2018-2019学年河南省济源市高一上学期末数学试题（解析版）

2018-2019学年河南省济源市高一上学期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省济源市高一上学期末数学试题 一、单选题 ‎1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）‎ A．（1）是棱台 B．（2）是圆台 C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱 ‎【答案】C ‎【解析】对四个几何体逐一分析，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于（1），由于几何体上下底面不相似，所以不是棱台，A选项错误.‎ 对于（2），由于几何体上下底面不平行，所以不是圆台，B选项错误.‎ 对于（3），几何体是棱锥，所以C选项正确.‎ 对于（4），几何体有两个平面平行且全等，侧面都是平行四边形，故是棱柱，所以D选项错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查柱体、锥体和台体的几何特征，属于基础题.‎ ‎2．方程表示圆心为，半径为1的圆，则a、b、c的值依次为　　‎ A．，，4 B．2，，4 C．2，， D．，4，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由圆的一般方程分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，方程表示圆心为，半径为1的圆，‎ 则，‎ 解可得：，，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的一般方程，注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法，属于基础题．‎ ‎3．下列各组函数中表示同一函数的是（　　）‎ A．y和y＝（）2‎ B．y＝x和 ‎ C．y＝logax2和y＝2logax D．y＝x和y ‎【答案】D ‎【解析】对选项逐一分析函数的定义域、值域和对应关系，由此判断出表示同一函数的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，A选项错误.‎ 对于B选项，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，B选项错误.‎ 对于C选项，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，C选项错误.‎ 对于选项，，两个函数定义域、值域和对应关系相同，所以是同一函数，D选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个函数相同的知识，属于基础题.‎ ‎4．倾斜角为，在轴上的截距为的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于直线的倾斜角为60°，故斜率为tan60°=, 由斜截式求得直线l的方程为y=x-1． 故选A．‎ ‎5．函数满足条件，则的值（ ）‎ A． B． C． D．与值有关 ‎【答案】C ‎【解析】∵f（3）-f（-1）=8a+4b=0， ∴4a+2b=0， ∴f（2）=4a+2b+8=8， 故选C．‎ ‎6． 函数 的零点所在的区间为（    ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可以画出y=e﹣x与y=x的图象，他们的交点就是函数f（x）=e﹣x﹣x的零点.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=e﹣x﹣x，画出y=e﹣x与y=x的图象，如下图：‎ ‎∵当x=时，y=＞y=，‎ 当x=1时，y=＜y=1，‎ ‎∴函数f（x）=e﹣x﹣x的零点所在的区间是（，1）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考函数零点与方程根的关系，利用转化思想解决问题．画两个函数的图象数形结合求解，‎ ‎7．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由已知条件该几何体是一个棱长为的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱，底面为直角边长为的直角三角形．故选C．‎ ‎【考点】空间几何体的三视图、直观图．‎ ‎8．已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是 A．若 B．若 C．若 D．若 ‎【答案】D ‎【解析】 由题意，A中，若，则或与异面，所以不正确；‎ ‎ B中，若，则或与相交或异面，所以不正确；‎ ‎ C中，若，则或与平面斜交或平行，所以不正确；‎ ‎ D中，若，则是正确的，故选D.‎ ‎9．若函数满足，且，，则（ ）‎ A．1 B．3 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数满足，所以，结合，可得，故选B.‎ ‎10．函数（其中常数e=2.71828……是一个无理数）的图像为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的函数值符号及单调性即可作出判断.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴关于直线x=1轴对称，y＞0，在上单调递减，‎ 故选A ‎【点睛】‎ 函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎11．已知奇函数f（x）在R上是减函数，若a＝﹣f（1og3），b＝f（），c＝f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的奇偶性和单调性，结合自变量的大小，比较出的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由于是奇函数，所以.，而在上递减，故.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查对数运算，考查根据函数单调性比较大小，属于基础题.‎ ‎12．