2015年高考数学（理科）真题分类汇编F单元　平面向量

2015年高考数学（理科）真题分类汇编F单元　平面向量

‎ 数 学 F单元　平面向量 ‎ F1　平面向量的概念及其线性运算 ‎13．F1[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．‎ ‎13.　[解析] 因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在唯一实数t，使得λa＋b＝t(a＋2b)，所以解得λ＝t＝.‎ ‎7．F1[2015·全国卷Ⅰ] 设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ ‎7．A　[解析] 由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.‎ ‎13．F1[2015·北京卷] 在△ABC中，点M，N满足＝，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________．‎ ‎13.　－　[解析] 在△ABC中，＝－＝(＋)－＝－.‎ ‎20．F1、H1、H5、H7、H8[2015·湖南卷] 已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.‎ ‎(1)求C2的方程．‎ ‎(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．‎ ‎(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；‎ ‎(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．‎ ‎20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以 a2－b2＝1.①‎ 又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，‎ 由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②‎ 联立①②，得a2＝9，b2＝8，‎ 故C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ ‎(i)因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③‎ 设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.‎ 由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④‎ 由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.‎ 而x3，x4是这个方程的两根，所以 x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤‎ 将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，‎ 所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.‎ ‎(ii)证明：由x2＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－.‎ 令y＝0，得x＝，即M，0，所以＝，－1.而＝(x1，y1－1)，于是·＝－y1＋1＝＋1>0，‎ 因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．‎ 故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．‎ ‎7．F1、F3[2015·四川卷] 设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)‎ A．20 B．‎15 C．9 D．6‎ ‎7．C　[解析] 易知＝＋，＝－＝－＋，‎ ‎∴·＝(4＋3)·(－3＋4)＝(162－92)＝×(16×36－9×16)＝9.‎ F2　平面向量基本定理及向量坐标运算 ‎6．F2[2015·江苏卷] 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ ‎6．－3　[解析] 因为ma＋nb＝(‎2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以解得故m－n＝－3.‎ ‎8．F4、F2[2015·湖南卷] 已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎8．B　[解析] 方法一：因为A，B，C均在单位圆上，A，C为直径的端点，所以＋＝2＝(－4，0)，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||.又||≤||＋1＝3，所以|＋＋|≤4＋3＝7，故选B.‎ 方法二：因为A，B，C均在单位圆上，A，C为直径的端点，所以可令A(cos x，sin x)，B(cos(x＋α)，sin(x＋α))，C(－cos x，－sin x)，0<α<π，‎ 则＋＋＝(cos(x＋α)－6，sin(x＋α))，‎ ‎|＋＋|＝＝≤7.‎ F3　平面向量的数量积及应用 ‎8．F3[2015·安徽卷] △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足 ＝‎2a，＝‎2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(‎4a＋b)⊥ ‎8．D　[解析] 由＝‎2a，＝‎2a＋b，得a＝，b＝－‎2a＝，因此|a|＝||＝1，|b|＝||＝2，且a与b的夹角为120°，故a·b＝1×2×cos 120°＝－1，(‎4a＋b)·b＝‎4a·b＋b2＝－4＋4＝0，故A，B，C错，D正确．‎ ‎11．F3[2015·湖北卷] 已知向量⊥，||＝3，则·＝________．‎ ‎11．9　[解析] 根据题意作出图形，如图所示．‎ 设向量，的夹角为θ，则·＝cos θ.因为⊥，所以cos θ＝，所以·＝＝9.‎ ‎14．C7、F3[2015·江苏卷] 设向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则(ak·ak＋1)的值为________．‎ ‎14．9　[解析] 因为ak·ak＋1＝coscos＋ ‎＝2coscos＋sinsin＋sincos＋cossin ‎＝coscos＋cos＋sin＝cos＋sin＋，‎ 所以(ak·ak＋1)＝12×＋cos＋sin＝9.‎ ‎4．F3[2015·山东卷] 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)‎ A．－a2 B．－a‎2 C.a2 D.a2‎ ‎4．D　[解析] ·＝(＋)·＝·＋2＝a2×cos 60°＋a2＝a2.‎ ‎7．F3[2015·陕西卷] 对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)‎ A．|a·b|≤|a||b|‎ B．|a－b|≤||a|－|b||‎ C．