天津市英华中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

天津市英华中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

‎2019~2020学年度第一学期期末考试高一数学 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.下列函数中与函数相同的函数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可用相等函数两个重要判断依据逐项判断 ‎【详解】A项定义域，定义域不同，A错 B 项，对应关系不同，B错 C 项定义域，定义域不同，C错 D项，定义域和对应关系都相同，D对 故选D ‎【点睛】本题考查相等函数的判断方法，抓住两点：定义域相同，对应关系相同（化简之后的表达式一致）‎ ‎2.已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　）‎ A. {﹣2，﹣1，0} B. {﹣1，0，1，2} C. {﹣1，0，1} D. {0，1，2}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.‎ ‎【详解】因为集合 ‎，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎3.，若，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先去绝对值，求出函数分段函数，再根据函数的增减性解不等式即可 ‎【详解】当时，，当时，，则，画出函数图像，如图：‎ 函数为增函数，，，，故函数为奇函数，，‎ 即，因为函数在上单调递增，所以 故选D ‎【点睛】本题考查根据函数的增减性和奇偶性解不等式，属于中档题 ‎4.已知，则函数的最小值是 A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据配凑法结合基本不等式求解即可.‎ 详解：由题可知：‎ 当x=2时取得最小值，故最小值为3‎ 故选C.‎ 点睛：考查基本不等式求最值的简单应用，属于基础题.‎ ‎5.不等式0的解集（　　）‎ A. {x|x≤﹣1或x≥2} B. {x|x≤﹣1或x＞2} C. {x|﹣1≤x≤2} D. {x|﹣1≤x＜2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式等价于且，解之可得选项.‎ ‎【详解】不等式等价于且，解得或，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为一元二次不等式是分式不等式常用的求解方法，但需注意分式中的分母不为零这个条件，属于基础题.‎ ‎6.已知函数为偶函数，且对于任意的，都有,设，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数在的单调性，然后根据偶函数化简，然后比较2，，的大小，比较的大小关系.‎ ‎【详解】若，则函数在是单调递增函数，‎ 并且函数是偶函数满足，‎ 即，‎ ‎， ‎ 在单调递增，‎ ‎，‎ 即.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.‎ ‎7.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据一元二次不等式计算出集合中表示元素范围,然后计算出的范围,最后根据交集的含义计算的结果.‎ ‎【详解】因为,所以即,所以,‎ 又因为,所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.‎ ‎8.已知函数满足，则的值是（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 10 D. 4或10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分情况和解出值,并注意判断是否满足分段的标准即可.‎ ‎【详解】当时,令,不满足；‎ 当时,令,满足.所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】分段函数求等式时,需要注意分情况讨论,解出的值要检验是否满足定义域.‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9.已知函数是R上的奇函数，且当时，，则当时， ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是奇函数，并且x＜0时，，可设x＞0，从而得出，从而得出x＞0时f（x）的解析式．‎ ‎【详解】∵y=f（x）是R上的奇函数,且x＜0时,，‎ ‎∴设x＞0，,则：，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】考查奇函数的定义，考查了求奇函数在对称区间上的函数解析式的方法．‎ ‎10.已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f（x）是R上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式，在同一坐标系中做出 和的图像，求出交点的坐标，根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.‎ ‎【详解】当时， ，所以 ，‎ 又f（x）是R上的奇函数，所以 ，所以，‎ 所以，即，‎ 做出 和的图像如下图所示，‎ 不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，‎ 由得所以， ‎ 由得，所以，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求得对称区间上的解析式，图像的平移，以及运用数形结合的思想求解不等式，关键在于综合熟练地运用函数的奇偶性，解析式的求法，图像的平移，以及如何在图像上求出不等式的解集等一些基本能力，属于中档题.‎ ‎11.若函数（且）,图象恒过定点,则_____；函数单调递增区间为____________．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的运算性质可以直接求出点的坐标,这样可以计算出的值；再根据复合函数的单调性的性质可以求出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】由函数（且）的解析式可知：当时, ,因此有 ‎；因此,由复合函数的单调性的性质可知：函数的单调递增区间为：.