2018-2019学年内蒙古赤峰市高一上学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古赤峰市高一上学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古赤峰市高一上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．下面有四个命题：其中正确命题的个数为（ ）‎ ‎（1）集合N中最小的数是1；‎ ‎（2）若﹣a不属于N，则a属于N；‎ ‎（3）若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2；‎ ‎（4）x2+1＝2x的解可表示为{﹣1，1}．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】A ‎【解析】（1）0是自然数；（2）可以举一个反例验证；（3）取；（4）考虑集合元素的特性．‎ ‎【详解】‎ 解：集合中最小的数是0，所以（1）不正确；‎ ‎，但，所以（2）不正确；‎ 若，则，若，则，则，当且仅当时取等号，则的最小值为0，所以（3）不正确；‎ 的解表示为，所以（4）不正确．‎ 所以正确的命题为0个．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假的判断与运用，以及元素与集合之间的关系，解答的关键是掌握自然数集的概念，及集合中元素的三个特性，即确定性、互异性和无序性．‎ ‎2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )‎ A．， B．，‎ C．y=1， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】判断时每组函数的定义域和对应关系是否相同．‎ ‎【详解】‎ A中的函数与是同一函数；‎ B中，定义域不相同，不是同一函数；‎ C中y=1，定义域不相同，不是同一函数；‎ D中，两个函数的定义域不相同， 对应法则也不相同，不是同一函数；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相等函数的定义，相等函数的是“定义域、对应关系、值域”三要素完全相同的函数．‎ ‎3．函数 的定义域是（　 　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意易得：,解得：‎ 故定义域为：‎ 故选：C ‎4．已知 ，则的值为（ ）‎ A． B．2 C． D．-1‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：．故选B ‎【考点】分段函数．‎ ‎5．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二次函数图象可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为当时，当时或，因此的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎6．已知角的终边经过点，则角的最小正值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据三角函数的定义，知道而且点位于第四象限，所以最小正角为.‎ ‎【考点】本小题考查了三角函数的定义的应用.‎ 点评：计算出还要注意到点位于第四象限.‎ ‎7．已知，且为第二象限角，那么的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵且是第二象限的角， ∴，∴，故选C.‎ ‎8．给出下列各函数值：①；②；③； ④. 其中符号为负的是（ ）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用诱导公式分别对四个特设条件进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负．‎ ‎【详解】‎ sin（﹣1000°）=sin（﹣2×360°﹣280°）=﹣sin280°=cos10°＞0，‎ cos（﹣2200°）=cos（﹣6×360°﹣40°）=cos40°＞0，‎ tan（﹣10）=﹣tan（3π+0.58）=﹣tan（0.58）＜0‎ ‎=﹣=＞0‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了运用诱导公式化简求值．解题时应正确把握好函数值正负号的判定．‎ ‎9．设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（ ）‎ A．（3，1） B．（1，﹣1）‎ C．（3，-1）或（-1，1） D．（3，1）或（1，﹣1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据已知求出向量的坐标，进而根据，可求出向量的坐标，进而求出点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 解：，，∴，‎ 点在直线上，且，∴，或，‎ 故，或，故点坐标为或，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是平面向量坐标表示，熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的差是解答的关键．‎ ‎10．已知,均为单位向量,它们的夹角为,那么( )‎ A． B． C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：,,所以.‎ ‎【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系.‎ ‎11．若，则函数的两个零点分别位于区间（ ）‎ A．和内 B．和内 C．和内 D．和内 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点.‎ ‎【考点】零点与二分法.‎ ‎【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.‎ ‎12．已知方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0有两个实根，则实数k的取值范围为（ ）‎ A．[，1] B．（，] C．[，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】将指数方程的解的问题，转化为二次方程的区间根的问题，即方程有两个实根可转化为有两个正根，结合韦达定理有，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：设，则，则原方程有两个实根可转化为有两个正根，‎ 则有，解得：，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数方程的解的问题，转化为二次方程的区间根的问题求解即可，属简单题．‎ 二、填空题 ‎13．若且，则 .‎ ‎【答案】-2,2,0‎ ‎【解析】【详解】‎ 由,得，‎ 则或， ‎ ‎∴x=﹣2，x=2，x=0，x=1（违反互异性，舍去），‎ 故答案为﹣2，2，0.‎ 点评： 本题主要考查集合的子集运算，及集合元素的互异性．‎ ‎14．已知，则在上的投影为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据向量投影的概念，在上的投影．‎ ‎【考点】向量的投影 ‎15．一次函数是减函数，且满足，则 ．‎ ‎【答案】－2x＋1‎ ‎【解析】由一次函数f(x)是减函数，可设f(x)＝kx＋b(k<0)．‎ 则f[f(x)]＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，‎ ‎∵f[f(x)]＝4x－1，‎ ‎∴f(x)＝－2x＋1.‎ ‎16．