2017年高考试题——数学理（新课标Ⅱ卷）解析版

2017年高考试题——数学理（新课标Ⅱ卷）解析版

绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 课标 II 理科数学 【试卷点评】 【命题特点】 2017 年高考全国新课标 II 数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的第Ⅰ卷 与第 II 卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选 一。试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查, 注重数学在生活中的应用。 同时在保持稳定的基 础上，进行适度的改革和创新，与 2016 年相比难度稳中有降略。具体来说还有以下几个特点： 1.知识点分布保持稳定 小知识点集合，复数，程序框图，线性规划，向量问题，三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列 三小一大，概率统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数导数三小一大(或两小一大)。 2.注重对数学文化与数学应用的考查 教育部 2017 年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了数学文化的考查要求。2017 高考数学全国卷 II 理科 第 3 题以《算法统宗》中的数学问题为进行背景，理科 19 题、文科 18 题以以养殖水产为题材，贴近生活。 3.注重基础，体现核心素养 2017 年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理 和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及。 【命题趋势】 1.函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、 单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用。 2. 立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何的面积与体积 结合在一起考查，解答题一般分 2 进行考查。 3．解析几何知识：解析几何试题一般有 3 道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为 客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高 考适当控制了运算量，难度有所降低。 4.三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查基 本量求通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与 三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小巧活的特点。 【试卷解析】 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：由复数除法的运算法则有： ，故选 D。 【考点】 复数的除法 【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数 的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若 z1，z2 互为共轭复数，则 z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘 以分母的共轭复数将分母实数化。 2.设集合 ， 。若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍， 则塔的顶层共有灯（ ） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 3 1 i i   1 2i 1 2i 2 i 2 i   3+ 13 21 2 i ii ii      1,2,4A   2 4 0x x x m      1A      1, 3  1,0  1,3  1,5 【答案】B 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截 去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱，其体积 ， 上 半 部 分 是 一 个 底 面 半 径 为 3 ， 高 为 4 的 圆 柱 的 一 半 ， 其 体 积 ，该组合体的体积为： 。故选 B。 【考点】 三视图；组合体的体积 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则， 空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形 90 63 42 36 2 1 3 4 36V       2 2 1 3 6 272V       1 2 36 27 63V V V        状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体 积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。 5.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三 份：有 种方法，然后进行全排列 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有 种方法。 故 选 D。 x y 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 x y x y y           2z x y  15 9 1 9 2 4C 3 3A 2 3 4 3 36C A  【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理 【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的 过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑 其他元素(或位置)。 (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配。在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③ 部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法。 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好， 我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成 绩。根据以上信息，则（ ） A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D 8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 1a   S  【答案】B (3)按照题目的要求完成解答并验证。 9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C C: 2 2 2 2 1x y a b  0a  0b   2 22 4x y   C 3 2 2 3 3 1 1 1C CA  A  C 120A   2A  1C CC 1   1A 1C 3 2 15 5 10 5 3 3 11.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ） A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】 试题分析：由题可得 因为 ，所以 ， ，故 令 ，解得 或 ，所以 在 单调递增，在 单调递减 所以 极小值为 ，故选 A。 【考点】 函数的极值；函数的单调性 2x   2 1( ) ( 1) xf x x ax e    ( )f x 1 32e 35e 1 2 1 2 1( ) (2 ) ( 1) [ ( 2) 1]x x xf x x a e x ax e x a x a e             ( 2) 0f    1a   2 1( ) ( 1) xf x x x e    2 1( ) ( 2) xf x x x e     ( ) 0f x  2x   1x  ( )f x ( , 2),(1, )   ( 2,1) ( )f x   1 11 (1 1 1) 1f e      【名师点睛】(1)可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)＝0，且在 x0 左侧与右侧 f′(x)的符号 不同。 (2)若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 12.已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二等 品件数，则 。 ABC ( )PA PB PC    2 3 2 4 3 1 0.02 100  D  【答案】 14.函数 （ ）的最大值是 。 【答案】1 【解析】 试题分析：化简三角函数的解析式： ， 由自变量的范围： 可得： ， 当 时，函数 取得最大值 1。 【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与 二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解 题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。 