【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版10-2排列与组合学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版10-2排列与组合学案

‎§10.2　排列与组合 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．‎ ‎2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.‎ 以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.‎ ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 并成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ‎ ‎＝ ‎(2)C＝＝ ‎＝ 性质 ‎(3)0！＝1；A＝n！‎ ‎(4)C＝C；C＝C＋C__‎ 概念方法微思考 ‎1．排列问题和组合问题的区别是什么？‎ 提示　元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．‎ ‎2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？‎ 提示　(1)排列数与组合数之间的联系为CA＝A.‎ ‎(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．‎ 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．‎ ‎3．解排列组合综合应用问题的思路有哪些？‎ 提示　解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)‎ ‎(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　×　)‎ ‎(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　)‎ ‎(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　)‎ ‎(5)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　×　)‎ ‎(6)kC＝nC.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ 答案　D 解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.‎ ‎3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)‎ A．8 B．24 C．48 D．120‎ 答案　C 解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，‎ 共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 答案　B 解析　第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；‎ 第二类：乙在最左端，甲不在最右端，‎ 有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．‎ 所以共有120＋96＝216(种)排法．‎ ‎5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为(　　)‎ A．180 B．240 C．540 D．630‎ 答案　C 解析　依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有·A＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有CCCA＝360(种)；③每个国家各派2名，有·A＝90(种)，‎ 故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.‎ ‎6．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)‎ 答案　45‎ 解析　设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种).‎ 题型一　排列问题 ‎1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有(　　)‎ A．96个 B．78个 C．72个 D．64个 答案　B 解析　根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；当首位是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B.‎ ‎2．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)‎ 答案　1 560‎ 解析　由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560(条)留言．‎ ‎3．6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．‎ 答案　480‎ 解析　方法一　(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：‎ 第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A种站法；‎ 第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A种站法．‎ 由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法．‎ 方法二　(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：‎ 第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；‎ 第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A种站法．‎ 由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法．‎ 思维升华 排列应用问题的分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．‎ 题型二　组合问题 例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？‎ ‎(1)男运动员3名，女运动员2名；‎ ‎(2)至少有1名女运动员；‎ ‎(3)队长中至少有1人参加；‎ ‎(4)既要有队长，又要有女运动员．‎ 解　(1)分两步完成：‎ 第一步，选3名男运动员，有C种选法；‎ 第二步，选2名女运动员，有C种选法．由分步乘法计数原理可得，共有C·C＝120(种)选法．‎ ‎(2)方法一　“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：‎ ‎1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．‎ 由分类加法计数原理可得总选法共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．‎ 方法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．‎ 从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．‎ ‎(3)方法一　(直接法)可分类求解：‎ ‎“只有男队长”的选法种数为C；‎ ‎“只有女队长”的选法种数为C；‎ ‎“男、女队长都入选”的选法种数为C，‎ 所以共有2C＋C＝196(种)选法．‎ 方法二　(间接法)从10人中任选5人有C种选法，‎ 其中不选队长的方法有C种．所以“至少有1名队长”的选法有C－C＝196(种)．‎ ‎(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(C－C)种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．‎ 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ 跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ 解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种取法，‎ ‎∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．‎ ‎(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种取法．‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．‎ ‎(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种取法．‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．‎ ‎(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．‎ ‎(5)方法一　(间接法)‎ 选取3种的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090(种)．‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．‎ 方法二　(直接法)‎ 选取3种真货有C种，选取2种真货有CC种，选取1种真货有CC种，‎ 因此共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种)．‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．‎ 题型三　排列与组合的综合问题 命题点1　相邻问题 例2 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为(　　)‎ A．2 B．9 C．72 D．36‎ 答案　C 解析　可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A种排法；第二步，3名女生排在一起有A种排法，3名男生排在一起有A种排法，故排法种数为AAA＝72.‎ 命题点2　相间问题 例3 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A．72 B．120 C．144 D．168‎ 答案　B 解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．‎ 命题点3　特殊元素(位置)问题 例4 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 答案　B 解析　根据题意，分两种情况讨论：‎ ‎①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式；‎ ‎②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，‎ 故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.‎ 思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则 ‎①按元素(位置)的性质进行分类；‎ ‎②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．‎ 跟踪训练2 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种．‎ 答案　36‎ 解析　将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种)．‎ ‎(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，‎ 要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)‎ 答案　660‎ 解析　方法一　只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有CCA＝480(种)选法．‎ 有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有CA＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．‎ 方法二　不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，‎ 而没有女生的选法有AC种，‎ 故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．‎ ‎1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有(　　)‎ A．360种 B．480种 C．600种 D．720种 答案　C 解析　从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有CA＝600种，故选C.‎ ‎2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有(　　)‎ A．240种 B．192种 C．96种 D．48种 答案　B 解析　当丙和乙在甲的左侧时，共有ACAA＝96种排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．‎ ‎3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)‎ A．16 B．18 C．24 D．32‎ 答案　C 解析　将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．‎ ‎4．(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 则不同的安排方式共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 答案　D 解析　由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．‎ ‎5．(2018·大连质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法(　　)‎ A．A种 B．A种 C．AA种 D．CCAA种 答案　D 解析　红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA种摆放方法．‎ ‎6．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．48 C．60 D．72‎ 答案　D 解析　由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种选法，再将剩下的4个数字排列有A种排法，则满足条件的五位数有C·A＝72(个)．故选D.‎ ‎7．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．(用数字作答)‎ 答案　11‎ 解析　把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种)．‎ ‎8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)‎ 答案　60‎ 解析　分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；‎ 第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有CA种分法．‎ 总获奖情况共有A＋CA＝60(种)．‎ ‎9．(2018·抚顺模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，‎ 且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)‎ 答案　120‎ 解析　先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有CA＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有CA＝10(种)，故不同的发言顺序共有12×10＝120(种)．‎ ‎10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个．‎ 答案　240‎ 解析　由题意知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，有60×4＝240(个)．‎ ‎11．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．‎ 答案　150‎ 解析　标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C＋＝25(种)分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25·A＝150(种)放法．‎ ‎12．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)‎ 答案　114‎ 解析　5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有·A＝90(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，‎ 故有90－18＝72(种)，‎ 根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．‎ ‎13．(2018·呼和浩特质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为(　　)‎ A．120 B．240 C．360 D．480‎ 答案　C 解析　前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有CC 种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A种方法；若相邻，有CA种，故共有CC(A＋CA)＝360(种)，故选C.‎ ‎14．设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？‎ 解　a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c∈{1,2,3，…，9}．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1＝C＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b

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