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文档介绍
2019届二轮复习第九章第1节 直线的方程学案(全国通用)
第1节 直线的方程 最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. 知 识 梳 理 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角; (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0; (3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0,π). 2.直线的斜率 (1)定义:当直线l的倾斜角α≠时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k=tan α; (2)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y=kx+b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y-y0=k(x-x0) 两点式 过两点 = 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 +=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax+By+C=0(A2+B2 所有直线 ≠0) [常用结论与微点提醒] 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系: α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率. 3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( ) 解析 (1)当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1=-1,k2=1,k1<k2. (2)当直线斜率为tan(-45°)时,其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(2018·衡水调研)直线x-y+1=0的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.120° D.150° 解析 由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tan α=1,又0°≤α<180°,故α=45°,故选B. 答案 B 3.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距 ->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限. 答案 C 4.(必修2P89B5改编)若过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,则直线的方程为 . 解析 由题意得=12,解得m=-2,∴A(2,6), ∴直线AB的方程为y-6=12(x-2), 整理得12x-y-18=0. 答案 12x-y-18=0 5.(必修2P100A9改编)过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为 . 解析 当纵、横截距均为0时,直线方程为3x-2y=0; 当纵、横截距均不为0时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=5.所以直线方程为x+y-5=0. 答案 3x-2y=0或x+y-5=0 考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移) 【例1】 (1)直线2xcos α-y-3=0的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. (2)(一题多解)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 . 解析 (1)直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α, 因为α∈,所以≤cos α≤, 因此k=2·cos α∈[1,]. 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,]. 又θ∈[0,π),所以θ∈, 即倾斜角的取值范围是. (2)法一 设PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率是kAP=1,直线PB的斜率是kBP=-,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,+∞). 当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围是(-∞,-]. 故斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞). 法二 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为 y=k(x-1),即kx-y-k=0. ∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上, ∴(2k-1-k)(--k)≤0, 即(k-1)(k+)≥0,解得k≥1或k≤-. 即直线l的斜率k的取值范围是 (-∞,-]∪[1,+∞). 答案 (1)B (2)(-∞,-]∪[1,+∞) 【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围. 解 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为 y=k(x+1),即kx-y+k=0. ∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上, ∴(2k-1+k)(-+k)≤0, 即(3k-1)(k-)≤0,解得≤k≤. 即直线l的斜率的取值范围是. 【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的范围. 解 由例1(2)知直线l的方程kx-y-k=0, ∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上, ∴(2k-1-k)(2k+1-k)≤0, 即(k-1)(k+1)≤0,解得-1≤k≤1. 即直线l倾斜角的范围是∪. 规律方法 1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tan α的单调性,当α取值在,即由0增大到时,k由0增大到+∞,当α取值在时,即由增大到π(α≠π)时,k由-∞增大到0. 2.斜率的两种求法 (1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率. (2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. 【训练1】 (2018·惠州一调)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0,π) B.∪ C. D.∪ 解析 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α.因为sin α∈[-1,1],所以-1≤tan θ≤1,又θ∈[0,π),所以0≤θ≤或≤θ<π,故选B. 答案 B 考点二 直线方程的求法 【例2】 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5. 解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为α,则sin α=(0≤α<π), 从而cos α=±,则k=tan α=±. 故所求直线方程为y=±(x+4). 即x+3y+4=0或x-3y+4=0. (2)由题设知纵、横截距不为0,设直线方程为+=1, 又直线过点(-3,4), 从而+=1,解得a=-4或a=9. 故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0满足题意; 当斜率存在时,设其为k, 则所求直线方程为y-10=k(x-5), 即kx-y+10-5k=0. 由点线距离公式,得=5,解得k=. 故所求直线方程为3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0. 规律方法 1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件. 2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零). 【训练2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍; (3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0,即l过点(0,0)和(4,1), ∴l的方程为y=x,即x-4y=0. 若a≠0,则设l的方程为+=1, ∵l过点(4,1),∴+=1, ∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0. 综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0. (2)由已知:设直线y=3x的倾斜角为α ,则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan 2α==-. 又直线经过点A(-1,-3), 因此所求直线方程为y+3=-(x+1), 即3x+4y+15=0. (3)由题意可知,所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3). 所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0. 考点三 直线方程的综合应用 【例3】 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程. (1)证明 直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0, 令解得 ∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)解 由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0; 当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k的取值范围是[0,+∞). (3)解 由题意可知k≠0,再由l的方程, 得A,B(0,1+2k). 依题意得解得k>0. ∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k| =·= ≥×(2×2+4)=4, “=”成立的条件是k>0且4k=,即k=, ∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0. 规律方法 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”. 2.求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值. 【训练3】 (一题多解)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程. 解 法一 设直线方程为+=1(a>0,b>0), 点P(3,2)代入得+=1≥2,得ab≥24, 从而S△ABO=ab≥12, 当且仅当=时等号成立,这时k=-=-, 从而所求直线方程为2x+3y-12=0. 法二 依题意知,直线l的斜率k存在且k<0. 则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0), 且有A,B(0,2-3k), ∴S△ABO=(2-3k) =≥ =×(12+12)=12. 当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立, 即△ABO的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x+3y-12=0. 基础巩固题组 (建议用时:25分钟) 一、选择题 1.直线x=的倾斜角等于( ) A.0 B. C. D.π 解析 由直线x=,知倾斜角为. 答案 C 2.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( ) A.k1查看更多