物线C交于点在第一象限内，与其准线交于点Q，若，则点P到y轴距离为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 如果直线l与直线垂直，则直线l的斜率为______．‎ 14. 已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则l的方程是______．‎ 15. 从点作圆的切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______．‎ 16. 设，是椭圆C：的左、右焦点，过的直线l与C交于A，B两点．若，且：：3，则椭圆的离心率为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 已知圆过两点，，且圆心在直线上，求此圆的标准方程． ‎ 1. 已知直线：、： Ⅰ若，求b的取值范围； Ⅱ若，求的最小值． ‎ 2. 已知抛物线C的顶点在原点，且其准线为． 求抛物线C的标准方程； 如果直线l的方程为：，且其与抛物线C交于A，B两点，求的面积． ‎ 3. 已知双曲线C：的上焦点为． 若双曲线C是等轴双曲线，且，求双曲线的标准方程； 若经过原点且倾斜角为的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程． ‎ 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧和圆弧相接而成，两相接点M，N均在直线上，圆弧的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧过点． 求圆弧的方程； 曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 1. 已知椭圆C：的两个焦点分别为、，且点在椭圆C上． 求椭圆C的标准方程； 设椭圆C的左顶点为D，过点的直线m与椭圆C相交于异于D的不同两点A、B，求的面积S的最大值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：直线l的斜率的绝对值等于， 直线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则， 则，或，或， 故选：C． 由题意知，直线l的斜率等于，设出直线的倾斜角，由倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围可求直线的倾斜角． 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的取值范围，体现了分类讨论的数学思想． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：圆的标准方程为， 则半径为1， 故选：A． 利用配方将圆的一般方程配成标准方程即可求出圆的半径． 本题主要考查圆的一般方程的应用，利用配方法配成标准方程是解决本题的关键．比较基础． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：； ； ． 又因为焦点在Y轴上， 所以其准线方程为． 故选：D． 先把其转化为标准形式，再结合其准线的结论即可求出结果． 本题主要考察抛物线的基本性质，解决抛物线准线问题的关键在于先转化为标准形式，再判断焦点所在位置． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：直线用斜截式表示为， 故选：B． 把直线方程的一般式化为斜截式，可得结论． 本题主要考查直线方程的几种形式，把一般式化为斜截式，属于基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称的点的坐标是． 故选：B． 根据空间直角坐标系中点y，关于平面yOz对称点的坐标是y，，写出即可． 本题考查了空间中点关于坐标平面的对称问题，是基础题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：联立可得，，即交点， 设与直线垂直的直线方程是， 把点代入可得：，解得． 要求的直线方程为：． 故选：C． 解得交点P，设与直线垂直的直线方程是，把点P代入解得m即可得出． 本题考查了直线交点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：圆的圆心坐标为，半径， 圆心C到直线的距离， 圆上的点到直线距离的最小值为． 即从村庄外围到小路的最短距离为． 故选：B． 由已知求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，减去半径得答案． 本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础的计算题． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：椭圆的离心率为：； 的离心率为：， 所以椭圆与具有相同的离心率． 故选：C． 求出两个椭圆的离心率，即可得到选项． 本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基本知识的考查． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意可知，到直线l的距离， 当时，为所求距离的最大值， ， 所以所求直线的斜率，直线方程为即， 故选：A． 由题意可知，到直线l的距离，当时，为所求距离的最大值，进而可求． 本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键的是确定满足题意的直线与CM垂直． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题． 由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案． 