2019届二轮复习第九章第1节 直线的方程学案(全国通用)

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2019届二轮复习第九章第1节 直线的方程学案(全国通用)

第1节 直线的方程 最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角;‎ ‎(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0;‎ ‎(3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0,π).‎ ‎2.直线的斜率 ‎(1)定义:当直线l的倾斜角α≠时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k=tan α;‎ ‎(2)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y=kx+b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y-y0=k(x-x0)‎ 两点式 过两点 = 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 +=1‎ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax+By+C=0(A2+B2‎ 所有直线 ‎≠0)‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:‎ α ‎0°‎ ‎0°<α<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<α<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.‎ ‎3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.(  )‎ ‎(2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.(  )‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(  )‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  )‎ 解析 (1)当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1=-1,k2=1,k1<k2.‎ ‎(2)当直线斜率为tan(-45°)时,其倾斜角为135°.‎ ‎(3)两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(2018·衡水调研)直线x-y+1=0的倾斜角为(  )‎ A.30° B.45° C.120° D.150°‎ 解析 由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tan α=1,又0°≤α<180°,故α=45°,故选B.‎ 答案 B ‎3.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距 ‎->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.‎ 答案 C ‎4.(必修2P89B5改编)若过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,则直线的方程为 .‎ 解析 由题意得=12,解得m=-2,∴A(2,6),‎ ‎∴直线AB的方程为y-6=12(x-2),‎ 整理得12x-y-18=0.‎ 答案 12x-y-18=0‎ ‎5.(必修2P100A9改编)过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为 .‎ 解析 当纵、横截距均为0时,直线方程为3x-2y=0;‎ 当纵、横截距均不为0时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=5.所以直线方程为x+y-5=0.‎ 答案 3x-2y=0或x+y-5=0‎ 考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)‎ ‎【例1】 (1)直线2xcos α-y-3=0的倾斜角的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)(一题多解)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 .‎ 解析 (1)直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α,‎ 因为α∈,所以≤cos α≤,‎ 因此k=2·cos α∈[1,].‎ 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,].‎ 又θ∈[0,π),所以θ∈,‎ 即倾斜角的取值范围是.‎ ‎(2)法一 设PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率是kAP=1,直线PB的斜率是kBP=-,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,+∞).‎ 当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围是(-∞,-].‎ 故斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).‎ 法二 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为 y=k(x-1),即kx-y-k=0.‎ ‎∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,‎ ‎∴(2k-1-k)(--k)≤0,‎ 即(k-1)(k+)≥0,解得k≥1或k≤-.‎ 即直线l的斜率k的取值范围是 ‎(-∞,-]∪[1,+∞).‎ 答案 (1)B (2)(-∞,-]∪[1,+∞)‎ ‎【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.‎ 解 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为 y=k(x+1),即kx-y+k=0.‎ ‎∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,‎ ‎∴(2k-1+k)(-+k)≤0,‎ 即(3k-1)(k-)≤0,解得≤k≤.‎ 即直线l的斜率的取值范围是.‎ ‎【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的范围.‎ 解 由例1(2)知直线l的方程kx-y-k=0,‎ ‎∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,‎ ‎∴(2k-1-k)(2k+1-k)≤0,‎ 即(k-1)(k+1)≤0,解得-1≤k≤1.‎ 即直线l倾斜角的范围是∪.‎ 规律方法 1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tan α的单调性,当α取值在,即由0增大到时,k由0增大到+∞,当α取值在时,即由增大到π(α≠π)时,k由-∞增大到0.‎ ‎2.斜率的两种求法 ‎(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.‎ ‎(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.‎ ‎【训练1】 (2018·惠州一调)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是(  )‎ A.[0,π) B.∪ C. D.∪ 解析 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α.因为sin α∈[-1,1],所以-1≤tan θ≤1,又θ∈[0,π),所以0≤θ≤或≤θ<π,故选B.‎ 答案 B 考点二 直线方程的求法 ‎【例2】 根据所给条件求直线的方程:‎ ‎(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;‎ ‎(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;‎ ‎(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.‎ 解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α,则sin α=(0≤α<π),‎ 从而cos α=±,则k=tan α=±.‎ 故所求直线方程为y=±(x+4).‎ 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.‎ ‎(2)由题设知纵、横截距不为0,设直线方程为+=1,‎ 又直线过点(-3,4),‎ 从而+=1,解得a=-4或a=9.‎ 故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.‎ ‎(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0满足题意;‎ 当斜率存在时,设其为k,‎ 则所求直线方程为y-10=k(x-5),‎ 即kx-y+10-5k=0.‎ 由点线距离公式,得=5,解得k=.