直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】(1,‎ ‎【解析】【详解】‎ 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线，由图可知，a的取值必须满足解得.‎ 三、解答题 ‎17．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象如图所示．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）求f（）的值．‎ ‎【答案】（1）； （2）．‎ ‎【解析】（1）根据图象的最高点坐标，最高点横坐标与零点距离等求出，，，即可得解；‎ ‎（2）利用（1）的解析式代入求值即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由图象可知，并且，所以，‎ 又，即，‎ 可得，，可得，，‎ 又因为：，所以可得，所以；‎ ‎（2）由（1）得到．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象以及性质；关键是熟练掌握正弦函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎18．已知，求：‎ ‎（1）的最小正周期及对称轴方程；‎ ‎（2）的单调递增区间；‎ ‎（3）若方程在上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为，；（2），，；（3）．‎ ‎【解析】（1）由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性，得出结论；‎ ‎（2）求出的减区间，即为的单调递增区间，再利用正弦函数的单调性得出结论；‎ ‎（3）由题意可得函数的图象和直线在，上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出的值域，可得的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由于，它的最小正周期，‎ 令，求得，，‎ 故函数的对称轴方程为，；‎ ‎（2）令，求得，‎ ‎∴函数的增区间为，，；‎ ‎（3）若方程在，上有解，‎ 则函数的图象和直线在，上有交点．‎ ‎∵，∴，则，，‎ 故，∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．‎ ‎19．已知ΔABC三个顶点坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．‎ ‎（1）若,求c的值；‎ ‎（2）若C=5，求sin∠A的值．‎ ‎【答案】(1)；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：(1)用坐标表示点,代入求解；(2)已知三角形的三边,则先求出,再求出.‎ 试题解析：解(1) ‎ 由可得，解得 ‎(2)当时,可得, ΔABC为等腰三角形 过作交于,可求得 ‎ 故 ‎ (其它方法如①利用数量积求出进而求;)‎ ‎【考点】1、解三角形；2、向量垂直．‎ ‎20．已知||＝1，，．‎ ‎（1）求向量与的夹角θ；‎ ‎（2）求||．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）根据平面向量的数量积运算与夹角公式，计算即可；‎ ‎（2）根据平面向量的模长公式，计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），∴，即，‎ ‎，，；‎ ‎，‎ 又，，；‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的数量积的运算与夹角、模长的计算问题，是基础题．‎ ‎21．已知，函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；‎ ‎（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）．（2）．（3）．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.‎ 试题解析：（1）由，得，解得．‎ ‎（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．‎ 即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，‎ 即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①‎ 则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，‎ 即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，‎ 当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立 当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立 当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，‎ 若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，‎ 若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，‎ 则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．‎ 综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，‎ 则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．‎ ‎（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，‎ 由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，‎ 即log2（a）﹣log2（a）≤1，‎ 即a≤2（a），即a 设1﹣t＝r，则0≤r，‎ ‎，‎ 当r＝0时，0，‎ 当0＜r时，，‎ ‎∵y＝r在（0，）上递减，‎ ‎∴r，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数a的取值范围是a．‎ ‎【一题多解】‎ ‎（3）还可采用：当时，，，‎ 所以在上单调递减．‎ 则函数在区间上的最大值与最小值分别为，．‎ 即，对任意成立．‎ 因为，所以函数在区间上单调递增，‎ 时，有最小值，由，得．‎ 故的取值范围为．‎ ‎22．已知函数f（x）．‎ ‎（1）求函数f（x）在区间[0，2]上的最值；‎ ‎（2）若关于x的方程（x+1）f（x）﹣ax＝0在区间（1，4）内有两个不等实根，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）最小值为2，最大值为3；（2）．‎ ‎【解析】（1）利用换元法令，，，从而化为，从而求闭区间上的最值；‎ ‎（2）当时，可化方程为，从而作函数在上的图象，结合图象求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）令，，则，‎ 故，‎ 由对勾函数的性质可知，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 且，，，‎ 故函数在区间上的最小值为2，最大值为3；‎ ‎（2）∵，∴，故，‎ 作函数在上的图象如下，‎ ‎，‎ ‎∴，，，‎ 故结合图象可知，当时，‎ 关于的方程在区间内有两个不等实根，‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用，属于中档题．‎