2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1

2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1

第 2 课时　集合的表示 必备知识 · 自主学习 1. 列举法 【 思考 】 　 (1) 一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ (2) 数集 R 可以写为 { 实数集 } 、 { 全体实数 } 、 {R} 吗？ 提示： (1) 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序 . 例如： {a ， b} 与 {b ， a} 表示同一个集合 . (2) 实数集 R 可以写为 { 实数 } ，但如果写成 { 实数集 } 、 { 全体实数 } 、 {R} 都是不正确的 . 因为花括号 “ { } ” 表示 “ 所有 ”“ 整体 ” 的含义 . 2. 描述法 前提条件 A 是一个集合 要表示 的集合 集合 A 中所有具有 _________ P(x) 的元素 x 所组成的集合 形式 ____________ 结论 对于任何 y∈____________ 都有 y∈A 且 P(y) 成立 共同特征 {x∈A|P(x)} {x∈A|P(x)} 【 思考 】 {(x ， y)|y=x 2 +2} 能否写为 {x|y=x 2 +2} 或 {y|y=x 2 +2} 呢？ 提示： 不能， (x ， y) 表示集合的元素是有序实数对或点，而 x 或 y 则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 由 1 ， 1 ， 2 ， 3 组成的集合可用列举法表示为 {1 ， 1 ， 2 ， 3}. ( 　　 ) (2) 集合 {(1 ， 2)} 中的元素是 1 和 2. ( 　　 ) (3) 集合 {x|x 2 =1} 与集合 {-1 ， 1} 相等 . ( 　　 ) (4) 集合 {x|x>3} 与集合 {t|t>3} 相等 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 由 1 ， 1 ， 2 ， 3 组成的集合可用列举法表示为 {1 ， 2 ， 3}. (2)×. 集合 {(1 ， 2)} 中的元素是 (1 ， 2). (3)√. 由 x 2 =1 求得 x=-1 或 x=1 ，所以 {x|x 2 =1} 与 {-1 ， 1} 相等 . (4)√. 虽然两个集合的代表元素的符号 ( 字母 ) 不同，但实质上它们均表示大于 3 的实数，两个集合相等 . 2. 用描述法表示函数 y=3x+1 图象上的点的集合是 ( 　　 ) A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1} C.{(x ， y)|y=3x+1} D.{y=3x+1} 【 解析 】 选 C. 该集合是点集，故可表示为 {(x ， y)|y=3x+1}. 3.( 教材二次开发：习题改编 ) 由大于 -1 小于 5 的自然数组成的集合用列举法表示为 _______ ，用描述法表示为 _______.  【 解析 】 大于 -1 小于 5 的自然数有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4. 故用列举法表示集合为 {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 用描述法表示可用 x 表示代表元素，其满足的条件是 -13} ； (3) 平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为 {(x ， y)|xy<0} ； (4){1 ， 3 ， 5 ， 7 ， … } 用描述法可表示为 {x|x=2k-1 ， k∈N + }. 类型三　集合表示方法的综合应用 ( 数学抽象、数学运算 ) 　角度 1 　用适当的方法表示集合  【 典例 】 用适当的方法表示下列集合： (1) 函数 y=x 2 -2x 的图象与 x 轴的公共点的集合； (2) 不等式 2x-3<5 的解组成的集合； (3)3 和 4 的正的公倍数构成的集合； (4) 大于 4 的奇数构成的集合 . 【 思路导引 】 根据集合中元素的个数和特征，选择恰当的方法表示集合 . 【 解析 】 (1) 列举法： {(0 ， 0) ， (2 ， 0)}. (2) 不等式 2x-3<5 的解组成的集合可表示为 {x|2x-3<5} ，即 {x|x<4}. (3)3 和 4 的最小公倍数是 12 ，因此 3 和 4 的所有正的公倍数构成的集合是 {x|x=12n ， n∈N * }. (4) 用描述法表示为 D={x|x=2k+1 ， k≥2 ， k∈N} 或 D={x|x=2k+3 ， k∈N * }. 　角度 2 　方程、不等式等知识与集合交汇  【 典例 】 (2020· 朔州高一检测 ) 已知集合 A={x|kx 2 -8x+16=0} 只有一个元素，试求实数 k 的值，并用列举法表示集合 A. 【 思路导引 】 将问题转化为方程 kx 2 -8x+16=0 只有一个实数根，求实数 k 的值 . 应注意分 k=0 和 k≠0 两种情况讨论 . 【 解析 】 (1) 当 k=0 时，方程 kx 2 -8x+16=0 变为 -8x+16=0 ，解得 x=2 ， A={2} ； (2) 当 k≠0 时，要使集合 A={x|kx 2 -8x+16=0} 中只有一个元素，则方程 kx 2 -8x+16=0 只有一个实数根，所以 Δ=64-64k=0 ，解得 k=1 ，此时集合 A={4}. 综上所述， k=0 时，集合 A={2} ； k=1 时，集合 A={4}. 【 变式探究 】 本例的条件“只有一个元素”若改为“有两个元素”其他条件不变，求实数 k 的值组成的集合 . 【 解析 】 由题意可知，方程 kx 2 -8x+16=0 有两个不等实根 . 故 即 k<1 且 k≠0. 所以实数 k 组成的集合为 {k|k<1 且 k≠0}. 