2018届二轮复习圆锥曲线的综合问题课件（全国通用）

2018届二轮复习圆锥曲线的综合问题课件（全国通用）

第 3 讲　圆锥曲线的综合问题 高考定位 　 圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大 . 这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求 . 真 题 感 悟 考 点 整 合 1. 定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点 . 解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量 . 3. 求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系 . 该问题主要有以下三种情况： (1) 距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解 . (2) 斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系 . (3) 面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解 . 热点一　定点与定值问题 [ 微题型 1] 　 定点的探究与证明 (1) 求点 N 的轨迹方程； (2) 过点 A (0 ， 3) 作斜率分别为 k 1 ， k 2 的直线 l 1 ， l 2 ，与点 N 的轨迹分别交于 E ， F 两点， k 1 · k 2 ＝－ 9. 求证：直线 EF 过定点 . 探究提高 　 如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法 . [ 微题型 2] 　 定值的探究与证明 探究提高 　 定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定 “ 定值 ” 是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的 . 定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现 . 热点二　最值与范围问题 [ 微题型 1] 　 求线段长度、三角形面积的最值 探究提高 　 若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值 . [ 微题型 2] 　 求几何量、某个参数的取值范围 (1) 求实数 m 的取值范围； (2) 求 △ AOB 面积的最大值 ( O 为坐标原点 ). 1. 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握： (1) 从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关： (2) 直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3) 在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标 . 2. 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1) 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2) 代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ① 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ② 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； ③ 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④ 利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤ 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 .