江西省麻山中学2020届高考数学仿真模拟冲刺卷四(含解析)

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江西省麻山中学2020届高考数学仿真模拟冲刺卷四(含解析)

1 江西省麻山中学 2020 届高考数学仿真模拟冲刺卷(四) 注意事项: 1.本卷仿真文科数学,题序与高考题目序号保持一致,考试时间为 120 分钟,满分为 150 分。 2.请将答案填写在答题卷上。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. 1-i 1+i +3i=( ) A.i B.2i C.1-3i D.1+3i 2.已知集合 A={x|log2(x-1)<1},B={x||x-a|<2},若 A⊆B,则实数 a的取值范围为( ) A.(1,3) B.[1,3] C.[1,+∞) D.(-∞,3] 3.已知向量 a=(2,1),b=(2,x)不平行,且满足(a+2b)⊥(a-b),则 x=( ) A.- 1 2 B. 1 2 C.1 或- 1 2 D.1 或 1 2 4.函数 f(x)= x2 e x |x| 的图象大致为( ) 5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 s=( ) A.26 B.102 C.410 D.512 6.设 x,y满足约束条件 x-4y+3≤0, x+2y-9≤0, x≥1, 则 z=2x+y的取值范围为( ) A.[2,6] B.[3,6] C.[3,12] D.[6,12] 7.已知函数 f(x)= 3sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为 2π,则 f(x)的单调递增区间是( ) 2 A. 2kπ- π 6 ,2kπ+ π 6 (k∈Z) B. 2kπ- π 3 ,2kπ+ 2π 3 (k∈Z) C. 2kπ- 2π 3 ,2kπ+ π 3 (k∈Z) D. 2kπ- π 6 ,2kπ+ 5π 6 (k∈Z) 8.已知 a,b 是区间[0,4]上的任意实数,则函数 f(x)=ax2 -bx+1 在[2,+∞)上单调递增的概率为( ) A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四面体的三视图,则此四面体的体积为( ) A. 32 3 B.16 C.32 D.48 10.已知正三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,棱锥的底面是边长为 2 3的正三角形,侧棱长为 2 5, 则球 O的表面积为( ) A.10π B.25π C.100π D.125π 11.已知 M 为双曲线 C: x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的右支上一点,A,F 分别为双曲线 C的左顶点和右焦点,线段 FA 的垂直平分线过点 M,∠MFA=60°,则 C 的离心率为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 12.已知函数 f(x)= 1 3 x3 +a 1 2 x2 +x+2 ,则 f(x)的零点可能有( ) A.1 个 B.1 个或 2个 C.1 个或 2个或 3 个 D.2 个或 3个 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分. 13.已知点 P(sin 35°,cos 35°)为角α终边上一点,若 0°≤α<360°,则α=________. 14.已知两条不同的直线 m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列五个命题: 3 ①m∥n,m⊥α⇒n⊥α ②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n ③m∥n,m∥α⇒n∥α ④m⊥α,m∥β⇒α⊥β ⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β. 其中正确命题的序号是________. 15.若函数 f(x)=ax- 3 x 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,4),则 a=________. 16.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 ccos B+bcos C=2acos A,AM → = 2 3 AB → + 1 3 AC → ,且 AM=1, 则 b+2c 的最大值是________. