高中数学第7章（第3课时）直线的方程1

高中数学第7章（第3课时）直线的方程1

课 题： 7.2直线的方程（一）‎ 教学目的：‎ ‎1. 掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、斜截式，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程 ‎ ‎2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力 ‎3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神 教学重点：直线方程的点斜式的推导及运用 教学难点：直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论 ‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：‎ 从教材整体来看，直线方程既是初中二元一次方程知识的延续（数与形相互转化），又与一次函数的知识相吻合，并且通过集合与对应的数学思想，构建了平面上的直线与的一次方程的一一对应关系.它与圆的方程同属解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用。用图表示如下：‎ 从本章内容看，直线方程是建立在“直线的倾斜角和斜率”的知识上，但直线的方程是研究两条直线的位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程的基础，为进一步学习“曲线与方程”作铺垫，故直线的方程是本章的重点内容之一.‎ 另外，通过本节的学习，不仅有利于培养学生分析、讨论问题能力，而且有利于学生强化渗透集合与对应、数形结合的数学思想方法，初步掌握解析几何的基本思想.‎ 因此，本节知识的教学，无论是在学习数学知识，不是培养学生的能力，都显得地位显要，作用非同寻常 本小节所介绍的直线方程的几种形式中，点斜式、斜截式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，在求直线方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的截距式是由点斜式导出.‎ 由于利用集合对应的数学思想，构建平面上直线与关于的二元一次方程的一一对应，这需要从正反两方面阐述，且这里的二元一次方程都是字母系数，需要结合分类讨论的数学思想加以阐述，因而，这段内容比较抽象，学生难于理解.另外，直线方程的四种特殊形式也有不完备之处，它们都有一定的应用范围.‎ 众所周知，“数学教学就是数学活动的教学”，也就是说，应在教学中充分安排观察、回忆、讨论、尝试和发言，使之参与到数学知识的实验、发现过程中去，体验知识的形成过程 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.‎ ‎2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.‎ 倾斜角的取值范围是. 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示.‎ ‎3．概念辨析：①当直线和轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是；③倾斜角是90°的直线没有斜率.‎ ‎4.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：‎ ‎ ‎ ‎5．斜率公式的形式特点及适用范围： ‎ ‎①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；‎ ‎②斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；‎ ‎③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;‎ ‎④当时，直线的倾斜角＝，没有斜率.‎ ‎6.确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点；需要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等 二、讲解新课：‎ ‎1. 直线的点斜式方程--已知直线的斜率及直线经过一已知点，求直线的方程 问题一：已知直线经过点，且斜率为，如何求直线的方程？‎ 此问题难度较小，可由学生自行推导，得出结论：‎ 请同学们集思广益，给这个方程取一个贴切、易记的名字 根据直线的几何特征，确定命名为直线方程的点斜式.‎ 在学生推导直线方程的点斜式时，教师可帮助启发学生作如下分析：‎ 建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是惟一的，其斜率都等于.‎ 在得出方程后，要把它变成方程.因为前者表示的直线上缺少一个点，而后者才是整条直线的方程.‎ 直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.‎ 问题二：平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？‎ 答：不能，因为斜率可能不存在.‎ 点斜式方程推导对学生来说是容易接受的，因此，本环节通过问题的讨论，力求使学生对直线方程的点斜式有一个全方位的认识，以建立起完整、准确的知识结构。同时，通过讨论，使学生切实掌握点斜式并不能把平面上所有的直线都表示在内，它受到斜率存在性的影响，因此，在具体运用时应根据情况分类讨论，避免遗漏.