高中数学黄金100题系列第75题抛物线中的基本问题理

高中数学黄金100题系列第75题抛物线中的基本问题理

第 75 题 抛物线中的基本问题 I．题源探究·黄金母题 【例 1】如图，直线 2y x  抛物线 2 2y x 相交于 A ，B 两 点， O 为抛物线的顶点，求证：OA OB ． 【解析】设点 A ， B 的坐标分别为   1 1 2 2, , ,x y x y ． 把 2y x  代入 2 2y x 中，得 22 2x x  ， 化简得 2 6 4 0x x   ，解得 1 2 1 2 3 5 , 3 5 , 1 5 , 1 5 , x x y y              1 5 1 5 1 5 1 5, , 1 3 5 3 5 3 5 3 5OA OB OA OBk k k k               ，  OA OB ． 精彩解读 【试题来源】人教 A 版选修 2-1P73 习题 2．4A 组 T6． 【母题评析】本题考查直线与抛物线的位置 关系，考查考生的分析问题解决问题的能 力． 【思路方法】结合一元二次方程韦达定理、 两点斜率公式、两直线垂直位置关系的判定 等解决问题． II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考新课标 II】已知 F 是抛物线 C: 2 8y x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN  ． 【答案】6 【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的 准线与 x 轴交于点 'F ，做 MB l 与点 B ， NA l 与点 A ， 由 抛 物 线 的 解 析 式 可 得 准 线 方 程 为 2x   ， 则 2, ' 4AN FF  ， 在 直 角 梯 形 'ANFF 中 ， 中 位 线 ' 32 AN FFBM   ，由抛物线的定义有： 3MF MB  ， 结 合 题 意 ， 有 3MN MF  ， 线 段 FN 的 长 度 ： 【命题意图】这类题主要考查抛物线的定 义、标准方程及其简单几何性质等． 【考试方向】高考对这部分的考查主要集中 在以下几个方面：（1）根据抛物线的定义 求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程 等（选择、填空，解答题第一问，常与抛物 线性质、其它圆锥曲线和直线等 综合考察）； （2）抛物线性质的初步运用（选择、填空、 解答题第一问）；（3）求抛物线中距离或 者面积等；（4）求直线与抛物线相交时弦 长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确 定抛物线中的弦长、式子的定值问题，确定 与抛物线有关的曲线经过的定点问题（解答 题第二问）；（6）求抛物线中的弦长（或 其它量）的最值或者范围（解答题第二问）． 3 3 6FN FM NM     ． 【例 2】【2017 高考北京卷】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1， 1）．过点（0， 1 2 ）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M， N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其 中 O 为原点． （Ⅰ）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段 BM 的中点． 【答案】（Ⅰ）方程为 2y x ，抛物线 C 的焦点坐标为（ 1 4 ， 0），准线方程为 1 4x   ；（Ⅱ）详见解析． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）代入点 P 求得抛物线的方程，根据方程表 示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线 l 的方程为 1 2y kx  （ 0k  ），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线 ON 的方程为 2 2 yy xx  ，联立求得点 B 的坐标 2 1 1 2 ( , )y yx x ，证明 1 2 1 1 2 2 0y yy xx    ． 试题解析：（Ⅰ）由抛物线 C： 2 2y px 过点 P（1，1），得 1 2p  ．所以抛物线 C 的方程为 2y x ． 抛物线 C 的焦点坐标为（ 1 4 ，0），准线方程为 1 4x   ． （Ⅱ）由题意，设直线 l 的方程为 1 2y kx  （ 0k  ），l 与 【难点中心】 1．抛物线的定义是解决抛物线问题的基础， 它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距 离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量 转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准 线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定 义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半 径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线 的定义转化为点到准线的距离，这样就可以 使问题简单化． 2．涉及直线与抛物线的位置关系的问题， 只要联立直线与抛物线的方程，借助根与系 数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等 量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不 一定要把结果及时求出来，可能需要整体代 换到后面的计算中去，从而减少计算量．等 于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处 理． 抛物线 C 的交点为 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ． 由 2 1 2y kx y x      ，得 2 24 (4 4) 1 0k x k x    ． 