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(12 分)已知{an}是首项为 1 的等比数列,各项均为正数,且 a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 n+2 log3an+1 ,求数列{bn}的前 n项和 Sn. 18.(12 分)如图,已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△PAD 是正三角形,平面 PAD ⊥平面 ABCD,E,F,G 分别是 PD,PC,BC 的中点. (1)求证:平面 EFG⊥平面 PAD; (2)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M-EFG 的体积. 4 19.(12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 y= 3 2 x 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M,点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C的右焦点 F2,椭圆 C 的另一个焦点是 F1,且MF1 → ·MF2 → = 9 4 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过点(-1,0),且与椭圆 C交于 P,Q 两点,求△F2PQ 的内切圆面积的最大值. 20.(12 分)某校高三文科(1)班共有学生 45 人,其中男生 15 人,女生 30 人.在一次地理考试后,对成绩作了 数据分析(满分 100 分),成绩为 85 分以上的同学称为“地理之星”,得到了如下图表: 地理之星 非地理之星 合计 男性 女生 合计 如果从全班 45 人中任意抽取 1 人,抽到“地理之星”的概率为 1 3 . (1)完成“地理之星”与性别的 2×2列联表,并回答是否有 90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别” 有关? (2)若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为 90,方差为 7.2,请你判断这些同学中是否有 得到满分的同学,并说明理由.(得分均为整数) 参考公式:K2=错误!,其中 n=a+b+c+d. 5 临界值表: P(K2 ≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21.(12 分)已知函数 f(x)= x 1+x -aln(1+x)(a∈R),g(x)=x2 e mx+1 -e 2 . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 a<0,∀x1,x2∈[0,e],不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数 m 的取值范围. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 x=- 1 2 t, y=a+ 3 2 t (t 为参数,a∈R).以坐标原点为极点,x轴正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ=4cos θ,射线θ= π 3 (ρ≥0)与曲线 C 交于 O,P 两点,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)当|AB|=|OP|时,求 a 的值. 6 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知不等式|2x+1|+|2x-1|<4 的解集为 M. (1)求集合 M; (2)设实数 a∈M,b∉ M,证明:|ab|+1≤|a|+|b|. 7 仿真模拟冲刺卷(四) 1.答案:B 解析:解法一 因为 1-i 1+i +3i= 1-i2 2 +3i=2i,故选 B. 解法二 1-i 1+i +3i= 1-i+3i-3 1+i = -21-i2 2 =2i,故选 B. 2.答案:B 解析:由 log2(x-1)<1,得 00,所以排除选项 C,D.因为 x>0 时,f(x)= x2ex x =xex ,所以 f′(x)=e x +xex =e x (x+1)>0,所以 f(x) 在(0,+∞)上单调递增,排除选项 B.故选 A. 5.答案:B 解析:s=0,n=1,第一次运行,s=21-0=2,n=1+2=3; 第二次运行,s=2 3 -2=6,n=3+2=5; 第三次运行,s=2 5 -6=26,n=5+2=7; 第四次运行,s=2 7 -26=102,n=7+2=9>8,终止循环.