下列命题中，错误的个数是（　　）‎ ‎①设集合，，则 ‎②已知幂函数的图象经过点，则 ‎③圆和圆的位置关系为相交 ‎④若实数、满足，则的最小值是 A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】对选项逐一分析，由此确定错误命题的个数.‎ ‎【详解】‎ 对于①，由得.由，所以，所以，故①错误.‎ 对于②，设幂函数，依题意.所以.所以.所以②正确.‎ 对于③，的圆心为，半径.的圆心为，半径为.故，故两圆内切，所以③错误.‎ 对于④，表示原点到直线上点的距离，最小值为原点到直线的距离.故④正确.‎ 综上所述，错误命题的个数为个.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数定义域、指数不等式、集合交集、幂函数、圆与圆的位置关系、点到直线距离公式等知识，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．棱长为2个单位的正方体，中，以为坐标原点，以，，，分别为，，坐标轴，则与的交点的坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 设 ‎ 即的坐标为 ‎14．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆锥的母线长是10，所以展开半圆的半径为10，.‎ ‎【考点】圆锥的侧面积的求法.‎ ‎15．已知水平放置的四边形ABCD，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′如图所示，其中A′D′＝2，B'C'＝4，A′B′＝1，则DC的长度是_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据直观图画出原图，并计算出的长.‎ ‎【详解】‎ 画出原图如下图所示，由图可知.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查斜二测画法的直观图和原图的对应关系，属于基础题.‎ ‎16．实数、满足，，则_____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】将已知条件转化为，根据图象关于对称，求得与的交点坐标，根据对称性求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由x+lnx＝8，得lnx＝8﹣x，由y+ey＝8，可得ey＝8﹣y，‎ 在同一坐标系中作出函数y＝8﹣x，y＝lnx和y＝ex的图象如下图所示，‎ 联立y＝8﹣x与y＝x，‎ 解得x＝y＝4，所以，点C的坐标为（4，4），‎ 方程x+lnx＝8的根可视为直线y＝8﹣x与函数y＝lnx交点B的横坐标，‎ 方程y+ey＝8的根可视为直线y＝8﹣x与函数y＝ex交点A的横坐标，‎ 由图象可知，点A、B关于直线y＝x对称，因此，x+y＝8．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查互为反函数的两个函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知正方形的中心为，一边所在直线的方程为，求其他三边所在的直线方程．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：先求出正方形中心到直线的距离，然后根据两直线平行、两直线垂直斜率之间的关系，求出未知直线的斜率，设出所求直线方程，利用正方形的中心到三边等距离，分别求出所设直线方程中的斜率，从而可得到其他三边所在的直线方程.‎ 试题解析：正方形中心G(－1,0)到四边距离均为，‎ 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y＋C1＝0，‎ 则，‎ 即|C1－1|＝6.‎ 解得C1＝－5(舍去)或C1＝7.‎ 故与已知边平行的直线方程为 x＋3y＋7＝0.‎ 设正方形另一组对边所在直线方程为 ‎3x－y＋C2＝0，‎ 则 即|C2－3|＝6.‎ 解得C2＝9或C2＝－3.‎ 所以正方形另两边所在直线的方程为 ‎3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.‎ 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：‎ x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.‎ ‎18．（1）已知集合A＝{x|1﹣m≤x≤2m+1}，B＝{x|3x≤81}，若B⊆A，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）计算：2lg4+lg5﹣lg8．‎ ‎【答案】（1）[3，+∞）；（2）．‎ ‎【解析】（1）解对数不等式求得集合，根据是的子集列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎（2）利用对数运算、指数运行进行化简求值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）集合B＝{x|3x≤81}＝{x|﹣2≤x≤4}，‎ ‎∵B⊆A，‎ ‎∴，解得m≥3，‎ ‎∴实数m的取值范围为[3，+∞）；‎ ‎（2）原式＝11．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据集合的包含关系求参数，考查指数不等式的解法，考查指数和对数运算，属于基础题.‎ ‎19．已知函数f（x）．‎ ‎（1）画出函数f（x）的图象，根据图象直接写出f（x）的值域；‎ ‎（2）根据图象直接写出满足f（x）≥2的所有x的集合；‎ ‎（3）若f（x）的递减区间为（﹣∞，a），递增区间为（b，+∞），直接写出a的最大值，b的最小值．‎ ‎【答案】（1）图见解析，值域为：[0，+∞）；（2）（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；（3）a的最大值为0，b的最小值为0．‎ ‎【解析】（1）根据分段函数解析式，画出函数图象，并根据图象求得函数的值域.‎ ‎（2）根据图象，求得不等式的解集.‎ ‎（3）根据图象，由图求得函数的单调区间，进而求得的最大值和的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数f（x）．