2015年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ）原卷版

2015年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ）原卷版

2015 高考数学新课标Ⅱ卷(理科) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ,则 （ ） A． 　B． 　　　C． 　D． 2．若 为实数且 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．已知等比数列 满足 a1=3， =21，则 ( ) A．21 B．42 C．63 D．84 5．设函数 , ( ) A．3 B．6 C．9 D．12 6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的 比值为( ) A． B． C． D． 2 1,01,2A   ｛ ， ， ｝  ( 1)( 2 0B x x x    A B   1,0A    0,1  1,0,1  0,1,2 a (2 )( 2 ) 4ai a i i    a  1 0 1 2 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700  na 1 3 5a a a  3 5 7a a a   2 1 1 log (2 ), 1, ( ) 2 , 1,x x x f x x      2( 2) (log 12)f f   8 1 7 1 6 1 5 1 7．过三点 ， ， 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 ( ) A．2 B．8 C．4 D．10 8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若 输 入 分别为 14,18，则输出的 ( ) A．0 B．2 C．4 D．14[来源:Zxxk.Com] 9．已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π 10．如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿着边 ， 与 运动， 记 ．将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图像大致为（ ） (1,3)A (4,2)B (1, 7)C  | |MN  6 6 ,a b a  a > b a = a - b b = b - a 输出 a 结 束 开 始 输入 a， b a ≠ b 是 是 否 否 ABCD 2AB  1BC  O AB P BC CD DA BOP x  P A B x ( )f x ( )y f x D P C B OA x 11．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的 离心率为（ ） A． B． C． D． 12 ．设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题 ~ 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________． 14．若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为____________． 15． 的展开式中 x 的 奇数次幂项的系数之和为 32，则 __________． 16．设 是数列 的前 n 项和，且 ， ，则 ________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分 12 分） 中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的 2 倍．[来源:学科网 ZXXK] (Ⅰ) 求 ； (Ⅱ)若 ， ，求 和 的长． 5 2 3 2 ' ( )f x ( )( )f x x R ( 1) 0f   0x  ' ( ) ( ) 0xf x f x  ( ) 0f x  x ( , 1) (0,1)   ( 1,0) (1, )  ( , 1) ( 1,0)   (0,1) (1, ) a b a b   2a b    1 0 2 0, 2 2 0, x y x y x y           ， z x y  4( )(1 )a x x  a  nS  na 1 1a   1 1n n na S S  nS  ABC D BC AD BAC ABD ADC sin sin B C   1AD  2 2DC  BD AC 18．（本题满分 12 分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 ， 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满 意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满 意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值 及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独 立．根据 所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率． 19．（本题满分 12 分） 如图，长方体 中, ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． A B A 地区 B 地区 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1ABCD A B C D =16AB =10BC 1 8AA  E F 1 1A B 1 1C D 1 1 4A E D F  E F  （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 20．（本题满分 12 分） 已知椭圆 ,直线 不过原点 且 不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ， 线段 的中点为 ． (Ⅰ)证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平 行四边形？若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由． 21．（本题满分 12 分） 设函数 ． (Ⅰ)证明： 在 单调递减，在 单调递增； （Ⅱ）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围． 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。 22． （本小题满分 1 0 分）[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 选修 4—1：几何证明选讲 如图， 为等腰三角形 内一点，圆 与 的底边 交于 、 两点与底边上的高 交 于点 ，与 、 分别相切于 、 两点． D D1 C1 A1 E F A B C B1 AF  2 2 2:9 ( 0)C x y m m   l O l C A B AB M OM l l ( , )3 m m OM C P OAPB l 2( ) mxf x e x mx   ( )f x ( ,0) (0, ) 1 2, [ 1,1]x x   1 2( ) ( ) 1f x f x e   m O ABC O ABC BC M N AD G AB AC E F （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ） 若 等于 的半径，且 ，求四边形 的面积． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程[来源:学科网 ZXXK] 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ），其中 ，在以 为极点， 轴正半轴为极轴的 极坐标系中，曲线 ，曲线 ． （Ⅰ）.求 与 交点的直角坐标； （Ⅱ）.若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求 的最大值． 24．（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲[来源:学科网] 设 均为正数，且 ，证明： （Ⅰ）若 ，则 ； （Ⅱ） 是 的充要条件． G A E F O NDB CM / /EF BC AG O 2 3AE MN  EBCF xoy 1 cos ,: sin , x tC y t      t 0t  0    O x 2 : 2sinC   3 : 2 3 cosC   2C 1C 2C 1C A 3C 1C B AB , , ,a b c d a b c d   ab cd a b c d   a b c d   a b c d  