输出 s=102,故选 B. 6.答案:C 解析:解法一 不等式组 x-4y+3≤0, x+2y-9≤0, x≥1 表示的平面区域如图中三角形 ABC(包括边界)所示,作出直线 2x 8 +y=0并平移,可知当直线 z=2x+y经过点 A时,z取得最小值,解方程组 x=1, x-4y+3=0 得 x=1, y=1, 即 A(1,1), 所以 zmin=2×1+1=3,当直线 z=2x+y 经过点 B 时,z 取得最大值,解方程组 x-4y+3=0, x+2y-9=0 得 x=5, y=2, 即 B(5,2),所以 zmax=2×5+2=12,所以 z 的取值范围为[3,12],故选 C. 解法二 由方程组 x-4y+3=0, x=1, x-4y+3=0, x+2y-9=0, x+2y-9=0, x=1, 可得可行域的三个顶点坐标分别为 A(1,1),B(5,2),C(1,4),分别代入 z=2x+y中,得 zA =3,zB=12,zC=6,所以 z 的取值范围为[3,12],故选 C. 7.答案:B 解析:解法一 因为 f(x)=2 3 2 sin ωx- 1 2 cos ωx =2sin ωx- π 6 ,f(x)的最小正周期为 2π,所以ω= 2π 2π =1,所以 f(x)=2sin x- π 6 ,由 2kπ- π 2 ≤x- π 6 ≤2kπ+ π 2 (k∈Z),得 2kπ- π 3 ≤x≤2kπ+ 2π 3 (k∈Z), 所以 f(x)的单调递增区间为 2kπ- π 3 ,2kπ+ 2π 3 (k∈Z),故选 B. 解法二 因为 f(x)=2 3 2 sin ωx- 1 2 cos ωx =-2cos ωx+ π 3 ,f(x)的最小正周期为 2π,所以ω= 2π 2π = 1,所以 f(x)=-2cos x+ π 3 ,由 2kπ≤x+ π 3 ≤2kπ+π(k∈Z),得 2kπ- π 3 ≤x≤2kπ+ 2π 3 (k∈Z), 所以 f(x)的单调递增区间为 2kπ- π 3 ,2kπ+ 2π 3 (k∈Z),故选 B. 8.答案:D 解析:当 a=0 时,f(x)=-bx+1在[2,+∞)上不可能单调递增,当 a≠0 时,由已知及二次函数的单调性知 - -b 2a ≤2,即 b≤4a,所以由题意可得 01,所以 e=4,故选 B. 12.答案:A 10 解析:因为 f(x)= 1 3 x3 +a 1 2 x2 +x+2 ,所以 f′(x)=x2 +ax+a, 令 f′(x)=0,则Δ=a2 -4a=(a-2) 2 -4. 因为 1 2 x2+x+2= 1 2 (x+1)2+ 3 2 >0,所以令 f(x)=0,则 a= - 1 3 x3 1 2 x2+x+2 , f(x)的零点转化为直线 y=a 与函数 g(x)= - 1 3 x3 1 2 x2+x+2 的图象的交点. g′(x)= -x2 1 2 x2+x+2 + 1 3 x3x+1 1 2 x2 +x+2 2 = - 1 6 x4- 2 3 x3-2x2 1 2 x2+x+2 2 , 令 g′(x)=0,即- 1 6 x4- 2 3 x3-2x2=0,整理得 x2(x2+4x+12)=0, 由于 x2 +4x+12=(x+2) 2 +8>0,所以 x=0,所以 g′(x)≤0,所以 g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以直 线 y=a 与函数 g(x)的图象可能有 1 个交点.所以 f(x)的零点可能有 1个.故选 A. 13.答案:55° 解析:由题意知 cos α=sin 35°=cos 55°,sin α=cos 35°=sin 55°,P 在第一象限,∴α=55°. 14.答案:①④⑤ 解析:命题①,显然正确;命题②,m,n 可能异面,故②为假命题;命题③,可能 n⊂α,故③为假命题;命 题④,由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知④为真命题;命题⑤,由 m∥n,m⊥α,得 n⊥α,又 α∥β,所以 n⊥β,故⑤为真命题.综上,正确的命题为①④⑤. 15.答案:2 解析:f′(x)=a+ 3 x2 ,f′(1)=a+3,f(1)=a-3,故 f(x)的图象在点(1,a-3)处的切线方程为 y-(a-3) =(a+3)(x-1),又切线过点(2,4),所以 4-(a-3)=a+3,解得 a=2. 16.答案:2 3 解析:∵ccos B+bcos C=2acos A,∴sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos A,∴sin(C+B)=2sin Acos A, ∴sin A=2sin Acos A.