‎ 故答案为2；‎ ‎【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,考查了复合函数的单调性问题,掌握对数的运算特性是解题的关键.‎ ‎12.若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，则，‎ 所以.‎ 考点：对数运算及其应用.‎ ‎【方法点晴】此题主要考查指数与对数互化，以及对数运算性质等有关方面的知识与技能，属于中低档题型.在此题的解决过程中，由条件中指数式转化为对数式，即，利用对数运算的换底公式得，代入式子得，再利用对数的运算性质，从而问题可得解.‎ ‎13.已知函数f（x）＝ax﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的图像恒过点 ，令可得,可得,从而得恒过点的坐标.‎ ‎【详解】∵函数，其中，  令可得, ∴, ∴点的坐标为，  故答案为: ．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质：图像恒过定点，运用整体代换值的方法是本题的关键，属于基础题．‎ ‎14.，则sin2α+2sinαcosα﹣3cos2α＝_____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，所以，再代入，得出，，，代入所求的表达式可得值.‎ ‎【详解】因为，所以， 代入，则，，， 所以原式，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的关系，灵活运用其商数关系和平方关系是解决本题的关键，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共5个小题，共50分）‎ ‎15.计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】(1)(2)0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入指数运算法则和根式和分数指数幂的公式转化求解；（2）代入对数运算法则求解.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎ ‎.‎ ‎（2）原式 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查分数指数幂和对数的运算法则，意在考查转化和计算能力，属于基础题型.‎ ‎16.已知，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求；‎ ‎（Ⅱ）当时，若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）解集合中对应不等式，化简集合，再由交集的概念，即可得出结果；‎ ‎（Ⅱ）根据得到，由，得到，根据集合包含关系，列出不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，得到，则；‎ 当时，由得，则；‎ 则；‎ ‎（Ⅱ）若，则，而 当时， ，则，得到，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主考查集合的交集运算，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记交集的概念，集合间的基本关系，以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.‎ ‎17.（1）求关于的不等式的解集； ‎ ‎（2）已知二次不等式的解集为或，求关于的不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）采用十字相乘法分解因式，对进行讨论即可 ‎（2）由二次不等式的解集为或分析可知代入解出a,b与a,c的关系，再进行求解即可 ‎【详解】（1）‎ ‎①当 ‎ ‎② ‎ ‎③‎ ‎（2）由不等式的解集为可知 ‎ 由韦达定理得 解得 所以，所求不等式的解集为（-3，-2）.‎ ‎【点睛】二次不等式与相对应的方程及二次函数对应的图像密不可分，结合图像性质理解方程和不等式也是我们常采用的方法，本题体现了不等式与方程，不等式与函数的转化思想 ‎18.已知函数为奇函数．‎ ‎（1）求a的值，并证明是R上的增函数；‎ ‎（2）若关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1），证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由奇函数在0处有定义时计算可得.证明在上为增函数时,设,再计算,化简证明即可. (2)先根据奇偶性化简为,因为函数单调递增,所以若解集非空,则有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.‎ ‎【详解】（1）因为定义在R上的奇函数,所以,得.‎ 此时,,‎ ‎,所以是奇函数,‎ 所以．‎ 任取R,且,则,因为 所以,‎ 所以是R上的增函数.‎ ‎（2）因为为奇函数,f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空,‎ 所以解集非空,‎ 又在R上单调递增,‎ 所以的解集非空,‎ 即在R上有解,所以得.‎ ‎【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量,再计算,‎ 若,则为增函数；若,则为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断的正负.‎ ‎(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成的形式,‎ 若在区间上是增函数,则,求解出交集即可.‎ 若在区间上是减函数,则,求解出交集即可.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小正周期及单调增区间．‎ ‎【答案】（1）0（2）最小正周期，的单调增区间为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接代入数据计算得到答案.‎ ‎（2）化简得到，再计算周期和单调增区间.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2） ‎ 所以的最小正周期.‎ 令，解得 所以单调增区间为 ‎【点睛】本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.‎