【数学】2020届北京一轮复习通用版2-2函数的基本性质

【数学】2020届北京一轮复习通用版2-2函数的基本性质

‎2.2　函数的基本性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.函数的单调性及最值 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 ‎2018北京,13‎ 函数的单调性的判断与应用 命题的真假 ‎★★★‎ ‎2017北京,5‎ 指数函数的图象和性质 ‎2016北京文,10‎ 求函数的最值 ‎2016北京,5‎ ‎2016北京文,4‎ ‎2014北京文,2‎ 基本初等函数的单调性 ‎2.函数的奇偶性与周期性 ‎1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义 ‎2.了解函数周期性的含义 ‎2015北京文,3‎ 函数的奇偶性的判断 基本初等函数的性质 ‎★★★‎ ‎2013北京文,3‎ 函数的单调性 分析解读　　1.能够证明函数在给定区间上的单调性;求函数的单调区间;利用单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求参数的取值范围.2.函数奇偶性的判断及应用是高考常考的知识点,常与函数的单调性、周期性、对称性、最值综合考查.3.要强化函数性质的应用意识,熟练掌握利用性质求最值等相关问题.4.本节在高考中多以选择题、填空题的形式考查函数的奇偶性与周期性,5分左右,属于中低档题.与不等式、方程等结合,以解答题的形式考查函数的单调性,属于中档题,要注意借助数形结合的思想解题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　函数的单调性及最值 ‎1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为(　　)‎ A.y=x　　　　B.y=-x3　　　　C.y=log‎1‎‎2‎x　　　　D.y=x+‎‎1‎x 答案　B　‎ ‎2.已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈‎1‎‎2‎‎,2‎,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是　(　　)‎ A.[-5,0]　　　　B.(-∞,-5]∪[0,+∞)　　　　C.(-5,0)　　　　D.(-∞,-5)∪(0,+∞)‎ 答案　A　‎ 考点二　函数的奇偶性与周期性 ‎3.下列函数中为偶函数且在(0,+∞)上递减的是(　　)‎ A.y=(x-2)2　　　　B.y=ln|x|　　　　C.y=xcos x　　　　D.y=e-|x|‎ 答案　D　‎ ‎4.若函数f(x)定义域为(-∞,+∞),则“曲线y=f(x)过原点”是“f(x)为奇函数”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件　　　　C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎5.下列函数中为偶函数的是(　　)‎ A. f(x)=2x-‎1‎‎2‎x　　　　B. f(x)=xsin x　　　　C. f(x)=excos x　　　　D. f(x)=x2+sin x 答案　B　‎ ‎6.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(　　)‎ A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.1‎ 答案　D　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　判断函数单调性的方法 ‎1.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且a+b>0,b+c>0,a+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值(　　)‎ A.恒为正　　　　B.恒为负　　　　C.恒为0　　　　D.无法确定 答案　B　‎ ‎2.已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式 f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎>0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎‎,+∞‎　　　　B.‎1‎‎2‎‎,+∞‎　　　　C.‎1‎‎4‎‎,+∞‎　　　　D.‎‎1‎‎4‎‎,+∞‎ 答案　D　‎ 方法2　判断函数奇偶性的方法 ‎3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1)=-2,那么f(-1)+f(0)=(　　)‎ A.-2　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2‎ 答案　D　‎ ‎4.对于函数f(x)=asin x+bx+c(a,b∈R,c∈Z),计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是(　　)‎ A.4和6　　　　B.3和1　　　　C.2和4　　　　D.1和2‎ 答案　D　‎ 方法3　函数周期的求法及应用 ‎5.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=ln(-x)+x;当-e≤x≤e时, f(-x)=-f(x);当x>1时, f(x+2)=f(x),则f(8)=　　　　. ‎ 答案　2-ln 2‎ 方法4　函数性质的综合应用 ‎6.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是(　　)‎ A. f(x)=sin x　　　　B. f(x)=|x+1|　　　　C. f(x)=-x　　　　D. f(x)=cos x 答案　C　‎ ‎7.设函数f(x)=‎2‎x‎-a,x≤1,‎logax,x>1‎(a>0,且a≠1).‎ ‎(1)若a=‎3‎‎2‎,则函数f(x)的值域为　　　　; ‎ ‎(2)若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(1)‎-‎3‎‎2‎,+∞‎　(2)[2,+∞)‎ 方法5　函数值域的求法 ‎8.下列函数中,值域为[0,1]的是(　　)‎ A.y=x2　　　　B.y=sin x　　　　C.y=‎1‎x‎2‎‎+1‎　　　　D.y=‎‎1-‎x‎2‎ 答案　D　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 考点一　函数的单调性及最值 ‎1.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　　)‎ A.y=‎1‎‎1-x　　　　B.y=cos x　　　　C.y=ln(x+1)　　　　D.y=2-x 答案　D　‎ ‎2.