2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（天津卷）

2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（天津卷）

绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（文史类）‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ ‎·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．‎ ‎·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．‎ ‎·球的体积公式.其中表示球的半径.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）设集合，则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（2）设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为19，则输出的值为 ‎（A）0 （B）1（C）2（D）3‎ ‎（5）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（6）已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（7）设函数，其中.若且的最小正周期大于，则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（8）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎2．本卷共12小题，共110分。‎ 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .‎ ‎（10）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .‎ ‎（11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎（12）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .‎ ‎（13）若a，，，则的最小值为 .‎ ‎（14）在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 .‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的值.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：‎ 连续剧播放时长（分钟）‎ 广告播放时长（分钟）‎ 收视人次（万）‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.‎ ‎（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.‎ ‎（I）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（II）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 设，.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，‎ ‎（i）求证：在处的导数等于0；‎ ‎（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.‎ ‎（I）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.‎ ‎（i）求直线的斜率；‎ ‎（ii）求椭圆的方程.‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）答案 ‎（1）B （2）B （3）C （4）C ‎ ‎（5）D （6）C （7）A （8）A ‎（9）−2 （10）1 （11）‎ ‎（12） （13）4 （14）‎ ‎（15）（Ⅰ）解：由，及，得.‎ 由，及余弦定理，得.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.‎ 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，‎ ‎，故 ‎.‎ ‎16.（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：‎ ‎（Ⅱ）解：设总收视人次为万，则目标函数为.‎ 考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大.‎ 解方程组得点M的坐标为.‎ 所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.‎ ‎（17）本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.‎ ‎（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.‎ 所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.‎ ‎（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.‎ 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.‎ 由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.‎ 所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎18.（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.‎ 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.‎ 所以，的通项公式为，的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有 ‎，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎.‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎ ‎19.【解析】（I）由，可得 ‎，‎ 令，解得，或.由，得.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.‎ ‎（II）（i）因为，由题意知，‎ 所以，解得.‎ 所以，在处的导数等于0.‎ ‎（ii）因为，，由，可得.‎ 又因为，，故为的极大值点，由（I）知.‎ 另一方面，由于，故，‎ 由（I）知在内单调递增，在内单调递减，‎ 故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.‎ 由，得，.‎ 令，，所以，‎ 令，解得（舍去），或.‎ 因为，，，故的值域为.‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎（20）（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.‎ 所以，椭圆的离心率为.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.‎ 由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为.‎ 由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线FP的斜率为.‎ ‎（ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为.‎ 由（i）得直线FP的方程为，与椭圆方程联立消去，整理得，解得（舍去），或.因此可得点，进而可得，所以.由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.‎ 因为，所以，所以的面积为 ‎，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.‎ 所以，椭圆的方程为.‎