∵00,所以 q=3,所以 an=3n-1.(5 分) (2)bn= 1 n+2log3an+1 = 1 nn+2 = 1 2 1 n - 1 n+2 ,(8 分) 所以 Sn= 1 2 1- 1 3 + 1 2 - 1 4 +…+ 1 n-1 - 1 n+1 + 1 n - 1 n+2 = 3 4 - 2n+3 2n+1n+2 .(12 分) 18.解析:(1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD⊂平面 ABCD,且 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面 PAD. 在△PCD 中,E,F 分别是 PD,PC 的中点, 所以 EF∥CD,所以 EF⊥平面 PAD. 因为 EF⊂平面 EFG,所以平面 EFG⊥平面 PAD. (2)因为 EF∥CD,EF⊂平面 EFG,CD⊄ 平面 EFG, 所以 CD∥平面 EFG, 因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离,连接 DF,DG,如图, V 三棱锥 M-EFG=V 三棱锥 D-EFG. 取 AD 的中点 H,连接 GH,EH,FH, 则 EF∥GH, 因为 EF⊥平面 PAD,EH⊂平面 PAD, 所以 EF⊥EH. 于是 S△EFH= 1 2 EF×EH=2=S△EFG. 平面 EFG⊥平面 PAD,平面 EFG∩平面 PAD=EH, 且易知△EHD 是边长为 2的正三角形,所以点 D到平面 EFG 的距离等于正三角形 EHD 的高,为 3. 所以三棱锥 M-EFG 的体积 V 三棱锥 M-EFG=V 三棱锥 D-EFG= 1 3 ×S△EFG× 3= 2 3 3 . 12 19.解析:(1)根据直线 y= 3 2 x 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M,点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2, 可知焦点在 x 轴上且 M 点坐标 c, 3 2 c ,F1(-c,0),F2(c,0). ∵MF1 → ·MF2 → = 9 4 , ∴ 9 4 c2= 9 4 ,∴c=1. 设椭圆 C 方程: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0), M 点坐标 1, 3 2 代入椭圆 C方程得 1 a2 + 9 4 b2 =1, ∵c= a2 -b2 =1, ∴a=2,b= 3. ∴椭圆 C 方程为 x2 4 + y2 3 =1.(6 分) (2)要使△F2PQ 的内切圆面积最大,即使△F2PQ 的面积最大, ∵F2F1为定长, ∴当且仅当直线 l 过(-1,0),与 x 轴垂直时△F2PQ 的面积最大, 此时 P -1, 3 2 ,Q -1,- 3 2 , ∴|F2P → |=|F2Q → |= 5 2 ,|PQ → |=3. 设△F2PQ 的内切圆半径为 r,则 1 2 ×3×2= 1 2 × 3+ 5 2 + 5 2 r, ∴r= 3 4 ,其面积 S= 9π 16 .(12 分) 20.解析:(1)易知“地理之星”总人数为 45× 1 3 =15,得到 2×2列联表如下: 地理之星 非地理之星 合计 男生 7 8 15 13 女生 8 22 30 合计 15 30 45 (4 分) 则 k= 45×7×22-8×82 15×30×15×30 =1.8<2.706, 所以没有 90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关.(6 分) (2)没有得满分的同学.记各个分值由高到低分别为 x1,x2,…,x15,则 ①若有两个及以上得满分, 则 s2= 1 15 [(100-90)2+(100-90)2+(x3-90)2+…+(x15-90)2]> 40 3 >7.2,不符合题意.(8 分) ②若恰有一个满分,为使方差最小,则其他分值需集中分布于平均数 90 的附近,且保证平均值为 90,则有 10 个得分为 89,其余 4个得分为 90,此时方差取得最小值.(10 分) s2 min= 1 15 [(100-90) 2 +4×(90-90) 2 +10×(89-90) 2 ]= 22 3 >7.2,与题意方差为 7.2 不符. 综上,这些同学中没有得满分的同学. (也可以从一个满分讨论入手,推导一个不符合题意,两个更不符合题意)(12 分) 21.解析:(1)因为 f(x)= x 1+x -aln(1+x)(x>-1), 所以 f′(x)= 1 x+12 - a x+1 = -ax-a+1 x+12 ,(1 分) 当 a≤0 时,f′(x)>0,所以函数 f(x)的单调递增区间为(-1,+∞).