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(　　)‎ A.y=x+1‎　　　　B.y=(x-1)2　　　　C.y=2-x　　　　D.y=log0.5(x+1)‎ 答案　A　‎ ‎3.(2014北京文,2,5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是　(　　)‎ A.y=e-x　　　　B.y=x3　　　　C.y=ln x　　　　D.y=|x|‎ 答案　B　‎ ‎4.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=xx-1‎(x≥2)的最大值为　　　　. ‎ 答案　2‎ 考点二　函数的奇偶性与周期性 ‎1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是(　　)‎ A.y=x2sin x　　　　B.y=x2cos x　　　　C.y=|ln x|　　　　D.y=2-x 答案　B　‎ ‎2.(2013北京文,3,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(　　)‎ A.y=‎1‎x　　　　B.y=e-x　　　　C.y=-x2+1　　　　D.y=lg|x|‎ 答案　C　‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　函数的单调性及最值 ‎1.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)‎ A.[-2,2]　　　　B.[-1,1]　　　　C.[0,4]　　　　D.[1,3]‎ 答案　D　‎ ‎2.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(-1,3)‎ 考点二　函数的奇偶性与周期性 ‎1.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=　(　　)‎ A.-50　　　　B.0　　　　C.2　　　　D.50‎ 答案　C　‎ ‎2.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+a+‎x‎2‎)为偶函数,则a=　　　　. ‎ 答案　1‎ C组　教师专用题组 考点一　函数的单调性及最值 ‎1.(2017课标Ⅱ,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　)‎ A.(-∞,-2)　　　　B.(-∞,1)　　　　C.(1,+∞)　　　　D.(4,+∞)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-‎1‎‎1+‎x‎2‎,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)‎ A.‎1‎‎3‎‎,1‎　　　　B.‎-∞,‎‎1‎‎3‎∪(1,+∞)　　　　C.‎-‎1‎‎3‎,‎‎1‎‎3‎　　　　D.‎-∞,-‎‎1‎‎3‎∪‎‎1‎‎3‎‎,+∞‎ 答案　A　‎ ‎3.(2013辽宁,12,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=(　　)‎ A.a2-2a-16　　　　B.a2+2a-16　　　　C.-16　　　　D.16‎ 答案　C　‎ 考点二　函数的奇偶性与周期性 ‎1.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-‎2‎),则a的取值范围是(　　)‎ A.‎-∞,‎‎1‎‎2‎　　　　B.‎-∞,‎‎1‎‎2‎∪‎3‎‎2‎‎,+∞‎　　　　C.‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎　　　　D.‎‎3‎‎2‎‎,+∞‎ 答案　C　‎ ‎2.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>‎1‎‎2‎时, f x+‎‎1‎‎2‎=f x-‎‎1‎‎2‎.则f(6)=(　　)‎ A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.2‎ 答案　D　‎ ‎3.(2015安徽,4,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(　　)‎ A.y=ln x　　　　B.y=x2+1　　　　C.y=sin x　　　　D.y=cos x 答案　D　‎ ‎4.(2014课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)‎ A.f(x)g(x)是偶函数　　　　B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数　　　　D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案　C　‎ ‎5.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知函数f(x)=ln(‎1+‎x‎2‎-x)+1, f(a)=4,则f(-a)=　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎6.(2017课标Ⅱ,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　. ‎ 答案　12‎ ‎7.(2014课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)=　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共50分)‎ ‎1.(2018北京房山一模,5)下列函数中,与函数y=x3的单调性和奇偶性相同的是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.y=x　　　　B.y=ln x　　　　C.y=tan x　　　　D.y=ex-e-x 答案　D　‎ ‎2.(2019届北京潞河中学10月月考文,6)已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数,其部分图象如图所示,则在(-2,0)上与函数f(x)的单调性相同的是(　　)‎ A.y=-x2+1　　　　B.y=cos x　　　　C.y=e‎-x‎,x≥0‎ex‎,x<0‎　　　　D.y=log2|x|‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019届北京潞河中学10月月考,4)下列函数是奇函数且在区间(1,+∞)上单调递减的是(　　)‎ A.f(x)=-x3　　　　B.f(x)=x　　　　C.f(x)=x+‎1‎x　　　　D.f(x)=-x+1‎ 答案　A　‎ ‎4.(2019届中央民大附中10月月考,5)下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是(　　)‎ A.y=‎1‎‎2‎‎|x|‎　　　　B.y=|ln x|　　　　C.y=x2+2|x|　　　　D.y=2-x 答案　C　‎ ‎5.