【数学】2020届一轮复习人教A版快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧（理）学案

【数学】2020届一轮复习人教A版快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧（理）学案

专题28 快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧 一．【学习目标】‎ ‎1.掌握圆锥曲线的定义；‎ ‎2．掌握焦点三角形的应用和几何意义；‎ ‎3.掌握圆锥曲线方程的求法；‎ ‎4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；‎ ‎5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。‎ 一．【知识点总结】‎ ‎1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．‎ ‎2．椭圆的标准方程 ‎(1)，焦点，其中．‎ ‎(2)，焦点，其中 ‎3．椭圆的几何性质以为例 ‎(1)范围：．‎ ‎(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：‎ ‎(3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距.‎ ‎(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆．‎ ‎(5) 的关系：.‎ ‎4．双曲线的定义： ‎ 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．‎ ‎5．双曲线的标准方程 ‎(1)，焦点，其中．‎ ‎(2)，焦点，其中 ‎6．双曲线的几何性质以为例 ‎(1)范围：．‎ ‎(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：‎ ‎(3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距.‎ ‎(4)离心率 ‎(5) 渐近线方程.‎ ‎7．抛物线的定义： ‎ 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线.‎ ‎ 8．抛物线的标准方程 ‎(1)．对应的焦点分别为：‎ ‎.‎ ‎ (2)离心率.‎ 三．【典例分析及训练】‎ ‎（一）圆锥曲线定义的灵活应用 例1．已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于点，，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ 练习1．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上两点，为坐标原点，若，则____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】，则，，,‎ 为公共点，则三点共线，由题可得，则 ‎,故答案为 练习2. 已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】结合题意，绘制图像：‎ 根据双曲线的性质可知，得到，所以 ‎，而，所以 ‎，所以最小值为6.‎ 练习3．有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为_______． ‎ 故答案为：.‎ ‎（五）圆锥曲线的方程的灵活应用 例5．已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点.下表给出坐标的五个点中，有两个点在上，另有两个点在上. 则椭圆的方程为_____，的左焦点到的准线之间的距离为_______. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】注意到在椭圆上，故，根据椭圆的范围可知，横坐标为的点不在椭圆上.设抛物线方程为，在抛物线上，即，即，且 在抛物线的图像上，抛物线准线为.设椭圆的方程为，将代入，求得，不符合题意.将点代入，求得，符合题意，故椭圆方程为.故左焦点为.所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为.‎ 练习1．给出下列命题，其中所有正确命题的序号是__________．‎ ‎①抛物线的准线方程为；‎ ‎②过点作与抛物线只有一个公共点的直线仅有1条；‎ ‎③是抛物线上一动点，以为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点.‎ ‎④抛物线上到直线距离最短的点的坐标为.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】①抛物线的标准方程为不是；故错误 ‎②过点作与抛物线只有一个公共点的直线有两条，一条是过点与抛物线相切的直线，一条是过点平行于轴的直线，故错误 ‎③设,则以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆的方程为,化简可得,当时恒成立，故此圆一定过定点，故正确 ‎④设抛物线上到直线距离最短的点的坐标为 则 当时，取最小值 则抛物线上到直线距离最短的点的坐标为，故正确 综上其中所有正确命题的序号为③④‎ 练习2．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆 的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵点F1、F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，‎ 过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，‎ ‎∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），‎ ‎∵△是锐角三角形，‎ ‎∴∠AF1 F2＜45°，∴tan∠AF1 F2＜1，∴1，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，‎ 两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e1，或e1，（舍），‎ ‎∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）．故答案为：（1，1）．‎ ‎（六）定点问题 例6.已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为2时，坐标原点O到l的距离为．