‎ 故所求直线方程为3x-4y+25=0.‎ 综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.‎ 规律方法 1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.‎ ‎2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).‎ ‎【训练2】 求适合下列条件的直线方程:‎ ‎(1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;‎ ‎(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;‎ ‎(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.‎ 解 (1)设直线l在x,y轴上的截距均为a,‎ 若a=0,即l过点(0,0)和(4,1),‎ ‎∴l的方程为y=x,即x-4y=0.‎ 若a≠0,则设l的方程为+=1,‎ ‎∵l过点(4,1),∴+=1,‎ ‎∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.‎ 综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.‎ ‎(2)由已知:设直线y=3x的倾斜角为α ,则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan α=3,∴tan 2α==-.‎ 又直线经过点A(-1,-3),‎ 因此所求直线方程为y+3=-(x+1),‎ 即3x+4y+15=0.‎ ‎(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1.‎ 又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3).‎ 所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.‎ 考点三 直线方程的综合应用 ‎【例3】 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).‎ ‎(1)证明:直线l过定点;‎ ‎(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.‎ ‎(1)证明 直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,‎ 令解得 ‎∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).‎ ‎(2)解 由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0;‎ 当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k的取值范围是[0,+∞).‎ ‎(3)解 由题意可知k≠0,再由l的方程,‎ 得A,B(0,1+2k).‎ 依题意得解得k>0.‎ ‎∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|‎ ‎=·= ‎≥×(2×2+4)=4,‎ ‎“=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,‎ ‎∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.‎ 规律方法 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.‎ ‎2.求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.‎ ‎【训练3】 (一题多解)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.‎ 解 法一 设直线方程为+=1(a>0,b>0),‎ 点P(3,2)代入得+=1≥2,得ab≥24,‎ 从而S△ABO=ab≥12,‎ 当且仅当=时等号成立,这时k=-=-,‎ 从而所求直线方程为2x+3y-12=0.‎ 法二 依题意知,直线l的斜率k存在且k<0.‎ 则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),‎ 且有A,B(0,2-3k),‎ ‎∴S△ABO=(2-3k) ‎=≥ ‎=×(12+12)=12.‎ 当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立,‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x+3y-12=0.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:25分钟)‎ 一、选择题 ‎1.直线x=的倾斜角等于(  )‎ A.0 B. C. D.π 解析 由直线x=,知倾斜角为.‎ 答案 C ‎2.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(  )‎ A.k1α3,所以00,b>0时,-a<0,-b<0.选项B符合.‎ 答案 B ‎8.(2018·郑州一模)已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为(  )‎ A.y=x+2 B.y=x-2‎ C.y=x+ D.y=-x+2‎ 解析 ∵直线x-2y-4=0的斜率为,∴直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=x+2,故选A.‎ 答案 A 二、填空题 ‎9.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为 .‎ 解析 BC的中点坐标为,∴BC边上中线所在直线方程为=,即x+13y+5=0.‎ 答案 x+13y+5=0‎ ‎10.已知直线l过坐标原点,若直线l与线段2x+y=8(2≤x≤3)有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 .‎ 解析 设直线l与线段2x+y=8(2≤x≤3)的公共点为P(x,y).‎ 则点P(x,y)在线段AB上移动,且A(2,4),B(3,2),‎ 设直线l的斜率为k.‎ 又kOA=2,kOB=.‎ 如图所示,可知≤k≤2.‎ ‎∴直线l的斜率的取值范围是.‎ 答案  ‎11.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 .‎ 解析 若直线过原点,则k=-,‎ 所以y=-x,即4x+3y=0.‎ 若直线不过原点,设直线方程为+=1,‎ 即x+y=a.则a=3+(-4)=-1,‎ 所以直线的方程为x+y+1=0.‎ 答案 4x+3y=0或x+y+1=0‎ ‎12.设直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点 .‎ 解析 直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,‎ 由解得 所以直线l恒过定点(2,-2).‎ 答案 (2,-2)‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:10分钟)‎ ‎13.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为(  )‎ A.4x-3y-3=0 B.3x-4y-3=0‎ C.3x-4y-4=0 D.4x-3y-4=0‎ 解析 由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为,则tan α=,‎ 所以直线l的斜率k=tan 2α===,所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=(x-1),‎ 即4x-3y-4=0.‎ 答案 D ‎14.(2018·成都诊断)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为(  )‎ A. B.[-1,0]‎ C.[0,1] D. 解析 由题意知y′=2x+2,设P(x0,y0),则k=2x0+2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,故-1≤x0≤-.‎ 答案 A ‎15.(2018·福州模拟)若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为 .‎ 解析 ∵直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),‎ ‎∴a+b=ab,即+=1,‎ ‎∴a+b=(a+b) ‎=2++≥2+2=4,‎ 当且仅当a=b=2时上式等号成立.‎ ‎∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.‎ 答案 4‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过点A作x轴的垂线,垂足为H,过H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程是 .‎ 解析 直线OA的方程为y=x,代入半圆方程得A(1,1),‎ ‎∴H(1,0),直线HB的方程为y=x-1,‎ 代入半圆方程得B.‎ 所以直线AB的方程为=,‎ 即x+y--1=0.‎ 答案 x+y--1=0‎
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