【解答】 解：由，得，， 则， 过A，B的直线方程为， 即， 联立 ‎ 得，， 设，， 则，， ． 故选：D． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由定义知：， ， ， 当且仅当， 即时取得等号 设 由焦半径公式得： 又双曲线的离心率 ． 故选：C． 由定义知：，，，当且仅当，即时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围． 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：抛物线C：的焦点为，其准线方程为， ， 直线AF的方程为， 由，解得，，则， ， ， ， ． 故点P到y轴距离为． 故选：B． 先求出直线AF的方程，再求出点Q的坐标，根据若，即可求出答案． 本题考查了抛物线的性质，直线方程，向量的运算，属于基础题 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：直线l与直线垂直，且的斜率， 则直线l的斜率． 故答案为： 根据直线垂直，斜率之积为1即可求解． 本题主要考查了两直线垂直条件的应用，属于基础试题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”，属于中档题． 设直线l与椭圆交于、，由“点差法”可求出直线l的斜率 再由由点斜式可得l 的方程． 【解答】 解：设直线l与椭圆交于、， 将、两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率为： ． 由点斜式可得l的方程为． 故答案为． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：圆的圆心为，半径为2， 以、为直径的圆的方程为， 化为一般方程是； 将两圆的方程相减可得公共弦AB的直线方程为． 故答案为：． 求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的直线方程． 本题考查了直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，是基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．‎ 通过比例关系，设，，由椭圆的定义得，然后求解椭圆的离心率即可．‎ ‎【解答】‎ 解：设，，因，则，‎ 由椭圆的定义得，即，， 所以，， 则椭圆的离心率为． 故答案为． ‎ ‎ 17.【答案】解：由已知得：AB的垂直平分线方程为： 代入直线得圆心： 又半径， 则圆的方程为： ‎ ‎【解析】先出圆心坐标，利用圆心在上，建立条件关系即可得到结论． 本题主要考查圆的标准方程的求解，根据条件利用待定系数法是解决本题的关键． 18.【答案】解：且   且     且   此时  且 若 则：、：   此时 综上   依题意     ，， 又 ‎ 当且仅当即时等号成立 ． ， ‎ ‎【解析】Ⅰ通过，斜率相等，截距不相等，推出关系式，然后求b的取值范围； Ⅱ利用，得到，然后利用基本不等式求的最小值． 本题考查直线与直线的平行与垂直，基本不等式的应用，考查计算能力． 19.【答案】解：可设抛物线的方程为，，准线方程为， 由抛物线的准线方程为可得， 则抛物线方程为； 联立得，设，， 可得，， ， 设直线与y轴的交点为D， 则，又抛物线的焦点坐标为， 则． ‎ ‎【解析】可设抛物线的方程为，，求得准线方程，由题意可得p，进而得到抛物线方程； 联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式计算可得所求值． 本题考查抛物线的方程和性质，直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 20.【答案】解：由双曲线为等轴双曲线，则， 又，则，， 故双曲线的标准方程为； 由题意得，又OA的倾斜角为，则， 代入双曲线方程得， 结合，得，解得， 故， 又，则，则渐近线方程为：． ‎ ‎【解析】由等轴双曲线的定义可得，再由的关系，可得a，b的值，进而得到双曲线的标准方程； 求得A的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，以及离心率公式，解方程可得e，再由，可得渐近线的斜率，进而得到渐近线方程． 本题考查双曲线的方程和运用，考查待定系数法和方程思想，化简运算能力，属于中档题． 21.【答案】解：圆弧所在圆的方程为，令， 解得，分 则直线AM的中垂线方程为， 令，得圆弧所在圆的圆心为， 又圆弧所在圆的半径为， 所以圆弧的方程为分 假设存在这样的点，则由，得分 由，解得舍去分 由，解得舍去， 综上知，这样的点P不存在分 ‎ ‎【解析】根据圆弧所在圆的方程为，可得M，N的坐标，从而可得直线AM 的方程为，进而可求圆弧所在圆的圆心为，圆弧所在圆的半径为，故可求圆弧的方程； 假设存在这样的点，则由，得，分别与圆弧方程联立，即可知这样的点P不存在． 本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强． 22.【答案】解：、，且点在椭圆C上． 可得，即，， 解得，， 则椭圆方程为， ，过点的直线m的方程为，设，， 联立可得， 恒成立， 可得，， ， D到直线m的距离为， 令，则， 由在递增，可得S在递减， 则S在即，S取得最大值． ‎ ‎【解析】由题意可得c，代入P的坐标，可得a，b的方程，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程； 求得D，设出直线m的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，化简计算结合对勾函数的单调性，可得所求最大值． 本题考查椭圆方程的求法，三角形的面积的最值求法，注意运用椭圆的性质和联立直线方程和椭圆方程，以及点到直线的距离公式，考查化简运算能力，属于中档题． ‎