【数学】2019届一轮复习人教B版解析几何中的定值、定点和定线问题学案

【数学】2019届一轮复习人教B版解析几何中的定值、定点和定线问题学案

解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，该类问题知识综合性强,方法灵活,对运算能力和推理能力要求较高,因而成为了高中数学学习的重点和难点.主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定值、定点、定线问题，试题难度较大．定点、定值、定线问题都是探求"变中有不变的量".因此要用全面的、联系的、发展的观点看待并处理此类问题.从整体上把握问题给出的综合信息,并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系,恰当适时地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 在解答这类问题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线，真正体现了考试大纲中“重知识，更重能力”的指导思想．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用． ‎ ‎1解析几何中的定值问题 在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效.‎ 例1【百校联盟2018届一月联考】已知点，过点且与轴垂直的直线为， 轴，交于点，直线垂直平分，交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点，且（为常数），直线与平行，且与曲线相切，切点为，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.‎ 思路分析 （1）根据抛物线的定义可得点M的轨迹，根据待定系数法可得轨迹方程．（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立消元后可得中点．同样设出切线方程，与抛物线方程联立消元后可得切点的坐标为，故得 轴．于是，由此通过计算可证得的面积为定值．‎ ‎∴，∴ ，∴切点的横坐标为，∴ 点．‎ ‎∴ 轴．∵，∴，‎ ‎∴．∴，∵为常数，‎ ‎∴的面积为定值． ‎ 点评 圆锥曲线中求定值问题常见的方法(1)‎ 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)由题意得到目标函数，直接通过推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到目标函数的取值与变量无关，从而证得定值．定值问题通常是通过设参数或取特殊值 确定 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现. 定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算. ‎ ‎2解析几何中的定点问题 定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题，一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出 ，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出 ，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用 联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系 解决.定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明．难度较大．定点问题是在变化中所表现出 的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．解析几何中的“定点”问题一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动轨迹等)中,寻求某一个不变量——定点，由于这种问题涉及面广、综合性强.‎ 例2【河南省中原名校2018届第五次联考】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与直线垂直，椭圆经过点． 学 ]‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明 直线恒过定点．‎ 思路分析 （1）根据直线与直线垂直可得，从而得到，再由点在椭圆上可求得，即可得椭圆的方程．（2）当直线的斜率都存在时，设的方程为，与椭圆方程联立消元后根据根据系数的关系可得点的坐标，同理可得点坐标，从而可得直线的方程，通过此方程可得直线过定点．然后再验证当直线的斜率不存在时也过该定点．‎ 由中点坐标公式得，用代替点M坐标中的可得．所以直线的方程为，‎ 令，得，所以直线经过定点．②当直线或的斜率不存在时，可知直线为轴，也经过定点．综上所述，直线经过定点． ‎ 点评 ‎ 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式,属难题；解决圆锥曲线定点方法一般有两种 （1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 定点定值问题的实质为等式恒成立，方法为待定系数法.定点问题，关键在于寻找题中的已知量、未知量间的平行、垂直关系或是方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系的问题 解决.定值问题，关键在于选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再用韦达定理等方法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果. 圆锥曲线中的定点问题是高考中的常考题型，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是数形结合思想、分类讨论思想的考查．求解的方法有以下两种 ①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． ‎ ‎3解析几何中的定线问题 定线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．‎ 例3在平面直角坐标系中,过点的直线与抛物线相交于两点,.[ 学 ]‎ ‎（1）求证 为定值；‎ ‎（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由. ‎ 思路分析 （Ⅰ）设出过点的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数，由根与系数关系可得为定值；（Ⅱ）先设存在直线 满足条件，求出以为直径的圆的圆心坐标和半径，利用勾股定理求出弦长表达式，由表达式可知，当时，弦长为定值.‎ 点评 本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种 （1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.‎ 综上所述 解决圆锥曲线问题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的. 定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是 先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．解析几何中的定值问题是指某些几何量、线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.求定值问题常见的方法有两种 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 证明直线过定点的解题步骤可以归纳为 ‎ 一选、二求、三定点.具体操作程序如下  一选 选择参变量.需要证明过定点的直线往往会随某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（当动直线牵涉的量比较多时，也可以选择多个参变量）. 二求 求出动直线的方程.求出只含上述参变量的动直线方程，并由其他辅助条件减少参变量的个数，最终使动直线的方程的系数中只含有一个参变量. 三定点 求出定点的坐标.不妨设动直线的方程中含有变量 ，把直线方程写成 的形式，然后解关于 的方程组 得到定点的坐标. 解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性． ‎