(2 分) 当 a>0 时,由 f′x>0, x>-1, 得-1-1, 得 x>-1+ 1 a .(3 分) 所以函数 f(x)的单调递增区间是 -1,-1+ 1 a ;单调递减区间是 -1+ 1 a ,+∞ .(4 分) 综上所述,当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,+∞). 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间是 -1,-1+ 1 a ;单调递减区间是 -1+ 1 a ,+∞ .(5 分) (2)若 a<0,则∀x1,x2∈[0,e],不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立, 等价于“对任意 x∈[0,e],f(x)min≥g(x)max恒成立”.(6 分) 当 a<0 时,由(1)知,函数 f(x)在[0,e]上单调递增, 所以 f(x)min=f(0)=0.(7 分) g′(x)=2xemx+1 +x2 e mx+1m=x(mx+2)e mx+1 , (ⅰ)当 m≥0 时,由 0≤x≤e,得 g′(x)≥0,知函数 g(x)在[0,e]上单调递增, 所以 g(x)max=g(e)=e me+3 -e 2 >0,不符合题意.(8 分) 14 (ⅱ)当- 2 e ≤m<0,即- 2 m ≥e时,在[0,e]上,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,e]上单调递增,所以 g(x)max=g(e) =e me+3 -e 2 ,只需满足:e me+3 -e 2 ≤0,即 m≤- 1 e ,所以- 2 e ≤m≤- 1 e .(9 分) (ⅲ)当 m<- 2 e ,即 0<- 2 m - 2 e ,所以 m<- 2 e .(11 分) 综上所述,实数 m 的取值范围为 -∞,- 1 e .(12 分) 22.解析:(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,得 3x+y-a=0.(2 分) 由ρ=4cos θ,得ρ2 =4ρcos θ,(3 分) 从而 x2+y2=4x,即曲线 C 的直角坐标方程为 x2-4x+y2=0.(5 分) (2)解法一 由 ρ=4cos θ θ= π 3 ρ≥0 ,得 P 2, π 3 . 所以|OP|=2,(6 分) 将直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2 -4x+y2 =0 中,得 t2 +(2+ 3a)t+a2 =0, 由Δ>0,得 2 3-4<a<2 3+4.(8 分) 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2, 则|AB|=|t1-t2|= t1+t2 2-4t1t2= 4+4 3a-a2 =2,(9 分) 解得,a=0或 a=4 3. 所以,所求 a 的值为 0 或 4 3.(10 分) 解法二 将θ= π 3 (ρ≥0)化为直角坐标方程,得 3x-y=0(x≥0),(6 分) 由(1)知,曲线 C:(x-2) 2 +y2 =4的圆心 C(2,0),半径为 2, 由点到直线的距离公式,得点 C 到该射线的最短距离 d= 2 3 3+1 = 3,(7 分) 所以该射线与曲线 C相交所得的弦长为|OP|=2 2 2 - 32=2.(8 分) 圆心 C到直线 l的距离为: |2 3-a| 3+1 = |2 3-a| 2 ,(9 分) 15 由 |2 3-a| 2 2 +1 2 =2 2 ,得(2 3-a)2 =12,即 2 3-a=±2 3, 解得,a=0或 a=4 3. 所以,所求 a 的值为 0 或 4 3.(10 分) 23.解析:(1)解法一 当 x<- 1 2 时,不等式化为:-2x-1+1-2x<4,即 x>-1, 所以-1<x<- 1 2 ;(2 分) 当- 1 2 ≤x≤ 1 2 时,不等式化为:2x+1-2x+1<4,即 2<4, 所以- 1 2 ≤x≤ 1 2 ;(3 分) 当 x> 1 2 时,不等式化为:2x+1+2x-1<4,即 x<1, 所以 1 2 <x<1,(4 分) 综上可知,M={x|-1<x<1}.(5 分) 解法二 设 f(x)=|2x+1|+|2x-1|, 则 f(x)= -4x,x<- 1 2 , 2,- 1 2 ≤x≤ 1 2 , 4x,x> 1 2 . (2 分) 函数 f(x)的图象如图所示,(4 分) 若 f(x)<4,由右图可得,-1 1 2 , 2x+1+2x-1<4. (3 分) 解得-1
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