15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 。 【答案】 【解析】 1.96   2 3sin 3 cos 4f x x x   0, 2x       2 2 23 1 31 cos 3 cos cos 3 cos cos 14 4 2f x x x x x x                0, 2x      cos 0,1x 3cos 2x   f x  na n nS 3 3a  4 10S  1 1n k kS  2 1 n n  试题分析：设等差数列的首项为 ，公差为 ， 由题意有： ，解得 ， 数列的前 n 项和 , 裂项有： ，据此： 。 【考点】 等差数列前 n 项和公式；裂项求和。 【名师点睛】等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另 外两个，体现了用方程的思想解决问题。学&科&网数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换 作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注 意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特 点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。 16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 。若 为 的中 点，则 。 【答案】6 1a d 1 1 2 3 4 34 102 a d a d     1 1 1 a d          1 1 1 11 12 2 2n n n n n n nS na d n           1 2 1 121 1kS k k k k        1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 ...... 2 12 2 3 1 1 1 n k k n S n n n n                                     F C: 2 8y x M C FM y N M FN FN  【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。 【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物 线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么 用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义 转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17~21 题为必做题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 的内角 所对的边分别为 ，已知 ， （1）求 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 。 【答案】(1) ； (2) 。 ABC A B C、 、 , ,a b c   2sin 8sin 2 BA C  cos B 6a c  ABC 2 b 15cos 17B  2b  18.（12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱 水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下： （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱 产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附： 【答案】(1) ； (2) 有 的把握认为箱产量与养殖方法有关； (3) 。 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      0.4092 99% 52.35kg 50kg 50kg≥ 新养殖法 34 66 由于 ，故有 的把握认为箱产量与养殖方法有关。 19.（12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， E 是 PD 的中点。 （1）证明：直线 平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 ，求二面角 的余弦值。 【答案】(1)证明略；  2 2 200 62 66 34 38 15.705100 100 96 104K        15.705 6.635 99% o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC      / /CE o45 M AB D  (2) 。 （2）由已知得 ,以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， , ， 设 则 ， 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45°，而 是底面 ABCD 的法向量， 10 5 BA AD AB AB A xyz  0,0,0A  1,0,0B  1,1,0C  0,1, 3P (1 0 3)PC   ，， (1 0 0)AB  ，，   , , 0 1M x y z x     1, , , , 1, 3BM x y z PM x y z       0,0,1n 【考点】 判定线面平行；面面角的向量求法 【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程 思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。 (2)设 m，n 分别为平面 α，β 的法向量，则二面角 θ 与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|= 。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 20. （12 分） 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 。 (1) 求点 P 的轨迹方程； m n m n 2 2 12 x y  2NP NM  (2)设点 Q 在直线 上，且 。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。 【答案】(1) 。 (2)证明略。 （2）由题意知 。设 ,则 ， 。 由 得 ，又由（1）知 ，故 。 所以 ，即 。又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 过 C 的左焦点 F。 【考点】 轨迹方程的求解；直线过定点问题。 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有： (1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)＝0。 (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。 (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。 3x   1OP PQ   2 2 2x y   1,0F     3, , ,Q t P m n    3, , 1 , , 3 3OQ t PF m n OQ PF m tn                , , 3 ,OP m n PQ m t n      1OP PQ   2 23 1m m tn n     2 2 2m n  3 3 0m tn   0OQ PF   OQ PF  l (4)代入(相关点)法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x，y)的轨 迹方程。　 21.（12 分） 已知函数 ，且 。 (1)求 ； (2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 。 【答案】(1) ； (2)证明略。 （2）由（1）知 ， 。 设 ，则 。 当 时， ；当 时， ， 所以 在 单调递减，在 单调递增。   2 lnf x ax ax x x     0f x  a  f x 0x  2 2 0 2e f x   1a    2 lnf x x x x x    ' 2 2 lnf x x x     2 2 lnh x x x     1' 2h x x  10, 2x      ' 0h x  1 ,2x       ' 0h x   h x 10, 2      1 ,2     （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 。 （1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标方 程； （2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值。 【答案】(1) ； 1C cos 4   1C | | | | 16OM OP  2C (2, )3  2C OAB△    2 22 4 0x y x    (2) 。 【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、 线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标 的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 。证明： 2 3 3 30, 0, 2a b a b    （1） ； （2） 。 【答案】(1)证明略； (2)证明略。 5 5( )( ) 4a b a b   2a b 