2017-2018学年重庆一中高二上学期期末考试题 数学（文） Word版

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秘密★启用前 2018 年重庆一中高 2019 级高二上期期末考试 数 学 试 题 卷（文科）2018.1 数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一.选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分). 1．命题“ ， ”的否定是( ) A． , B． , C． , D． , 2.“ ”是“方程 表示的曲线是双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 设 为直线 与圆 的两个交点，则 ( ) A.1 B. C. D.2 4．在 中， 分别为角 的对边，若 ，则 （ ） A．30° B．30°或 150° C．60°或 120° D．60° 5. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若 则 B．若 则 C．若 则 D．若 则 6．已知命题 若 ，则 ；命题 若 ，则 ，下列命题为真的是（ ） A. B. C. D. 7．若 在定义域 内为单调递增函数，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. y x= 2 2 1x y+ = | |AB = 2 3 Rx∈∀ tan 0x > Rx∈∀ tan 0x ≤ Rx∈∃ tan 0x ≤ Rx∈∃ tan 0x > Rx∈∀ tan 0x > 0, 0a b> > 2 2 1ax by− = ,A B ABC∆ cba ,, CBA ,, °=== 45,2,3 Bba =A a b α β / / , / / ,a b a α / /b α / / , ,a b a α⊥ b α⊥ , ,aα β β⊥ ⊥ / /a α , / / ,aα β α⊥ a β⊥ :p a b> 2 2a b> :q a b< 2 2ac bc< p q∧ ( )p q∧ ¬ ( )p q∨ ¬ p q∨ 3 2( ) 3 1f x x ax x= + + + R a [ 1,1]− [ 2, 2]− [ 3, 3]− [ 3,3]− 8．圆心在抛物线 上的动圆 始终过点 ，则直线 与动圆 的位置关系为 （ ） A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 9．平面内一动点 到直线 的距离与它到点 的距离之比为 ，则动点 的轨 迹方程是（ ） A． B． C． D． 10. 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 所 示 ， 则 这 个 几 何 体 的 体 积 为 （　　） A． B． C． D． 11．如图， 是双曲线 ： 与椭圆 的公共焦点， 点 是 ， 在第一象限的公共点．若 ， 则 的离心率是（ ） A． B． C． D． 12.（原创）若函数 满足：对 ， 均可作为 一个三角形的边长，就称函数 是区间 上的“小囧囧函数”。则下列四个函数： ； ； ； 中，“小囧囧函数”的个数（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二．填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)． 13．设 是等差数列， 且 ，则 ； 14. 一个正方体的内切球的表面积为 ，则该正方体的棱长等于 ； { }na 2 4y x= C (1,0)F 1x = − C P 3x = (1,0)A 3 P 2 2 13 2 x y+ = 2 2 13 2 x y− = 2 2( 1) 13 2 x y+ + = 2 2 12 3 x y+ = 1664 3 π− 3264 3 π− 64 16π− 6464 3 π− 1 2,F F 1C 13 2 2 =− yx 2C A 1C 2C 1 1 2=F A F F 2C 3 1 5 1 3 2 5 2 ( )y f x= ( )x R∈ , ,a b c D∀ ∈ ( ), ( ), ( )f a f b f c ( )y f x= D 1ln , ,2y x x x e  = ∈   2ln , ,y x x e e = ∈  2ln , ,xy x e ex  = ∈  1, ,22x xy xe  = ∈   21 =a 3 6+ =8a a 8a = 12π xO A y F1 F2 (11 题图) 15.已知函数 的图像与 轴恰有两个不同公共点，则负数 ＝ ； 16.（原创）已知抛物线 的焦点为 ,过点 与抛物线 恰有一个交点 的直线至多有 2 条，则直线 被抛物线 所截得的弦长为_______. 三. 