‎ 求a、b的值；‎ 上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析 ‎【解析】设，直线l的方程为，‎ 坐标原点O到l的距离为，，，，，‎ ‎，即；‎ 由知椭圆的方程为，即，假设存在满足题设条件的直线，‎ 由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为l：，‎ 设、，把l：代入椭圆方程，整理得，显然．‎ 由韦达定理有：，，‎ ‎，‎ 在椭圆上，代入椭圆方程整理得，解得无解，‎ 故不存在这样的点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立．‎ 练习1．已知椭圆的离心率为，短轴长为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为4时，直线恒过定点，求出定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由题意知：，，.‎ 解得，，，所以椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，.‎ 由，得，‎ 联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根，‎ ‎∴，.‎ 代入得，整理得.‎ ‎∵，∴，∴，，所以直线恒过定点.‎ 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，∴.由，得，∴.‎ ‎∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.‎ 综上所述，直线恒过定点.‎ 练习2.已知椭圆：过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1） (2)见证明 ‎【解析】（1）由题意知，，解得，‎ 则椭圆的方程是.‎ ‎（2）设，，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，‎ 则直线的方程为：，‎ 由，得，‎ 所以，，‎ 直线的方程为：，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 所以直线与轴交于定点.‎ 练习3.已知点和直线，为曲线上一点，为点到直线的距离且满足.‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）过点作曲线的两条动弦，若直线斜率之积为，试问直线是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）设点为曲线上任一点，‎ 则依题意得：，‎ 化简得：曲线的轨迹方程为：.‎ ‎（2）一定经过一定点.‎ 设，当直线的斜率不存在时，设的方程为， ‎ 则：，，不合题意.‎ 故直线的斜率存在，设直线的方程为，并代入椭圆方程，‎ 整理得：，①‎ 由，得：.②‎ 设，则是方程①的两根，由根与系数的关系得：‎ ‎，，由 得：，‎ 即，‎ 整理得：，又因为，所以，‎ 此时直线的方程为.所以直线恒过一定点.‎ 练习4.已知椭圆的离心率为，短轴长为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由题意知：，，.‎ 解得，，，所以椭圆方程为.‎ ‎∵，∴，∴，即.‎ 所以直线过定点.‎ 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中.‎ ‎∴ ，由，得，∴.‎ ‎∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.‎ 综上所述，直线恒过定点.‎ ‎（七）定值问题 例7. 已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为，为坐标平面上的一点，过点作直线和分别与椭圆交于点，和，，如图所示.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）依题意有，而，故，，‎ 从而椭圆：.‎ ‎（2）设，则，因双曲线的顶点恰为椭圆的焦点，而因而直线与的斜率都存在，分别设为，则 由于，设直线的斜率为，则，代入椭圆方程并化简得 设，则 从而.‎ 同理有，‎ 从而有 ‎ 从而为定值.‎ 练习1．已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，其离心率为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点作直线（轴除外）与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（1）由得：所以椭圆方程为 ‎（2）由于直线l过右焦点F（1，0），可设直线l方程为：x=my+1,代入椭圆方程并整理得：（4+3m2)x2-8x+4-12m2=0(或（4+3m2)y2+6my-9=0)‎ ‎△=64-（4+3m2) (4-12m2)>0‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解，‎ 由韦达定理得：x1+x2=, x1x2= ，y1+y2=,y1y2‎ 假设在x轴上存在定点P(x0,0)，使为定值，则：‎ ‎(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2+y1y2-x0(x1+x2)+ x02=+-+x02‎ ‎=‎ 由题意，上式为定值，所以应有： ‎ 即：12x02-48=-15-24x0+12x02‎ 解得：x0=,此时 练习2．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的中垂线与交于点. ‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程.‎ ‎（Ⅱ）斜率不为0的动直线过点且与轨迹交于，两点，为坐标原点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由，得，‎ 所以，半径为4.‎ 因为线段的中垂线与交于点，所以，所以.‎ 所以点的轨迹是以，为焦点，且长轴长为的椭圆，所以.‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线，，.‎ 联立化简整理得，所以，.‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以 ‎.‎ 当，即时，取定值.‎ 练习3.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的上顶点，证明为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】（1）由可得，所以，即，从而椭圆．‎ 当轴时，，由，不妨取，，‎ 代入椭圆，得，故椭圆．‎ ‎（2）依题意，．