2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

第 2 课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ( 一 ) 　　　　　 必备知识 · 自主学习 导思 1. 两角和的余弦、两角和与差的正弦公式是怎样推导出来的？ 2. 应用两角和与差的正弦、余弦公式能解决怎样的问题？ 两角和的余弦、两角和与差的正弦公式 (1) 公式： (2) 本质：揭示两角和差的正弦、余弦值与两角的正弦、余弦值的关系 . (3) 应用：①化简求值；②给值求角 . 简记 符号 公式 使用 条件 C (α+β) cos(α+β)=__________________________ α ， β∈R S (α+β) sin(α+β)=__________________________ S (α-β) sin(α-β)=__________________________ cos αcos β-sin αsin β sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 　 【 思考 】 (1) 两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的？ 提示： 在两角差的余弦公式 cos( α - β )=cos α cos β +sin α sin β 中，只要用 - β 替换 β ，便可以得到两角和的余弦公式 . (2) 如何识记两角和与差的余弦公式？ 提示： 可简单记为“余余正正，符号反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反 . (3) 如何识记两角和与差的正弦公式？ 提示： 可简单记为“正余余正，符号同”，即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 存在 α ， β∈R ，使得 sin(α+β)=sin α+sin β 成立 . ( 　　 ) (2) 对于任意 α ， β∈R ， sin(α-β)=sin α-sin β 都不成立 . ( 　　 ) (3)sin 50°cos 20°+cos 50°sin 20°=sin 70°. ( 　　 ) 提示： (1)√. 当 α =30 ° ， β =0 ° 时， sin( α + β )=sin α +sin β . (2) × . 当 α =60 ° ， β =0 ° 时， sin( α - β )=sin α -sin β 成立 . (3)√. 因为 sin 50 ° cos 20 ° +cos 50 ° sin 20 ° =sin(50 ° +20 ° )= sin 70 ° ，故原式正确 . 2.cos 57°cos 3°-sin 57°sin 3° 的值为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B. C. D.cos 54° 【 解析 】 选 B. 原式 =cos(57 ° +3 ° )=cos 60 ° = . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 若 cos α =- ， α 是第三象限的角 ，则 sin =_______.  【 解析 】 因为 cos α =- ， α 是第三象限的角， 所以 sin α = ，所以 sin 答案： - 关键能力 · 合作学习 类型一　给角求值问题 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40° 的值为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 2. 的值是 ( 　　 ) 3. 若 θ 是第二象限角且 sin θ= ，则 cos(θ+60°)=_______.  　 【 解析 】 1. 选 D.cos 70 ° sin 50 ° -cos 200 ° sin 40 ° =cos 70 ° sin 50 ° -(-sin 70 ° )cos 50 ° =sin(50 ° +70 ° )=sin 120 ° = . 2. 选 A. 原式 = 3. 因为 θ 是第二象限角且 sin θ = ， 所以 cos θ =- 所以 cos( θ +60 ° )= cos θ - sin θ 答案： - 【 解题策略 】 解决给角求值问题的策略 　 (1) 对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形 . (2) 一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变用公式 . 【 补偿训练 】 (tan 10°- =_______.  　　 【 解析 】 原式 =(tan 10 ° -tan 60 ° ) 答案： -2 类型二　给值求角问题 ( 数学运算 ) 【 典例 】 已知 sin α= ， sin β= ，且 α 和 β 均为钝角，求 α+β 的值 . 【 解题策略 】 给值求角问题的解题策略 　 (1) 解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角 . (2) 选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等 . 　 【 跟踪训练 】 已知 α ， β 为锐角， cos α= ， sin(α+β)= ，则 β=_______.  【 解析 】 因为 α 为锐角，且 cos α = ， 所以 sin α = 又 α ， β 为锐角，所以 α + β ∈(0 ， π ). 又 sin( α + β )= 0 ， 所以 0< α + β < ， 0<2 α + β < π . 又因为 cos(2 α + β )= ，所以 0<2 α + β < . 所以 sin( α + β )= ， sin(2 α + β )= . 所以 cos α =cos =cos(2 α + β )·cos( α + β )+sin(2 α + β )·sin( α + β ) 【 补偿训练 】 若 且 0<α< <β< ，求 sin(α+β) 的值 . 【 解析 】 因为 0< α < < β < ， 所以 又 sin 所以 cos 所以 sin( α + β )=-cos 课堂检测 · 素养达标 1.sin 105° 的值为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 【 解析 】 选 D.sin 105 ° =sin(45 ° +60 ° )=sin 45 ° cos 60 ° +cos 45 ° sin 60 ° = 2. 化简 cos x- sin x 等于 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 化简： sin 21°cos 81°-cos 21°·sin 81° 等于 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 原式 =sin(21 ° -81 ° )=-sin 60 ° =- . 4. 已知 α 是锐角， sin α= ，则 cos 等于 _______.  【 解析 】 因为 α 是锐角， sin α = ，所以 cos α = ，所以 cos 答案：