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程） 17. （本小题满分 10 分 ）等比数列 中， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 分别为等差数列 的第 4 项和第 16 项，试求数列 的前 项和 ． 18. （原创）（本小题满分 12 分）在锐角 中， 分别为角 的对边，已知 ， ，且 的面积为 ． （Ⅰ）求角 ； （Ⅱ）求边 ． 19.（原创）（本小题满分 12 分）已知函数 在点 处的 切线 的方程为 . （Ⅰ）求函数 解析式； （Ⅱ）求 在 上的极值. 20. （本小题满分 12 分）等边三角形 的边长为 3,点 、 分别是边 、 上的 点,且满足 (如图 1).将△ 沿 折起到△ 的位置,使得平面 平面 ,连结 、 (如图 2). （Ⅰ）求证: 平面 ： （Ⅱ）若 是线段 的中点,求四棱锥 的体积． { }na 1 42, 16a a= = { }na 3 5,a a { }nb { }nb n nS ABC D E AB AC AD DB = 1 2 CE EA = ADE DE 1A DE BCED 1A B 1AC 1A D ⊥ BCED P 3 23( ) 2f x x x m= − − x m 2: 8C x y= F 1( , )2 tA t − C AF C ABC∆ cba ,, CBA ,, =5 2a b+ 2sin 3sinB A= ABC∆ 3 3 C c ( ) xf x e ax b= + + ( )x R∈ (0, (0))A f l 2 0x y+ − = ( )f x ( )f x R 1A DE ⊥ 1AB P BCED− 21.（改编）（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，已知 ， 且 ，记动点 的轨迹为 . （Ⅰ）求曲线 方程； （Ⅱ）过点 的动直线 与曲线 相交 两点，试问在 轴上是否存在与点 不同的定点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 22．（原创）（本小题满分 12 分）已知函数 （Ⅰ）若函数 在 处取得极值，求证: ； （Ⅱ） ，求实数 的取值范围. 命题人：王吉勇 审题人：黄正卫 陈小燕 xOy 1 2( 2,0), ( 2,0F F − ） 4|||| 21 =+ MFMF ),( yxM C C 0,1P（ ） l C ,A B y 0,1P（ ） Q AQP BQP∠ = ∠ Q 2( ) ln .( )f x x x c x c R= − − ∈ ( )f x 1x = ( ) 0f x ≥ 1(1, ), ( ) ( 1)lnx e f x x x ∃ ∈ > + c 2018 年重庆一中高 2019 级高二上期期末考试 数 学 答 案（文科） 2018.1 一.选择题.(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C B C D B A A C B 二.填空题.(每题 5 分,共 20 分) 13 . 6； 14. ； 15. ； 16. 三.解答题.(共 70 分) 17. 【解析】（Ⅰ）设 的公比为 ,由已知得 ，解得 ． 又 ，所以 ． （Ⅱ）由（I）得 ， ，则 ， ． 设 的公差为 ，则有 解得 则数列 的前 项和 18.【解析】（Ⅰ） ， 。 （Ⅱ） 19. 【解析】（1） ； （2） ， 当 单调递减 单调递增， { }na q 316 2q= 2q = 1 2a = 1 1 1 2 2 2n n n na a q − −= = × = 2 8a = 5 32a = 4 8b = 16 32b = { }nb d 1 1 3 8, 15 32, b d b d + =  + = 1 2, 2. b d =  = { }nb n 1 ( 1) 2n n nS nb d −= + 2( 1)2 2 .2 n nn n n −= + × = + 2 3 1 2 − 25 2 2sin 3sin 2 3B A b a= ⇒ = =5 2 2 2, =3 2a b a b+ ∴ = ， 1 3sin 3 3 sin = =2 2 2 3ABCS ab C C C C π π ∆ = = ∴ < < ∴， ，0 ； 2 2 2 2 cos 14, 14.c a b ab C c∴ = + − = ∴ = ( ) 2 1xf x e x= − + ( ) 2 1 '( ) 2x xf x e x f x e= − + ⇒ = − '( ) 0 ln 2f x x= ⇒ = ( ,ln 2), '( ) 0,x f x∈ −∞ < (ln 2, ), '( ) 0, ( )x f x f x∈ +∞ > 所以极小值为 ，无极大值。 20. 解：（1）等边三角形 的边长为 3,且 ,又 又二面角 为直二面角， 平面 平面 平面 （2） 21.