当的斜率存在时，设，，，‎ 将代入的方程，得， ‎ 当时，，． ‎ ‎，因为，，‎ 所以 ． ‎ 由（1）得，当的斜率不存在时，，，‎ 所以．综上，．‎ ‎（八）定点定值综合 例8. 已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）答案见解析.‎ ‎（2）假设存在满足题设．‎ 当的斜率存在时，设， ， ，‎ 将代入的方程，得，‎ 当时， ，．‎ ‎，‎ 因为， ，‎ 所以 ‎． ‎ 所以当时，． ‎ 由（1）得，当的斜率不存在时， ， ，‎ 所以．‎ 综上，存在定点，使得．‎ 练习1. 已知圆，圆过点且与圆相切，设圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）点，为曲线上的两点（不与点重合），记直线的斜率分别为，若 ‎，请判断直线是否过定点. 若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） (2)见解析 ‎【解析】（1）设圆C的半径为r，依题意，|CB|＝r，|CD|＝4－r，‎ 进而有|CB|＋|CD|＝4，所以圆心C的轨迹是以D，B为焦点的椭圆，‎ 所以圆心C的轨迹方程为． ‎ ‎（2）设点的坐标分别为，‎ 设直线的方程为（直线的斜率存在），‎ 可得，‎ 整理为：，‎ 联立，消去得：，‎ 由，有，‎ 有，， ‎ ‎，可得，‎ 故有： ‎ 整理得：，解得：或，‎ 当时直线的方程为，即，过定点不合题意，‎ 当时直线的方程为，即，过定点．‎ 练习2．椭圆的右焦点为，为圆与椭圆的一个公共点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，过作直线与椭圆交于，两点，点为点关于轴的对称点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试问过，的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）解：设是椭圆的左焦点，连接，，.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.∴.‎ 又∵，，∴.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）（1）证明：① 当直线斜率为0时，的方程为，∴，等式显然成立；‎ ‎②当直线斜率不为0时，由题意，设的方程为.‎ ‎∵，，点为点关于轴的对称点，则.‎ 整理，得.‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴等式成立.‎ ‎（2）解：过，的直线过定点.‎ ‎①当直线斜率不为0时，∵，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即，即.‎ 由（1）可知，，‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎∴.∴过，的直线过定点；‎ ‎②当直线斜率为0时，的方程为，直线也过定点.‎ 综上可知，过，的直线过定点.‎ ‎（九）范围问题 例1．已知椭圆的焦距为，离心率为，其右焦点为，过点作直线交椭圆于另一点.‎ ‎（Ⅰ）若，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）3或1（Ⅱ）或.‎ ‎①当的坐标为时，，，且，‎ ‎∴；‎ ‎②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ 综上可知：或1. ‎ ‎（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在.设，，，‎ 由得：‎ 由得：，‎ ‎∵，∴即 ‎∴，结合得：∵，∴‎ 从而， ，‎ ‎∵点在椭圆上，∴，整理得：‎ 即，∴，或.‎ 练习1．已知椭圆直线，若椭圆上存在两个不同的点，关于对称，设的中点为.‎ ‎（1）证明：点在某定直线上；（2）求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) 或.‎ ‎【解析】（1）当时，显然不符合题意，舍；‎ 当时，设直线方程为，，， ‎ 则由相减，整理得，，‎ 即，.又，.，即.‎ ‎.故点在定直线上.‎ ‎（2）由（1）易得点，由题意知，点必在椭圆内部，‎ ‎，解得或.‎ 练习2．已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足．‎ ‎（i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；‎ ‎（ii）求面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）y2＝1；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）（0，1）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设条件，设ck，a＝2k，则b＝k，‎ ‎∴椭圆方程为1，把点（，）代入，得k2＝1，∴椭圆方程为y2＝1．‎ ‎（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．‎ 证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，设 ‎∴，．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，‎ ‎∴4k＝k1+k2，‎ ‎∴2kx1x2＝m（x1+x2），由此解得，验证△＞0成立．∴当k变化时，是定值．‎ ‎②S△OPQ|x1﹣x2|•|m|，令t＞1，得S△OPQ1，‎ ‎∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．‎ 练习3．已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点 求椭圆C的标准方程；‎ 直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；‎ 若，求直线AR的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】椭圆的一条准线方程是，可得，‎ 短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得， ‎ 解得，，，即有椭圆方程为；‎ 证明：由，，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，‎ 可得，解得或，即有，‎ ‎，，则，即为定值；‎ 由，可得，即，‎ 设AP的方程为，代入椭圆方程，可得，‎ 解得或，即有，将t换为可得，‎ 则R的坐标为，即有直线AR的斜率 ‎，可令，则，则，‎ 当时，，当且仅当时上式取得等号，‎ 同样当时，，时，，，则AR的斜率范围为