2018届二轮复习3

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第二讲 　 填空题压轴题突破 压轴热点一 　三角函数的图象、性质与解三角形 【 典例 1】 (2015 · 全国卷 Ⅰ) 在 平面四边形 ABCD 中，∠ A=∠B=∠C=75° ， BC=2 ① ，则 AB 的取值范围 ② 是 _____________. 【 信息联想 】 信息①：看到在平面四边形 ABCD 中，∠ A=∠B=∠C =75° ， BC=2 ，想到画出正确示意图，构造三角形， 利用正、余弦定理寻找边、角间关系 . 信息②：看到 AB 的取值范围，想到选适当的量利用 正、余弦定理表示 AB ，进而求出 AB 的取值范围 . 【 解题流程 】 第一步：画出正确示意图，构造可解三角形 . 如图所示，延长 BA ， CD 交于点 E ， 则可知在△ ADE 中，∠ DAE=105° ，∠ ADE=45° ，∠ E=30°. 第二步：引入变量，表示 AB. 设 AD= x ， CD=m ， 在△ AED 中，由正弦定理得， AE= x ， 因为 BC=2 ，在△ BCE 中，由正弦定理得， 即 sin30° · =2sin75° ， 所以 因为 m>0 ，所以 00,a 1 =1,a n+2 = ,a 100 =a 96 , 则 a 2 016 +a 3 =__________. 【 解析 】 因为 a 1 =1, 2. 已知 f(x )= ,x≥0, 若 f 1 (x)=f(x),f n+1 (x)= f(f n (x)),n∈N * , 则 f 2017 (x)=____________. 【 解析 】 f(x )= 因为 x≥0, 所以 1+x≥1, 所以 ≤ 1, 所以 1- ≥0, 即 f(x)≥0, 当且仅当 x=0 时取等号 , 故当 x=0 时 , f n (x )=0; 当 x>0 时 , f n (x )>0. 因为 f n+1 (x)= f(f n (x )), 所以 f n+1 (x)= 当 x>0 时 , 即 =1, 此时数列 { } 是以 为首 项 ,1 为公差的等差数列 , 所以 = +(n-1)×1= +(n-1)×1= , 所以 f n (x)= (x>0), 当 x=0 时 , 上式也成立 , 所以 f n (x )= (x≥0), 所以 f 2 017 (x)= . 答案 : 压轴热点三 　导数几何意义的应用 【 典例 3】 (2016 · 全国卷 Ⅱ) 若直线 y= kx+b 是 曲线 y= ln x +2 ② 的切线 ① ， 也是曲线 y=ln(x+1) ② 的 切线 ① ，则 b= _______ ． 【 信息联想 】 信息①：看到曲线 y=lnx+2 ， y=ln(x+1) 的切线，想到导数的几何意义 . 信息②：看到直线 y= kx+b 既是 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln(x+1) 的切线，想到两曲线切线的斜率相等，即导数值相等 . 【 解题流程 】 第一步：求导并设两曲线的切点坐标 . 由已知得 y′=(lnx+2)′= ， y′=[ln(x+1)]′= . 设直线 y= kx+b 与两曲线的切点分别为 P 1 (x 1 ， lnx 1 +2) ， P 2 (x 2 ， ln(x 2 +1)). 第二步：求切点坐标 . 因为 所以 所以 x 1 =x 2 +1. 此时切点 P 1 (x 2 +1 ， ln(x 2 +1)+2). 故切线斜率 k= 由 =2 ，得切点 P 1 的坐标为 第三步：求切线方程及 b 的值 . 由点斜式得切线方程为 y-2+ln2= 令 x=0 ，得 y=1-ln2 ，即 b=1-ln2. 答案： 1-ln2 【 规律方法 】 求曲线过点 P(x 0 ， y 0 ) 的切线方程的技巧 若已知曲线过点 P(x 0 ， y 0 ) ，求曲线过点 P(x 0 ， y 0 ) 的切线，则需分点 P(x 0 ， y 0 ) 是切点和不是切点两种情况求解 . (1) 点 P(x 0 ， y 0 ) 是切点的切线方程为 y-y 0 =f′(x 0 )(x-x 0 ). (2) 当点 P(x 0 ， y 0 ) 不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 P′(x 1 ， f(x 1 )) ； 第二步：写出过 P′(x 1 ， f(x 1 )) 的切线方程 y-f(x 1 ) =f′(x 1 ) · (x-x 1 ) ； 第三步：将点 P 的坐标 (x 0 ， y 0 ) 代入切线方程，求出 x 1 ； 第四步：将 x 1 的值代入方程 y-f(x 1 )=f′(x 1 )(x-x 1 ) ，可 得过点 P(x 0 ， y 0 ) 的切线方程 . 【 押题预测 】 1. 已知函数 f(x )=x 3 -3x, 若过点 A(0,16) 且与曲线 y= f(x ) 相切的切线方程为 y=ax+16, 则实数 a 的值是 ________. 【 解析 】 设切点为 M(x 0 ,y 0 ), 则 y 0 =f(x 0 )= -3x 0 　① . 由题意知 a=f′(x 0 )=3 -3,a= , 则 3 -3= 　 ② . 联立①②可解得 x 0 =-2,y 0 =-2, 所以 a= =9. 答案 : 9 2. 若对于曲线 f(x )=-e x - x(e 为自然对数的底数 ) 的任意切线 l 1 , 总存在曲线 g(x )=ax+2cosx 的切线 l 2 , 使得 l 1 ⊥ l 2 , 则实数 a 的取值范围为 ________. 【 解析 】 易知函数 f(x )=-e x -x 的导数为 f ′ (x )=-e x -1, 设 l 1 与曲线 f(x )=-e x -x 的切点为 (x 1 ,f(x 1 )), 则 l 1 的斜率 k 1 =- -1. 易知函数 g(x )=ax+2cosx 的导数为 g′(x )=a-2sinx, 设 l 2 与曲线 g(x )=ax+2cosx 的切点为 (x 2 ,g(x 2 )), 则 l 2 的斜率 k 2 =a-2sinx 2 . 由题设可知 k 1 · k 2 =-1, 从而有 (- -1)(a-2sinx 2 )=-1, 所以 a-2sinx 2 = , 故由题意知对任意 x 1 , 总存在 x 2 使得上述等式成立 , 则有 y 1 = 的值域是 y 2 =a-2sinx 2 值域的子集 , 则 (0,1)⊆[a-2,a+2], 则 所以 -1≤a≤2. 答案 : [-1,2]