2020年高中数学新教材同步必修第一册 第1章 章末复习
章末复习
一、集合的综合运算
1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容．在进行集合的运算
时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或 Venn 图)是个好帮手，
能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．
2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例 1 已知集合 A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若(∁RA)∪B＝R，求 a 的取值范围；
(2)是否存在 a 使(∁RA)∪B＝R 且 A∩B＝∅？
解 (1)∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴∁RA＝{x|x<0 或 x>2}．
∵(∁RA)∪B＝R，
∴ a≤0，
a＋3≥2，
∴－1≤a≤0.
所以 a 的取值范围为{a|－1≤a≤0}．
(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R 时，
－1≤a≤0，而 2≤a＋3≤3，
∴A
⊆
B，这与 A∩B＝∅矛盾．
即这样的 a 不存在．
反思感悟 借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、
虚实不能标反．
跟踪训练 1 已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2
5”是“A⊆B”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 A
⊆
B
⇔
a>4，而 a>5
⇒
a>4，且 a>4
⇏
a>5，所以“a>5”是“A
⊆
B”的充分不必要条件．
(2)“不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2
答案 D
解析 “不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的充要条件为：“(－2)2－4m≤0”即
“m≥1”，
又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件，
即“不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”，
故选 D.
三、全称量词命题与存在量词命题
1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首
先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．
2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素
养．
例 3 (1) 命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( )
A．∃x∈R，x2－2x＋1≤0
B．∃x∈R，x2－2x＋1≥0
C．∃x∈R，x2－2x＋1<0
D．∀x∈R，x2－2x＋1<0
答案 C
解析 ∵命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题，
∴命题的否定为：∃x∈R，x2－2x＋1<0，
故选 C.
(2)若命题 p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0 是真命题，则实数 m 的取值范围是( )
A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1
答案 B
解析 命题 p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0 是真命题，则 m≠－(x2－2x)，
∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，
∴m>1.
∴实数 m 的取值范围是{m|m>1}．
故选 B.
反思感悟 全称量词命题、存在量词命题真假判断
(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合 M 中每一个 x
验证 p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出
一个反例即可．
(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合 M 中，找到一
个 x，使 p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假．
跟踪训练 3 (1)∃m，n∈Z，使得 m2＝n2＋2 019 的否定是( )
A．∀m，n∈Z，使得 m2＝n2＋2 019
B．∃m，n∈Z，使得 m2≠n2＋2 019
C．∀m，n∈Z，使得 m2≠n2＋2 019
D．以上都不对
答案 C
(2)设命题 p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若綈 p 为真，则实数 a 的取值范围是________．
答案 R
解析 綈 p：∃x∈R，x2＋ax＋2≥0 为真命题，
显然 a∈R.
1．设全集 U＝R，集合 A＝{x|－3－3}，∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}，故
选 D.
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0
B．∃x∈N,2x 为偶数
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
答案 C
解析 对 A，是全称量词命题，但不是真命题；故 A 不正确；对 B，是真命题，但不是全称
量词命题，故 B 不正确；对 C，是全称量词命题，也是真命题，故 C 正确；对 D，是真命题，
但不是全称量词命题，故 D 不正确，故选 C.
3．设集合 A＝{x|1
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