【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题09立体几何中的面积与体积学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题09立体几何中的面积与体积学案

专题九 立体几何中的面积与体积 ‎【空间几何体的三视图】‎ 光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，叫做几何体的侧视图；从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，叫做几何体的俯视图。几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。 ‎ ‎【组合体的表面积与体积】‎ 定义：‎ 组合体的表面积与体积主要通过计算组成几何体的简单几何体的表面积与体积来求解。‎ 组合体的表面积和体积与球有关的组合体问题：‎ 一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或”、点。‎ ‎【求几何体的体积的几种常用方法】‎ ‎（1）分割求和法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积求和； （2）补形法：把不规则形体补成规则形体，不熟悉形体补成熟悉形体，便于计算其体积； 常见的补形方法：‎ ‎（3）等体积转化法：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积。‎ ‎【空间中直线与直线的位置关系】‎ 异面直线：‎ 不同在任何一个平面内的两条直线。‎ 空间中直线与直线的位置关系有且只有三种 ：‎ 异面直线的判定：‎ 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。‎ ‎【空间中直线与平面的位置关系】‎ 空间中直线与平面的位置关系有且只有三种：‎ ‎1、直线在平面内——有无数个公共点；  2、直线与平面相交——有且只有一个公共点；  3、直线与平面平行——没有公共点。 ‎ ‎【平面与平面的位置关系】‎ 平面与平面的位置关系有且只有两种：‎ ‎1、两个平面平行——没有公共点；  2、两个平面相交——有一条公共直线。 ‎ ‎【2017年高考全国Ⅰ卷，文18】‎ 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P−ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ 试题解析：（1）由已知，得，．‎ 由于，故，从而平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知，平面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得，．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故．‎ 从而，，．‎ 可得四棱锥的侧面积为．‎ ‎【考点】空间位置关系证明，空间几何体体积、侧（表）面积计算 ‎【点拨】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．‎ 答题思路 ‎【命题意图】‎ 立体几何问题主要考查两方面的内容，一是以三视图为载体,通过还原几何体考查空间想象能力,通过体积和表面积的运算考查运算求解能力；二是以几何体为载体，考查空间的平行关系与垂直关系、几何体体积与面积的计算，综合考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力.‎ ‎【命题规律】高考对立体几何的考查较为稳定，两小一大，其中一道小题往往以对三视图的考查为主，已知三视图，考查还原为立体图形的直观图并能计算表面积或体积，多与球（外接球或内切球）相关；另一小题多以几何体为载体，考查几何元素的平行、垂直或角的（函数值）计算.大题则是一道“证算并重”题，以三棱锥、四棱锥为载体，考查几何元素的平行、垂直关系（特别是垂直关系）等，考查几何体体积、侧面积的计算.2015年与2017年第一问均是考查平面与平面的垂直关系证明，第二问均是在体积已知的条件下，计算几何体的侧面积.‎ ‎【答题模板】‎ 解答“证算并重”问题的基本步骤：‎ 第一步：根据题目条件，完成平行或垂直关系的证明．‎ 第二步：分析几何体特征，明确面积或体积计算所需几何元素.‎ 第三步：利用直接法、转换法、补形法或分割法，计算面积或体积．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．三视图 ‎(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即 “长对正，高平齐，宽相等”．‎ ‎(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．‎ ‎(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.‎ ‎2．“切”“接”问题处理的注意事项 ‎(1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．‎ ‎(2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．‎ ‎3.几何体的表面积2种求法 ‎(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．‎ ‎(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．‎ ‎4.空间几何体体积问题的三种类型解题策略 ‎（1）求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；‎ ‎（2）求组合体的体积.常用转换法、分割法、补形法等进行求解；‎ ‎（3）求以三视图为背景的几何体体积.先得到几何体的直观图，然后根据条件求解.‎ ‎5.判定平面与平面平行的5种方法 ‎(1)利用定义；‎ ‎(2)利用面面平行的判定定理；‎ ‎(3)利用面面平行的判定定理的推论；‎ ‎(4)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ ⇒α∥γ)；‎ ‎(5)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β ⇒α∥β)．‎ ‎6.面面垂直判定的两种方法与一个转化 ‎(1)两种方法：‎ ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．‎ ‎(2)一个转化：‎ 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．‎ 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．‎ ‎1. 【2017年高考全国Ⅱ卷，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 ‎【考点】球的表面积 ‎【点拨】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎2.【2017年高考北京卷，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A）60 （B）30‎ ‎（C）20 （D）10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：该几何体是三棱锥，如图：‎ 图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.‎ ‎【考点】1.三视图；2.几何体的体积.‎ ‎【点拨】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:‎ 如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.‎ ‎3. 【2017年高考山东卷，文13】由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长宽高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以 ‎.‎ ‎【考点】三视图及几何体体积的计算.