数学理卷·2017届湖北省枣阳市第一中学高三下学期第三次模拟考试（2017

数学理卷·2017届湖北省枣阳市第一中学高三下学期第三次模拟考试（2017

湖北省枣阳市第一中学2017届高三下学期第三次模拟考试 数 学（理科）‎ 注意事项：1、本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2、请考生将答案作答在答题卡上，选考题部分标明选考题号并用2B铅笔填涂。‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．计算等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知命题，，则是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎3．若，且为第三象限的角，则的值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知数列是等差数列，，其前项和，则其公差等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知直线、与平面、、满足，，，，则下列命题一定正确的是（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎6．海面上有，，三个灯塔，，从望和成视角，从望和成视角，则（ ）．（表示海里，）．‎ A． B． C． D．‎ ‎7．曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知点是圆：上的动点，点，，是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，（，为自然对数的底数），若对任意给定的，在上总存在两个不同的（，），使得成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．设分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点使得两直线斜率，则双曲线的离心率的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎11．设正实数满足,则当取得最大值时，的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，则使得的的范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知实数，满足，（）的最大值为，则实数 ．‎ ‎14．定义在上的函数满足，当时，有成立；若，，，，则，，大小关系为 ．‎ ‎15．已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于，两点，若，则 ．‎ ‎16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”精神，帮助贫困户张三用万元购进一部节能环保汽车，用于出租．假设第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该车每年的运营收入均为万元．若该车使用了（）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于 ．‎ 三．解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分) ‎ ‎17．设数列满足，且对任意，函数满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，求证：．‎ ‎18．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P（异于M、N 两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．‎ ‎19．如图，在中，平面平面，，.设分别为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点的平面内的任一条直线都与平面平行?‎ 若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．椭圆（）的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎21．已知函数，其中．‎ ‎（1）当时，求证：时，；‎ ‎（2）试讨论函数的零点个数．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知圆的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中，，）．‎ ‎（1）直线过原点，且它的倾斜角，求与圆的交点的极坐标（点不是坐标原点）；‎ ‎（2）直线过线段中点，且直线交圆于，两点，求的最大值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知，．‎ ‎（1）当，解关于的不等式；‎ ‎（2）当时恒有，求实数的取值范围 答案 ‎1．ADBDA 6．DDAAB B A ‎13． 14．‎ ‎15． 16．‎ ‎17．（1）;（2）见解析．‎ ‎（1）由，得，‎ 故 ,即，故为等差数列．‎ 设等差数列的公差为，由，得 ‎，解得，‎ ‎∴数列的通项公式为 ‎ ‎（2）证明：,‎ ‎． ‎ ‎18．当时，总路径最短.‎ 连接, 过作垂足为 , 过作垂足为 设， 若，在中， 若则 若则 ‎ 在中， ‎ ‎ 所以总路径长 ‎ 令， ‎ 当 时，‎ 当 时， 所以当时，总路径最短.‎ 答：当时，总路径最短. ‎ ‎19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，点是线段中点.‎ 试题解析证明：因为点是中点， 点为的中点，‎ 所以，‎ 又因为，所以.证明：因为平面平面，平面，‎ 又，，所以平面.‎ 所以.‎ 又因为，且，‎ 所以.解：当点是线段中点时，过点,,的平面内的任一条直线都与平面平行.取中点，连，连.‎ 由可知.‎ 因为点是中点，点为的中点，‎ 所以，‎ 又因为，，‎ 所以.又因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎20．（1）；（2）和．‎ ‎（1）已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，‎ 又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，‎ 由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，‎ 因此，，解得，‎ 则椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，，，联立可得 ‎，则，，‎ 直线的方程为，直线的方程为，‎ 则，，‎ 假设为直径的圆是否恒过定点，‎ 则，，‎ ‎，‎ 即，‎ 即，‎ ‎，‎ 即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，，或，即恒过定点和．‎ ‎21．（1）见解析；（2）当时，有两个零点；当时；有且仅有一个零点．‎ 试题解析：（1）当时，令（），则，‎ 当时，，，，此时函数递增，‎ 当时，，当时，………①‎ ‎（2）………②，令，得，，‎ ‎（i）当时，，由②得……③‎ 当时，，，，此时，函数为增函数，‎ 时，，，时，，‎ 故函数，在上有且只有一个零点；‎ ‎（ii）当时，，且，‎ 由②知，当，，，，‎ 此时，；同理可得，当，；当时，；‎ 函数的增区间为和，减区间为 故，当时，，当时，‎ 函数，有且只有一个零点；‎ 又，构造函数，，则 ‎……④，易知，对，，函数，‎ 为减函数，‎ 由，知，……⑤‎ 构造函数（），则，当时，，当 时，，函数的增区间为，减区间为，，‎ 有，则，‎ ‎，当时，……⑥‎ 而……⑦‎ 由⑥⑦知……⑧‎ 又函数在上递增，‎ 由⑤⑧和函数零点定理知，，使得 综上，当时，函数有两个零点，‎ 综上所述：当时，函数有两个零点，‎ 当时，函数有且仅有一个零点．‎ ‎22．（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）直线的倾斜角，直线上的点的极角或，‎ 代入圆的极坐标方程为得或（舍去），‎ 直线与圆的交点的极坐标为：．‎ ‎（2）由（1）知线段的中点的极坐标为，‎ 的直角坐标为，‎ 又圆的极坐标方程为，‎ 圆的直角坐标方程．‎ 设直线的参数方程为（为参数），‎ 代入得，‎ ‎．‎ 设，点的参数分别为，，则，，‎ ‎，‎ ‎，此时直线的倾斜角．‎ ‎23．（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）时，，．‎ 化为 解之得：或 所求不等式解集为：．‎ ‎（2），．‎ 或 又，‎ 综上，实数的取值范围为：．‎