(2019届北京牛栏山一中期中,2)下列函数中,定义域为R的偶函数是(　　)‎ A.y=2x　　　　B.y=ln|x|　　　　C.y=cos x　　　　D.y=2x 答案　C　‎ ‎6.(2019届北京朝阳期中文,8)已知定义域为R的奇函数f(x)的周期为2,且x∈(0,1]时, f(x)=log‎1‎‎2‎x.若函数F(x)=f(x)-sinπ‎2‎x在区间[-3,m](m∈Z且m>-3)上至少有5个零点,则m的最小值为(　　)‎ A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6‎ 答案　A　‎ ‎7.(2018北京石景山期末,6)给定函数①y=x‎1‎‎2‎,②y=log‎1‎‎2‎(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是(　　)‎ A.①④　　　　B.①②　　　　C.②③　　　　D.③④‎ 答案　C　‎ ‎8.(2018北京东城期末,5)已知函数f(x)=‎4‎x‎+1‎‎2‎x,则f(x)的(　　)‎ A.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是增函数 B.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是增函数　　　　‎ C.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是减函数 D.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是减函数 答案　B　‎ ‎9.(2017北京朝阳期中,2)下列函数中,既在定义域上是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的是(　　)‎ A.y=x2　　　　 B.y=x+1‎ C.y=-lg|x|　　　　D.y=-2x 答案　C　‎ ‎10.(2019届北京八中10月月考,3)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是(　　)‎ A.y=log‎1‎‎2‎x　　　　B.y=2x-1　　　　C.y=x2-‎1‎‎2‎　　　　D.y=-x3‎ 答案　B　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎11.(2018北京一七一中学期中,12)若函数g(x)=x-1,x>0,‎f(x),x<0‎是奇函数,则f(x)=　　　　. ‎ 答案　x+1‎ ‎12.(2018北京通州一模,14)设函数f(x)=x2+acos x,a∈R,非空集合M={x|f(x)=0,x∈R}.‎ ‎(1)M中所有元素之和为　　　　; ‎ ‎(2)若集合N={x|f(f(x))=0,x∈R},且M=N,则a的值是　　　　. ‎ 答案　(1)0　(2)0‎ 三、解答题(共30分)‎ ‎13.(2019届北京四中期中文,18)已知实数a≠0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数f(x)有极大值32,求实数a的值.‎ 解析　(1)∵f(x)=ax3-4ax2+4ax,‎ ‎∴f '(x)=3ax2-8ax+4a=a(3x-2)(x-2).‎ 令f '(x)=0,得x=‎2‎‎3‎或x=2.‎ 当a>0时,函数f(x)的单调增区间是‎-∞,‎‎2‎‎3‎,(2,+∞);单调减区间是‎2‎‎3‎‎,2‎.‎ 当a<0时,函数f(x)的单调增区间是‎2‎‎3‎‎,2‎;单调减区间是‎-∞,‎‎2‎‎3‎,(2,+∞).‎ ‎(2)∵f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32,由(1)知当x=2或‎2‎‎3‎时, f(x)取得极值,而f(2)=0,‎ ‎∴当x=‎2‎‎3‎时, f(x)取得极大值32,即‎2‎‎3‎a‎2‎‎3‎‎-2‎‎2‎=32,‎ ‎∴a=27.‎ ‎14.(2019届北京八中10月月考,15)设函数f(x)=ax‎2‎+1‎bx+c是奇函数,a,b,c都是整数,且f(1)=3, f(2)<5.‎ ‎(1)求a,b,c的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的值域.‎ 解析　(1)由f(x)=ax‎2‎+1‎bx+c是奇函数,得f(-x)=-f(x)对定义域内的x恒成立,则a(-x‎)‎‎2‎+1‎b(-x)+c=-ax‎2‎+1‎bx+c,‎ ‎∴-bx+c=-(bx+c)对定义域内的x恒成立,‎ 即c=0(或由定义域关于原点对称得c=0).‎ 又f(1)=3, f(2)<5,‎ ‎∴a+1‎b‎=3①,‎‎4a+1‎‎2b‎<5②,‎由①得a=3b-1,代入②得‎2b-3‎‎2b<0,‎ ‎∴00时, f(x)在‎0,‎‎2‎‎2‎上单调递减,在‎2‎‎2‎‎,+∞‎上单调递增.‎ ‎∴函数f(x)的值域为(-∞,-2‎2‎]∪[2‎2‎,+∞).‎ ‎15.(2019届北京一零一中学10月月考,16)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时, f(x)取得极值-2.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间和极大值;‎ ‎(3)证明:对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.‎ 解析　(1)∵f(x)是R上的奇函数,‎ ‎∴f(-x)=-f(x),‎ 即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,‎ ‎∴d=-d,即d=0(或由f(0)=0得d=0),‎ ‎∴f(x)=ax3+cx,‎ 则f '(x)=3ax2+c,又当x=1时, f(x)取得极值-2,‎ ‎∴‎f(1)=-2,‎f '(1)=0,‎ 即a+c=-2,‎‎3a+c=0,‎解得a=1,‎c=-3.‎ ‎∴f(x)=x3-3x.‎ ‎(2)f '(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),‎ 令f '(x)=0,得x=±1.‎ 当-11时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(1,+∞),‎ 单调递减区间为(-1,1).‎ 因此, f(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为f(-1)=2.‎ ‎(3)证明:由(2)知,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,‎ 且f(x)在区间[-1,1]上的最大值为M=f(-1)=2,最小值为m=f(1)=-2,‎ ‎∴对任意x1,x2∈(-1,1),|f(x1)-f(x2)|

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