则 1 2 2 1 kx x k   ， 1 2 2 1 4x x k  ．因为点 P 的坐标为（1，1）， 所以直线 OP 的方程为 y x ，点 A 的坐标为 1 1( , )x y ． 直线 ON 的方程为 2 2 yy xx  ，点 B 的坐标为 2 1 1 2 ( , )y yx x ． 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22y y y y y y x xy xx x     1 2 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) 22 2kx x kx x x x x      1 2 2 1 2 1(2 2) ( )2k x x x x x     2 2 2 1 1(2 2) 4 2 kk k k x     0 ， 2 1 1 1 2 2y yy xx    ．故 A 为线段 BM 的中点． 【例 3】【2017 高考浙江卷】如图，已知抛物线 2x y ，点 A 1 1( )2 4  ， ， 3 9( )2 4B ， ， 抛 物 线 上 的 点 )2 3 2 1)(,(  xyxP ．过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求 |||| PQPA  的最大值． 【答案】（Ⅰ） )1,1( ；（Ⅱ） 27 16 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得 AP 的斜率为 2 1x ， 由 1 3 2 2x   ，得 AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线 AP 与 BQ 的方程，得 Q 的横坐标，进而表达 || PA 与 || PQ 的长度， 通过函数 3)1)(1()(  kkkf 求解 |||| PQPA  的最大值． 试题解析： （Ⅰ）设直线 AP 的斜率为 k，则 2 1 2 1 4 12     x x x k ，∵ 1 3 2 2x   ，∴直线 AP 斜率的取值范围是 )1,1( ． （Ⅱ）联立直线 AP 与 BQ 的方程 1 1 0,2 4 9 3 0,4 2 kx y k x ky k           解 得 点 Q 的 横 坐 标 是 )1(2 34 2 2   k kkxQ ， 因 为 |PA|= 2 11 ( )2k x  = )1(1 2  kk |PQ|= 1 )1)(1()(1 2 2 2   k kkxxk Q ， 所 以 |PA||PQ|= 3)1)(1(  kk 令 3)1)(1()(  kkkf ，因为 2)1)(24()('  kkkf ， 所以 f(k)在区间 )2 1,1( 上单调递增， )1,2 1( 上单调递减，因 此当 k= 1 2 时， |||| PQPA  取得最大值 27 16 ． III．理论基础·解题原理 考点一 抛物线的定义及其应用 平面内与一个定点 F 和一条直线l（l 不经过点 F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物 线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 考点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程  2 2 0y px p   2 2 0y px p    2 2 0x py p   2 2 0x py p   图 形 范 围 0 ,x y R 0 ,x y R , 0x y R , 0x y R 顶 点  0 , 0 对称轴 x 轴 y 轴 焦 点 , 02 pF      , 02 pF     0, 2 pF      0 , 2 pF     准线方程 2 px   2 px  2 py   2 py  离心率 1e  焦半径（ 0, 0( )M x y ） 02 pMF x  02 pMF x  02 pMF y  02 pMF y  通 径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 2HH p  焦点弦长公式  A BAB p x x    A BAB p x x    A BAB p y y    A BAB p y y   参数 p 的几何意义 参数 p 表示焦点到准线的距离， p 越大，开口越阔 考点三 焦点弦问题 设 AB 为抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点弦， 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y ，直线 AB 的倾斜角为 ，则 （1） 2 2 1 2 1 2,4 px x y y p   ；（2） 2 2 sin pAB  ；（3）以 AB 为直径的圆与准线相切； （4）焦点 F 对 A B、 在准线上射影的张角为 2  ；（5） 1 1 2 | | | |FA FB p   ． 考点四 直线与抛物线位置关系 1．直线与抛物线位置关系的判定方法 设直线l ： 0Ax By C   ，抛物线C ： 2 2y px ，联立方程组 2 0, 2 Ax By C y px      ，消去 y （或 x ）得到 一个关于 x （或 y ）的方程，若是一次方程，方程有一个解，直线与抛物线交于一点；若是一元二次方程： 当 0△ 时，方程有两个不同的实数解，直线与抛物线有两个公共点，直线与抛物线相交； 当 0△ 时，方程有两个相同的实数解，直线与抛物线有一个公共点，直线与抛物线相切； 当 0△ 时，方程没有实数解，直线与抛物线没有公共点． 2．抛物线的弦长问题 斜率为 k 的直线l 与抛物线C 交于    1 1 2 2, , ,A x y A x y 两个不同的点，则弦长    2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 11 1AB x x y y k x x y yk           ． 