(a＋b)2＝|a＋b|2‎ D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2‎ ‎7．B　[解析] 根据数量积的定义a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，所以|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|，选项A中的关系式一定成立；如果选项B中的关系式成立，则|a－b|2≤||a|－|b||2，可得a·b≥|a||b|，此式只在a，b共线且同向时成立；根据向量的运算法则可知选项C，D中的关系式是恒成立的．‎ ‎7．F1、F3[2015·四川卷] 设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足 ＝3，＝2，则·＝(　　)‎ A．20 B．‎15 C．9 D．6‎ ‎7．C　[解析] 易知＝＋，＝－＝－＋，‎ ‎∴·＝(4＋3)·(－3＋4)＝(162－92)＝×(16×36－9×16)＝9.‎ ‎6．F3[2015·重庆卷] 若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(‎3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π ‎6．A　[解析] 由题知(a－b)·(‎3a＋2b)＝‎3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝‎3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以a·b＝3·b2－2b2＝b2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝，故选A.‎ ‎ F4 单元综合 ‎9．F4[2015·福建卷] 已知⊥，＝，＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)‎ A．13 B．15‎ C．19 D．21‎ ‎9．A　[解析] 以点A为原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则＝，＝(0，t)，＝(1，4)，所以＝－＝，＝－＝(－1，t－4)，‎ 所以·＝－－4(t－4)＝－＋17≤－2＋17＝13，当且仅当t＝时取等号．故选A.‎ ‎8．F4、F2[2015·湖南卷] 已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎8．B　[解析] 方法一：因为A，B，C均在单位圆上，A，C为直径的端点，所以＋＝2＝(－4，0)，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||.又||≤||＋1＝3，所以|＋＋|≤4＋3＝7，故选B.‎ 方法二：因为A，B，C均在单位圆上，A，C为直径的端点，所以可令A(cos x，sin x)，B(cos(x＋α)，sin(x＋α))，C(－cos x，－sin x)，0<α<π，‎ 则＋＋＝(cos(x＋α)－6，sin(x＋α))，‎ ‎|＋＋|＝＝≤7.‎ ‎14．F4、E6[2015·天津卷] 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．‎ ‎14.　[解析] 根据题意，可知DC＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，等号成立．‎ ‎15．F4[2015·浙江卷] 已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝.若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________．‎ ‎15．1　2　2 　[解析] 设空间向量b在由e1，e2构成的平面内的投影向量为me1＋ne2(m，n∈R)，而b·e1＝me1·e1＋ne2·e1＝m＋n＝2，b·e2＝me1·e2＋ne2·e2＝m＋n＝，解得m＝1，n＝2.‎ 由向量e1，2e2，构造一个四棱柱，且||＝1，垂直于由e1，e2决定的平面，令p＝xe1＋ye2，则向量p与e1，e2共面，b－(xe1＋ye2)＝b－p＝.易知||≥||＝1，故当P与C重合时，取最小值1，此时 x0＝1, y0＝2，||2＝(e1＋2e2)2＝e＋4e1·e2＋4e＝1＋2＋4＝7，＝||＝＝＝2 .‎ ‎7．[2015·南京、盐城一模] 在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r>0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝＋，则r＝________．‎ ‎7.　[解析] 由＝＋得＝＋.‎ 设OC与AB交于点M，则A，M，B三点共线．‎ 由∠AMO与∠BMO互补结合余弦定理可求得|AB|＝r，‎ 过点O作AB的垂线交AB于D，根据圆心到直线的距离为|OD|＝＝，得＋＝r2，解得r2＝10，r＝.‎ ‎6．[2015·温州十校期中联考] 设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π.若|‎2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎6．A　[解析] |‎2a＋b|＝|a－2b|⇒(‎2a＋b)2＝(a－2b)2⇒‎3a2－3b2＋‎8a·b＝0⇒a·b＝0，所以选A.‎ ‎6．[2015·马鞍山质检] 在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是(　　)‎ A. 4－2 B. ＋1 ‎ C. －1 D. ‎6．C　[解析] 设点P(x，y)．由动点P满足||＝1，得x2＋(y＋2)2＝1.根据＋＋的坐标为(＋x，y＋1)，可得|＋＋|＝.设(－，－1)为点M，则该式表示点P(x, y)与点M(－，－1)之间的距离．‎ 又点M在圆C：x2＋(y＋2)2＝1的外部，且||＝，故|＋＋|的最小值为||－1＝－1.‎ ‎9．[2015·浙江衢州联考] 如图K182所示，定圆C的半径为r，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点．若点A，B，C不共线，且|－t|≥||对任意t∈(0，＋∞)恒成立，则·＝________．‎ 图K182‎ ‎9．r2　[解析] 由|－t|≥||对任意t∈(0，＋∞)恒成立，可得∠ACB为直角，所以三角形ACB为直角三角形，所以·＝r·r·＝r2.‎ ‎9．[2015·资阳一诊] 已知向量m＝(1，3cos α)，n＝(1，4tan α)，α∈，且 m·n＝5.‎ ‎(1)求|m＋n|；‎ ‎(2)设向量m与n的夹角为β，求tan(α＋β)的值．‎ ‎9．解：(1)由m·n＝1＋12cos αtan α＝5，得sin α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＝，tan α＝.‎ 则m＝(1，2)，n＝(1，)，所以m＋n＝(2，3)，‎ 所以|m＋n|＝.‎ ‎(2)由(1)知m＝(1，2)，n＝(1，)，所以cos β＝＝，即sin β＝＝，所以tan β＝，‎ 所以tan(α＋β)＝＝.‎