‎ 所以：函数f（x）的图象如图：；由图可知其值域为：[0，+∞）；‎ ‎（2）满足f（x）≥2的所有x的集合是：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；‎ ‎（3）因为函数的递减区间为：（﹣∞，0]；递增区间为：[0，+∞）；‎ f（x）的递减区间为（﹣∞，a），递增区间为（b，+∞）‎ ‎∴a的最大值为0，b的最小值为0．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，M是SB的中点，AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝BC＝2，CD＝SD＝1，又SD⊥面SAB．‎ ‎（1）证明：CD⊥SD；‎ ‎（2）证明：CM∥面SAD；‎ ‎（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析（3）．‎ ‎【解析】（1）由平面证得，结合，证得 ‎（2）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.‎ ‎（3）通过求，结合，求得四棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由SD⊥面SAB，AB⊂面SAB，‎ 所以SD⊥AB，又AB∥CD，‎ 所以CD⊥SD；‎ ‎（2）取SA中点N，连接ND，NM，‎ 则NM∥AB，且MN，AB∥CD，‎ 所以NMCD是平行四边形，‎ ND∥MC，且ND⊂平面SAD，MC⊄平面SAD，‎ 所以CM∥面SAD；‎ ‎（3）VS﹣ABCD：VS﹣ABD＝SABCD：S△ABD＝3：2，‎ 过D作DH⊥AB，交于H，由题意得，BD＝AD，‎ 在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA＝SB2．‎ 所以，，‎ 四棱锥S﹣ABCD的体积为：．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎21．已知圆C：x2+y2﹣4y+1＝0，点M（﹣1，﹣1），从圆C外一点P向该圆引一条切线，记切点为T．‎ ‎（1）若过点M的直线l与圆交于A，B两点且|AB|＝2，求直线l的方程；‎ ‎（2）若满足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值时点P的坐标．‎ ‎【答案】（1）x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；（2）（，）‎ ‎【解析】（1）首先判断斜率不存在时，符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，利用弦长列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线方程.‎ ‎（2）设出点的坐标，根据切线长以及列方程，化简后求得的轨迹方程，将最小转化为到直线的距离，求得垂直直线时直线的方程，和联立求得点坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2＝3．‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，‎ 此时|AB|＝2，满足题意；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣1＝0．‎ ‎∵|AB|＝2，‎ ‎∴圆心C到直线l的距离d1．‎ ‎∴d1．‎ 解得k，‎ 则直线l的方程为4x﹣3y+1＝0．‎ ‎∴所求直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；‎ ‎（2）设P（x0，y0），|PT|，‎ ‎∵|PT|＝|PM|，∴，‎ 化简得2x0+6y0+1＝0，‎ ‎∴点P（x0，y0）在直线2x+6y+1＝0．‎ 当|PT|取得最小值时，即|PM|取得最小值，‎ 即为点M（﹣1，﹣1）到直线2x+6y+1＝0的距离，‎ 此时直线PM垂直于直线2x+6y+1＝0，‎ ‎∴直线PM的方程为6x﹣2y+4＝0，即3x﹣y+2＝0．‎ 由 ，解得 ，‎ ‎∴点P的坐标为（，）．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查与圆有关的弦长问题，考查最值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22．已知函数f（x）＝logax，g（x）＝m2x2﹣2mx+1，若b＞a＞1，且f（b），ab＝ba．‎ ‎（1）求a与b的值；‎ ‎（2）当x∈[0，1]时，函数g（x）的图象与h（x）＝f（x+1）+m的图象仅有一个交点，求正实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a＝2，b＝4．（2）（0，1]∪[3，+∞）．‎ ‎【解析】（1）利用以及列方程组，由此求解出的值.‎ ‎（2）首先求得、的单调区间，将分成两种情况，结合与图象仅有一个交点进行分类讨论，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）＝logax，（a＞1），‎ 若b＞a，且，‎ 可得或，‎ 因为b＞a＞1，所以logab＞1，‎ 所以logab＝2，即a2＝b，‎ 因为ab＝ba 所以，‎ 所以a2＝2a，‎ 解之得a＝2，b＝4．‎ ‎（2）因为m为正数，g（x）＝m2x2﹣2mx+1＝（mx﹣1）2为二次函数，‎ 在区间为减函数，在区间为增函数，‎ 函数y＝log2（x+1）+m 为上的增函数，‎ 分两种情况讨论：‎ ‎①当0＜m≤1 时，，在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2为减函数，值域为[（m﹣1）2，1]，‎ 函数y＝log2（x+1）+m 为增函数，值域为[m，m+1]，此时两个函数图象有一个交点，符合题意；‎ ‎②当m＞1，得，在区间 上，y＝（mx﹣1）2为减函数，在区间 ‎ 为增函数，‎ 函数y＝log2（x+1）+m 为增函数，值域为[m，m+1]，‎ 若两个函数图象有一个交点，则有（m﹣1）2≥m+1，解之得m≤0 或m≥3，‎ 因为m为正数，则m≥3；‎ 综上m的取值范围为（0，1]∪[3，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数解析式的求法，考查根据两个函数图象的交点个数求参数的取值范围，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