当直线l 的斜率不存在时，可直接求得直线与抛物线的交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据抛物线的定义求抛物线的标准方程、焦点坐 标、准线方程等（选择、填空，解答题第一问，常与抛物线性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2） 抛物线性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求抛物线中距离或者面积等；（4）求直线 与抛物线相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定抛物线中的弦长、式子的定值问题，确定与 抛物线有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求抛物线中的弦长（或其它量）的最值或者范 围（解答题第二问）． 【技能方法】 1．利用抛物线的定义可以解决以下问题： （1）轨迹问题：用抛物线的定义可以判断动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． （2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题 中的应用，体现了等价转化的思想． 2．抛物线的标准方程及性质是高考热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难 度．高考对该内容的考查主要有以下两个命题角度：（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线性质的研究． 【易错指导】 1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定 点且与定直线垂直的直线． 2．对于抛物线标准方程中参数 p，易忽视只有 p＞0 才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否 则无几何意义． 3．当直线与抛物线只有一个交点时，直线与抛物线的位置关系可以相切，也可以相交（此时该直线与 抛物线的对称轴平行）． V．举一反三·触类旁通 考向一 抛物线的定义与标准方程 【例 1】（1）已知 F 是抛物线 C: 2 8y x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN  ； （2）已知抛物线 2 4y x ，过焦点 F 的直线与抛物线交于 ,A B 两点，过 ,A B 分别作 y 轴的垂线，垂 足分别为 ,C D ，则 AC BD 的最小值为__________． 在直角梯形 ANFF 中，中位线 32 AN FFBM   ，由抛物线的定义有： 3MF MB  ，结合 题意，有 3MN MF  ，故线段 FN 的长度： 3 3 6FN FM NM     ． （2）由 2 4y x ，知 2p  ，焦点  1, 0F ，准线 1x   ． 根据抛物线的定义， 1, 1AF AC BF BD    ．因此 2 2AC BD AF BF AB      ． 所以 AC BD 取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值，又 2 4AB p  为最小值． 故 AC BD 的最小值为 4－2＝2． 【跟踪练习】 1．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  过点 1 , 22A     ，其准线与 x 轴交于点 B ，直线 AB 与抛物线的另一 个交点为 M ，若 MB AB  ，则实数  为（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 D．3 【答案】C 2．设经过抛物线 C 的焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，那么抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆的 位置关系为 （ ） A．相离 B．相切 C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心 【答案】B 考向二 抛物线的几何性质 【例 2】（1）（2017 河南联考）抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点， 且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为 4 3，则抛物线的方程为 （ ） A． 2 6y x B． 2 8y x C． 2 16y x D． 2 15 2y x （2）动直线 l 的倾斜角为 60°，且与抛物线 x2＝2py(p>0)交于 A，B 两点，若 A，B 两点的横坐标之和 为 3，则抛物线的方程为________． 【答案】（1）B；（2） 2 3x y ． 【解析】（1）设  , , , 4 , 22 pM x y OF MF OF MF p    ，由抛物线定义知 22 px p  ， 3 , 32x p y p     ，又△MFO 的面积为 14 3 , 3 4 32 2 p p   ，解得 4p  （ 4p   舍去）．所 以抛物线的方程为 2 8y x ． （2）设直线 l 的方程为 3y x b  ，联立 2 3 , 2 y x b x py     ，消去 y ，得  2 2 3x p x b  ，即 2 32 3 2 0 , 2 3 3 , 2A Bx px pb x x p p         ，则抛物线的方程为 2 3x y ． 【例 3】（1）若抛物线 2 2y x 上一点 M 到它的焦点 F 的距离为 3 2 ，O 为坐标原点，则 MFO△ 的面积 为 （ ） A． 2 2 B． 2 4 C． 1 2 D． 1 4 （2）若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆 2 2 19 5 x y  的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______． 【答案】（1）B；（2） 2x   ． （2）由椭圆 2 2 19 5 x y  ，知 2 2 23 , 5 , 4 , 2a b c a b c        ． 因此椭圆的右焦点为 2 0， ，又抛物线 2 2y px 的焦点为 02 p     ， ． 依题意，得 22 p  ，于是抛物线的准线 2x   ． 反思提炼： 1．求抛物线的标准方程的方法： （1）求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即可． （2）因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物 线的焦点坐标及准线方程． 