数学理卷·2017届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三1月月考（2017

数学理卷·2017届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三1月月考（2017

成都龙泉中学高2014级1月月考试题 数 学（理工类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 注意事项：‎ ‎ 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.‎ ‎ 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，集合，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.复数满足，则复平面内表示复数的点在(　 )‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3. 函数的一个单调递减区间是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)‎ ‎ A.个体　　　　　　 B.总体 ‎ C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 ‎5.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为（ ）‎ ‎ A . 1 B. -2 C. 2 D . -1‎ 6. 等比数列中，，=4，函数，则（ ） ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知点在直线上, 点在直线上, 线段的中点为, 且, 则的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出S＝(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎9.F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，满足，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． +1 D． +1　‎ ‎10.已知条件p：关于x的不等式有解；条件q：为减函数，则p成立是q成立的( )．‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎11.若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）‎ ‎ A. B.. ‎ ‎ C. D.‎ ‎12.已知双曲线的方程为，过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段，则双曲线的离心率是（   ）‎ A．       B．        C．      D． ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13． 已知，则的值为 ‎ ‎14. 已知正数满足，则的最小值为 . ‎ ‎15.在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________. ‎ ‎16.设是不重合的两直线，是不重合的两平面，其中正确命题的序号是 ．‎ ‎①若//，则； ②若，则；‎ ‎③若，则//； ④若，则//或 三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17 .（本小题满分10分）已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围 ‎18．（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=3Sn﹣2（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和Tn．‎ ‎19.（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（Ⅰ）若b=，当△ABC周长取最大值时，求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥CD，AB=2AD=2CD=2,E是PB上的点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎21.（本题满分12分）高三某班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个4人的课外兴趣小组.‎ ‎(1)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；‎ ‎(2)试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学B得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。‎ ‎22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，过点P（1，﹣2）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为点A、B．‎ ‎（I）求直线l的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．‎ ‎23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．‎ ‎‎ 成都龙泉中学高2014级1月月考试题 数 学（理工类）参考答案 ‎1-5 AACBD 6-10 CDADB 11-12 AC ‎ ‎13. 14. 15. 16.②④‎ ‎17 .（本小题满分12分）‎ 解析　由于f′(x)＝1＋>0，　　因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，‎ 所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.　　　根据题意可知存在x∈[1,2]，‎ 使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，‎ 令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，‎ 又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减，‎ 所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.‎ ‎18.解：（1）∵an=3Sn﹣2，‎ ‎∴an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2），‎ 两式相减得：an﹣an﹣1=3an，‎ 整理得：an=﹣an﹣1（n≥2），‎ 又∵a1=3S1﹣2，即a1=1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1、公比为﹣的等比数列，‎ ‎∴其通项公式an=（﹣1）n﹣1•；‎ ‎（2）由（1）可知nan=（﹣1）n﹣1•，‎ ‎∴Tn=1•1+（﹣1）•2•+…+（﹣1）n﹣2•（n﹣1）•+（﹣1）n﹣1•，‎ ‎∴﹣Tn=1•（﹣1）•+2•+…+（﹣1）n﹣1•（n﹣1）•+（﹣1）n•n•，‎ 错位相减得： Tn=1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n﹣1•]﹣（﹣1）n•n•‎ ‎=1+﹣（﹣1）n•n•‎ ‎=+（﹣1）n﹣1••，‎ ‎∴Tn= [+（﹣1）n﹣1••]=+（﹣1）n﹣1••．‎ ‎19.（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）∵1﹣===，化简可得：a2+c2﹣b2=ac，则=1，‎ ‎∴cosB==，又∵B∈（0，π），∴B=…3分 ‎∵由正弦定理可得：，∴△ABC的周长l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2sinA++2sin（﹣A）=3sinA+cosA+=2sin（A+），…5分 ‎∵0，∴＜A+＜，当A+=时，即A=时，△ABC周长l取最大值3，由此可以得到△ABC为等边三角形，‎ ‎∴S△ABC=…7分 ‎（Ⅱ）∵=6sinAcosB+cos2A=3sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，…9分 ‎∵0，∴0＜sinA≤1，当sinA=时，取得最大值，…11分 ‎∴的取值范围为（1，]…12分 ‎20.【解析】（Ⅰ）证明：平面ABCD，平面ABCD，，‎ ‎，，，又，‎ 平面，∵平面EAC，平面平面 ‎ ‎（Ⅱ）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则C（0，0，0），（1，1，0），（1，－1，0）‎ ‎21.解　(1)设有x名男同学，则＝，∴x＝3，∴男、女同学的人数分别为3、1，把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种，‎ 其中有一名女同学的有6种，‎ ‎∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P＝＝.‎ ‎(2) 1＝＝71，2＝＝71‎ s＝＝4，‎ s＝＝3.2.‎ ‎∴第二次同学B的实验更稳定.‎ ‎22.解：（1）在直角坐标系xOy中，过点P（1，﹣2）的直线l的倾斜角为45°．‎ ‎∴kl=1，直线方程是：y+2=x﹣1，y=x﹣3，‎ 令x=t，则y=t﹣3，‎ ‎∴直线l的参数方程是；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，‎ 即为ρ2sin2θ=2ρcosθ，‎ 化为普通方程为：y2=2x，‎ 由，‎ 解得：或，‎ ‎∴|PA|•|PB|=•=4．‎ ‎23.解：（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|‎ ‎∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，‎ ‎∴a=3；‎ ‎（Ⅱ）证明：2m+﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+，‎ ‎∵m＞n＞0，‎ ‎∴（m﹣n）+（m﹣n）+≥3=3，‎ ‎∴2m+﹣2n≥3，‎ 即2m+≥2n+a．‎