‎ ‎2．直线的斜截式方程 问题三：已知直线经过点P（0,b），并且它的斜率为，求直线的方程.‎ 启发学生用直线方程的点斜式自行推导，得出结论：‎ 再次请同学们集思广益，给这个方程取一个贴切、易记的名字，根据已知直线的几何特征，确定为斜截式 深化理解：‎ ‎⑴斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.‎ ‎⑵斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.‎ ‎⑶斜截式中，，的几何意义是什么？‎ 三、讲解范例：‎ 例1 一条直线经过点，倾斜角，求这条直线的方程.‎ ‎（分析与解答详见教材）‎ 例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：‎ ‎⑴斜率是，在轴上的距截是－2；‎ ‎⑵斜角是，在轴上的距截是3 ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( )‎ A. =3 B. =－5 C.2= D. =4－1‎ ‎2.直线过(a,b)、(b,a)两点，其中a与b不相等，则( )‎ A.l与轴垂直 B. 与轴垂直 C. 过一、二、三象限 D. 的倾斜角为π ‎3.若ac＞0且bc＜0，直线不通过( )‎ A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第二象限 ‎4.直线的方程是指( )‎ A.直线上点的坐标都是方程的解 B.以方程的解为坐标的点都在直线上 C.直线上点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在直线上 D.以上都不对 ‎5.若点A(x0，y0)在直线上，则 ,若点A不在直线上，则 .‎ ‎6.经过点(2，1)且倾斜角的余弦值是的直线方程是 .‎ ‎7.已知P(3，m)在过M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值是 ‎ ‎8.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢8层楼公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到1m2）.‎ ‎9.已知点P(x1，y1）在直线l： (＞0)的左方，求证：‎ ‎10.若光线从点A(－3，5）射到轴上被轴反射后反射到点B(3，9)，求此光线所经过的路程的长.‎ ‎11.已知直线在轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程.‎ ‎12.已知直线与直线3x+4－7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线的方程.‎ 参考答案：1.B 2.D 3.C 4.C ‎5.ax0＋by0＋c＝0；ax0＋by0＋c≠0‎ ‎6.12x－5－19=0‎ ‎7.－2 8.(5，) 6017ｍ2‎ ‎9.证明略.‎ ‎10.2 11. =±x－3‎ ‎12.3x+4±24=0 ‎ 五、小结 ： ‎ 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 示意图 点斜式 斜截式 设问：已知直线经过点A（3，－5），B（－2,5），如何求直线的方程.‎ ‎（此问题先让学生思考，再提问.）‎ 设计意图：小结采用学生看课本及填表的形式，目的是为了让学生更加重视教科书的作用，并通过填表对比两种形式的直线方程的异同，尤其是它们适用范围要引起注意。另外，应用点斜式求通过两点的直线方程，主要是达到承前启后的作用，以引起学生“且听下回分解”的悬念 六、课后作业：‎ ‎1. 课本作业：‎ ‎2．思考题：‎ ‎（1）已知直线的方程为 ①当m=________时，直线的倾斜角为；‎ ②当m=________时，直线在轴的截距为1；‎ ③当m=________时，直线在轴的截距为 ；‎ ④当m=________时，直线与轴平行；‎ ⑤当m=________时，直线与轴平行；‎ ‎(2)设直线关于轴对称，已知的方程为，求直线的方程.‎ ‎（3）一直线过点A（2,1），其倾斜角是直线x-3y+4=0的倾斜角的一半，求直线的方程.‎ ‎3．研究性题：过点M（0,1）直线，使它被已知直线：‎ 所截得的线段恰好被M所平分，求直线的方程 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ 本节课的教学设计主要考虑了如下几个方面：‎ 在教法上力求通过创设问题情境，层层递进，揭示知识的形成发展过程，不仅让学生知其然，更应让学生知其所以然，帮助学生把研究的对象从复杂的背景中分离出来，讲清知识的来龙去脉，突出知识的本质特征，从而使学生对所学的知识理解得更加深刻.‎ 全课以化归思想为主线，达到化未知为已知，化难为易，化几何问题为代数问题的目的。通过数形结合思想的应用，帮助学生变抽象为具体，从而体现解析几何的基本思想.‎ 本设计力求符合“特殊――一般――特殊”的认知规律，即由特殊导出点斜式，再应用点斜式推导出特殊的斜截式.‎ 在教学过程中按照“教、学、研同步协调原则”‎ ‎，要充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位。例如借助提问，给学生营造一个思维情境，给每个学生提供思考、创造、表现及获得成功的机会，使学生在民主开放、和谐愉悦的教学氛围中获取新知识，提高能力，发展自找