3．确定及应用抛物线性质的技巧 （1）利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性 质时，关键是将抛物线方程化成标准方程； （2）要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 【跟踪练习】 1．已知过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 的直线与抛物线交于 A ，B 两点，且 3AF FB  ，抛物线 的准线l 与 x 轴交于点C ， 1AA l 于点 1A ，若四边形 1AACF 的面积为12 3 ，则准线 l 的方程为( ) A． 2x   B． 2 2x   C． 2x   D． 1x   【答案】A 2．点  5 , 3M 到抛物线 2y ax 的准线的距离为 6，那么抛物线的标准方程是（ ） A． 2 1 12x y B． 2 1 12x y 或 2 1 36x y  C． 2 1 36x y  D． 2 12x y 或 2 36x y  【答案】D． 【解析】将 2y ax 化为 2 1x ya  ． 当 0a  时，准线 1 4y a   ，则 1 13 6 ,4 12aa     ． 当 0a  时，准线 1 4y a   ，则 1 13 6 ,4 36aa      ． ∴抛物线方程为 2 12x y 或 2 36x y  ． 3．设 F 为抛物线 C： 2 4y x 的焦点，曲线  0ky kx   与 C 交于点 P， PF x 轴，则 k＝（ ） A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．2 【答案】D 【解析】由抛物线 C： 2 4y x 知 2p  ，∴焦点  1, 0F ．又曲线  0ky kx   与曲线 C 交于点 P， 且 PF x 轴，  1, 2P ，将点  1, 2P 代入 ky x  ，得 2k  ． 考向三 直线与抛物线位置关系 【例 4】【2018 辽宁葫芦岛期中】已知直线 : 3 0l x y a   与抛物线 2 4x y 交于 ,P Q 两点，过 ,P Q 分别作l 的垂线与 y 轴交于 ,M N 两点，若 16 3 3MN  ，则 a  （ ） A． 1 B．1 C． 2 D． 2 【答案】D 设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，联立 2 3 0{ 4 x y a x y     ，得 2 4 3 4 0x x a   ，由 0  得 3a  ，∴ 1 2 4 3x x  ， 1 2 4x x a ，∴  2 1 2 1 21 3 4 8PQ x x x x      ，即 48 16 16a  ，∴ 2a  ，故 选 D 【例 5】已知抛物线C ： 2 2y px 过点  1,1P ．过点 10 , 2      作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M， N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点． （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段 BM 的中点． 【答案】（1）抛物线 C 的焦点坐标为（ 1 4 ，0），准线方程为 1 4x   ；（2）详见解析． 【解】（1）由抛物线C ： 2 2y px 过点  1,1P ，得 1 2p  ，所以抛物线 C 的方程为 2y x ． 抛物线 C 的焦点坐标为（ 1 4 ，0），准线方程为 1 4x   ． （2）证明：由题意，设直线 l 的方程为 1 2y kx  （ 0k  ），l 与抛物线 C 的交点为 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ． 由 2 1 2y kx y x      ，得 2 24 (4 4) 1 0k x k x    ，则 1 2 2 1 kx x k   ， 1 2 2 1 4x x k  ． 因为点 P 的坐标为 1,1 ，所以直线 OP 的方程为 y x ，点 A 的坐标为  1 1,x x ． 直线 ON 的方程为 2 2 yy xx  ，点 B 的坐标为 1 2 1 2 , x yx x       ． 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 22x y x y x y x xy xx x     1 2 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) 22 2kx x kx x x x x      1 2 2 1 2 1(2 2) ( )2k x x x x x     2 2 1 2 1 1 2 2 1 1(2 2) 4 2 0 , 2 kk x yk k y xx x         ，故 A 为线段 BM 的中点． 【跟踪练习】 1．【2018 四川南充一诊】已知抛物线 2: 4C x y ，直线 : 1l y   ， ,PA PB 为抛物线C 的两条切线， 切点分别为 ,A B ，则“点 P 在l 上”是“ PA PB ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C (1)因为 P 在 l 上，所以 1 2 4 x x =−1，所以 1 2 1 2 1 1 12 2 4PA PB x xk k x x      ，所以 PA⊥PB；∴甲是乙的 充分条件；(2)若 PA⊥PB， 1 2 1 2 1 1 12 2 4PA PB x xk k x x      ，即 1py   ，从而点 P 在 l 上．∴甲是乙的 必要条件，故选 C． 2．设点 P (-2，1)在抛物线 x2=2py(p>0)上，且到圆 C:x2+(y+b)2=1 上点的最小距离为 1． (1)求 p，b 的值； (2)过点 P 作斜率互为相反数的直线，分别与抛物线交于两点 A，B，若直线 AB 与圆 C 相交于不同两点 M，N，当△PMN 面积取最大值时，求直线 AB 的方程． 把 y=x+t 代入圆 C:x2+(y-1)2=1 中，消去 y 得 2x2+2(t-1)x+t2-2t=0，因为直线与圆相交于不同两点，所 以 1-

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