‎ ‎【点拨】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.‎ ‎(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整体；③综合起来,定整体．‎ ‎4. 【2017年高考江苏卷，文6】如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设球半径为，则．故答案为．‎ ‎【考点】圆柱体积 ‎【点拨】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进Ziyuanku.com行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎（11）【2017年高考天津卷，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】球与几何体的组合体 ‎【点拨】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单. ‎ ‎5．【2017黑龙江哈师大附中三模】已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足， ，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 因为，所以外接圆的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，由题设最大体积对应的高为，故，即，解之得，所以外接球的体积是，应选答案D。‎ ‎6.【2017福建4月质检】已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知：可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设，则，故,得球的体积为： ‎ ‎7.【2017四川资阳4月模拟】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎8．【2017陕西汉中二模】如图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位： ）等于 ( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 从题设中提供的三视图中的图形信息及数据信息可知该几何体是底面是边长分别为的直角三角形的三棱锥，如图，设高为，由题设可得，所以，由题意该几何体的外接球的直径即是长方体的对角线，即，则其表面积，应选答案C。‎ ‎9.【2017河北唐山二模】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎10.【2017安徽阜阳二模】已知是球面上不共面的四点， ，平面平面，则此球的体积为_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】解：如图所示，设球心坐标为 ，连结 ，交 于点 ，连结 ，‎ 由题意可知： ，设球的半径 ，由题意得方程：‎ ‎ ，解得： ，此球的体积为： ‎ ‎11.【2017江西九江三模】如图所示，等腰梯形 的底角 等于，直角梯形 所在的平面垂直于平面， ，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若三棱锥 的外接球的体积为，求三棱锥 的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎ (2)由（1）得，所以三棱锥的外接球的球心为线段 ‎ 的中点 ‎，解得， .‎ ‎12.【2017四川泸州四诊】如图，平面平面，四边形是菱形， .‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若点为的中点， ，且，求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）四面体的体积为.‎ ‎ (2)因为点为的中点，所以点到平面的距离是到平面的距离的2倍，所以四面体的体积， ，由（1）知平面.‎ 所以.‎ 所以四面体的体积为.‎ ‎13.【2017福建三明5月质检】如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，， ， ， 为的中点，点在线段上． ‎ ‎（Ⅰ）求证： ； ‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积等于四棱锥体积的时，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）因为为的中点， ‎ ‎． ‎ 设到平面的距离为 ‎ ‎ 所以 ‎14.【2017重庆二诊】如图，矩形中， ， ， 为的中点，将沿折到的位置， ．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） . ‎ 试题解析：（Ⅰ）由题知，在矩形中， ， ，又，‎ 面，面面； ‎ ‎（Ⅱ）. ‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅰ卷，文18】如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.‎ ‎（Ⅰ）证明：G是AB的中点；‎ ‎（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：证明由可得是的中点. （Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 在等腰直角三角形中，可得四面体的体积 试题解析：（I）因为在平面内的正投影为，所以 因为在平面内的正投影为，所以 所以平面，故 又由已知可得，，从而是的中点. ‎ 由（I）知，是的中点，所以在上，故 由题设可得平面，平面，所以，因此 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 ‎ 在等腰直角三角形中，可得 所以四面体的体积 ‎【考点】线面位置关系及几何体体积的计算 ‎【点拨】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅱ卷，文7】 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.‎ ‎【考点】 三视图，空间几何体的体积 ‎【点拨】以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．‎ ‎17.【2016年高考全国Ⅲ卷，文10】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知该几何体是斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选B．‎ ‎【考点】空间几何体的三视图及表面积 ‎【点拨】对于求解多面体的表面积及体积的题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．‎ ‎18.【2016年高考北京卷，文10】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：四棱柱的高为1，底面为等腰梯形，面积为，因此体积为 ‎【考点】三视图 ‎【点拨】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.‎ ‎19．【2016年高考上海卷，文19】将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.‎ ‎（1）求圆柱的体积与侧面积；‎ ‎（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. ‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．由此计算即得.‎ ‎（2）由得或其补角为与所成的角，再结合题设条件计算即得．‎ 由长为，可知，‎ 由长为，可知，，‎ 所以异面直线与所成的角的大小为．‎ ‎【考点】几何体的体积、空间角 ‎【点拨】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此类试题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.‎