【 解题策略 】 1. 解答集合表示方法综合题的策略 (1) 若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键 . (2) 若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键 . 2. 方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理 (1) 准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质 . (2) 解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用 . 1. 以方程 x 2 -5x+6=0 和方程 x 2 -x-6=0 的解为元素的集合为 _______.  【 解析 】 解方程 x 2 -5x+6=0 ，得 x=2 或 x=3 ， 解方程 x 2 -x-6=0 ，得 x=-2 或 3 ， 所以以方程 x 2 -5x+6=0 和方程 x 2 -x-6=0 的解为元素的集合为 {-2 ， 2 ， 3}. 答案： {-2 ， 2 ， 3} 【 题组训练 】 2. 下列三个集合： ① {x|y=x 2 +1} ；② {y|y=x 2 +1} ； ③ {(x ， y)|y=x 2 +1}. (1) 它们是不是相同的集合？ (2) 它们各自的含义是什么？ 　 【 解析 】 (1) 它们不是相同的集合 . (2) 集合①是函数 y=x 2 +1 的自变量 x 所允许的值组成的集合 . 因为 x 可以取任意实数，所以 {x|y=x 2 +1}=R. 集合②是函数 y=x 2 +1 的所有函数值 y 组成的集合 . 由二次函数图象知 y≥1 ，所以 {y|y=x 2 +1}={y|y≥1}. 集合③是函数 y=x 2 +1 图象上所有点的坐标组成的集合 . 【 补偿训练 】 1. 已知集合 {b|b∈R}={x∈R|ax 2 -4x+1=0 ， a∈R} ，其中 a ， b 为常数，则 a+b= ( 　　 ) A. 0 或 1 　　　　 　 B. C. D. 或 【 解析 】 选 D. 因为集合 {b|b∈R} 为单元素集合，所以集合 {x∈R|ax 2 -4x+1=0 ， a∈R} 也只有一个元素 b ，所以方程 ax 2 -4x+1=0 只有一个解， ①当 a=0 时，方程只有一个解 x= ， 即 b= ，满足题意，此时 a+b=0+ = ； ②当 a≠0 时，则 Δ=4 2 -4a=0 ，解得 a=4 ， 方程只有一个解 x= ，即 b= ，满足题意，此时 a+b=4+ = . 综上所述， a+b= 或 . 2. 用适当的方法表示下列集合 . (1)36 与 60 的公约数组成的集合 . (2) 在自然数集内，小于 1 000 的奇数构成的集合 . (3) 不等式 x-2>6 的解的集合 . (4) 大于 0.5 且不大于 6 的自然数构成的集合 . 【 解析 】 (1)36 与 60 的公约数有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 12 ，所求集合为 {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 12}. (2){x|x=2n+1 且 x<1 000 ， n∈N}. (3){x|x>8}. (4){1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}. 1. 已知集合 A={x|-1≤x<4 ， x∈Z} ，则集合 A 中元素的个数为 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 【 解析 】 选 C. 因为 -1≤x<4 ， x∈Z ，所以 x=-1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，所以集合 A= {-1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3} 共有 5 个元素 . 课堂检测 · 素养达标 2. 集合 {(x ， y)|y=2x-1} 表示 ( 　　 ) A. 方程 y=2x-1 B. 点 (x ， y) C. 平面直角坐标系中的点组成的集合 D. 函数 y=2x-1 图象上的点组成的集合 【 解析 】 选 D. 集合 {(x ， y)|y=2x-1} 的代表元素是 (x ， y) ，满足的关系式为 y=2x-1 ，因此集合表示的是函数 y=2x-1 图象上的点组成的集合 . 3. 已知 a∈ ，则实数 a 的值为 _______.  【 解析 】 由题意得， a=1 或 a= ， 当 a=1 时， =1 不满足集合中元素的互异性； 当 a= 时， a=0 或 a=1 ， 经检验， a=0 符合题意，综上可知， a=0. 答案： 0 4.( 教材二次开发：习题改编 ) 函数 y= 的自变量的值组成的集合为 _______.  【 解析 】 函数 y= 的自变量应满足 x≠1 ，组成的集合用描述法可表示为 {x∈R|x≠1}. 答案： {x∈R|x≠1} 5. 用列举法表示 A={x|x= ， x∈Z ， k∈N}. 【 解析 】 因为 A={x|x= ， x∈Z ， k∈N}. 所以 k=0 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 18 ， 故 A={-15 ， -5 ， 1 ， 3 ， 5 ， 15 }. 核心知识 1. 自然语言 2. 集合语言 3. 图形语言 列举法 描述法 方法总结 1. 选用列举法： （ 1 ）元素个数有限； （ 2 ）共同特征难以概括 2. 选用描述法： （ 1 ）元素无法一一列出； （ 2 ）可抽象出元素的共同 性质 3. 选用自然语言表示：集合中元素不是实数或式子 易错提醒 1. 弄清元素所具有的形式是使用描述法的前提 2. 共同特征即是集合中元素满足的条件 核心素养 数学抽象：通过具体实例抽象出列举法、描述法的定义，培养数学抽象的核心素养