【解析】（1） . （2）当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 两点. 则 ，由 ，有 ，解得 或 . 所以，若存在不同于点 的定点 满足条件，则 点的坐标只可能为 . 下面证明：对任意的直线 ，均有 . 当直线 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ， 的坐标分别为 . 联立 得 . 其判别式 ， 所以， .因此 . ABC AD DB = 1 2 CE EA = 1A DE B− − (ln 2) 3 2ln 2f = − 1, 2AD AE∴ = = 060DAE∠ = 13DE DE AB DE A D∴ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 1A DE ∩ BDE DE= 1 1 1,A D DE A D BD A D∴ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ BDEC 1 1 1 7 3 3 2 24P BCDE BCEDV A D S− ∆== ⋅ ⋅ = 2 2 14 2 x y+ = l x l ,M N (0, 2), (0, 2)M N − | | | | | | | | QM PM QN PN = 0 0 | 2 | 2 1 | 2 | 2 1 y y − −= + + 0 1y = 0 2y = 0,1P（ ） Q Q (0,2)Q l AQP BQP∠ = ∠ l l l 1y kx= + ,A B 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 2 2 1,4 2 1 x y y kx  + =  = + 2 2(2 1) 4 2 0k x kx+ + − = 2 216 8(2 1) 0k k∆ = + + > 1 2 1 22 2 4 2,2 1 2 1 kx x x xk k + = − = −+ + 1 2 1 2 1 2 1 1 2x x kx x x x ++ = = 22.【解析】（Ⅰ）由题意知： ， （Ⅱ）法一：由题意，分离参数可得： ，使 成立，令 在为 增函数， 在为 增函数， 法 二 ： 由 题 意 ， 分 离 参 数 可 得 ： ， 使 成 立 ， 令 ，经过 4 次求导可得为其增函数， 。 法三：令 1 2 1 1 2 2 1 1 11 1 1, 0, QA QB QA QB y yk k k k kx x x x x k k AQP BQP − −∴ = = − = = − = − ∴ + = ∴∠ = ∠ '(1) 0, 1f c= ∴ = 2( ) lnf x x x x∴ = − − 1 (2 1)( 1)'( ) 2 1 , 0 (0,1), '( ) 0, (1, ), '( ) 0, ( ) (1), ( ) 0. x xf x x xx x x f x x f x f x f f x + −∴ = − − = > ∴ ∈ < ∈ +∞ > ∴ ≥ ∴ ≥  , )x e∃ ∈（1 2 1 ln x xc x x −< + + 2 ' 2 1 ln 2 ln( ) , ( )ln (ln ) x x x x x xh x h xx x − − + − += ∴ = ' 2 ' ' ' 1 1 1( ) 1 ln 2 ln , ( ) 1 2ln , "( ) 0 ( ) (1) 0, ( ) (1) 0, ( ) 0. p x x x x x p x x p xx x x p x p p x p h x = − + − + ∴ = + − = + > ∴ > > ∴ > > ∴ > ( )h x∴ , )e（1 2 ( )= 1 ln x xk x x x −∴ + + , )e（1 2( ) ( ) 1k x k e c e∴ < ∴ < + , )x e∃ ∈（1 2 1 ln x xc x x −< + + 2 ln ln( ) ln x x x x xh x x − + += 2( ) ( ) 1h x h e c e∴ < ∴ < + 2 2 2 1( ) ln ( 1)ln , '( ) 2 ln 1'(1) 3 , '( ) 2 1, ( ) 1, '( ) 0, ( ) 0, 1 1; ( )1 3, '( ) '(1) 0, ( ) 0, 1, 1 3; '(1) 0'( ) 0( ) 3, '( ) 0(1) 0 (1) 0 cp x x x c x x x p x x xx cp c p e e e e i c p x p e c e c ii c p x p p e c e c pp eiii c p ep p −= − − + + ∴ = + + = − = − + + ∴ ≤ ∴ > ∴ > ∴ < + ∴ ≤ < ≤ > = ∴ > ∴ < + ∴ < ≤ <<> > > >  或 2 2 ( ) 0 3 1, 1. p e c e c e    > ∴ < < + ∴ < + 或