2018届二轮复习二项分布与正态分布课件（全国通用）

2018届二轮复习二项分布与正态分布课件（全国通用）

第 五 节　 二项分布与正态分布 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 条件概率 . 2. 相互独立事件的概率 . 3. 二项分布 . 4. 正态分布 . (1) 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题 . (2) 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 . 　　主要考查条件概率和两个事件相互独立的概念、 n 次独立重复试验的模型及二项分布 . 根据正态密度曲线的对称性进行概率计算及正态随机变量在特定区间上的概率等问题 . 选择题主要是考查简单的计算问题，尤其是正态分布多以选择题、填空题形式考查，解答题往往与概率分布和数学期望相结合 . 　　预测 2016 年高考可能会对独立事件的概率、 n 次独立重复试验的概率、二项分布及根据正态曲线的基本性质进行相关量的运算是重点考查 . 正态分布可能会以选择题或填空题的形式考查 . 知识点一 二项分布及其应用 1. 条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率的性质 设 A ， B 为两个事件，且 P ( A )>0 ， 称 P ( B | A ) ______ ＝ 为 在 ______ 发生 的条件下 ， _______ 发生 的条件概率 ① 0 ≤ P ( B | A ) ≤ 1 ； ② 如果 B ， C 是两个互斥事件，则 P ( B ∪ C | A ) ＝ ______________ 注意：若 A ， B _________ ， 则 P ( B | A ) ＝ P ( B ) 事件 A 事件 B 相互独立 P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) 2. 相互独立事件 (1) 对于事件 A 、 B ，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A 、 B 是相互独立事件 . (2) 若 A 与 B 相互独立，则 P ( B | A ) ＝ P ( B ) ， P ( AB ) ＝ P ( B | A ) · P ( A ) ＝ P ( A )· P ( B ). (3) 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也都相互独立 . (4) 若 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) ，则 A 与 B 相互独立 . 3. 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在 _____ 条件 下重复做的 n 次试验为 n 次独立重复试验 在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X ，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) ，并称 p 为 _____ 概率 计算公式 用 A i ( i ＝ 1 ， 2 ， … ， n ) 表示第 i 次试验结果，则 P ( A 1 A 2 A 3 … A n ) ＝ P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) … P ( A n ) 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P ( X ＝ k ) ＝ _______________ ( k ＝ 0 ， 1 ， 2 ， … ， n ) 相同 成功 知识点二 正态分布 1. 正态曲线及性质 (1) 正态曲线的定义 (2) 正态曲线的特点 ① 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴 ______ ； ② 曲线是单峰的，它关于直线 _____ 对称； ③ 曲线在 x ＝ μ 处达到峰值 _______ ； 不相交 x ＝ μ ④ 曲线与 x 轴之间的图形的面积为 __ ； ⑤ 当 σ 一定时，曲线随着 __ 的变化而沿 x 轴平移，如图 ① ； ⑥ 当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定， σ 越小，曲线越 “ _____ ” ， σ 越大，曲线越 “ _____ ” ，如图 ② . 1 瘦高 矮胖 μ 2. 正态分布及三个常用数据 (1) 正态分布的定义及表示：如果对于任何实数 a ， b ( a < b ) ，随机变量 X 满足 P ( a < X ≤ b ) ＝ ___________ ，则称 X 的分布为正态分布，记作 X ～ N ( μ ， σ 2 ). (2) 正态分布的三个常用数据： ① P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6 ；　 ② P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.954 4 ； ③ P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ 0.997 4. 【 名师助学 】 1 . 本部分知识可以归纳为： (1) 四个条件：二项分布事件发生满足的四个条件： ① 每次试验中 ， 事件发生的概率都相同； ② 各次试验中的事件相互独立； ③ 每次试验结果只有发生、不发生两种情形； ④ 随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数 . (2) 一个图表： 方法 1 条件概率 【 例 1】 某科研所成功培育一种玉米新品种，经试验知该玉米品种的发芽率为 0.9 ，出芽后幼苗的成活率为 0.8 ，试求玉米新品种的一粒种子能成长为幼苗的概率 . [ 解题指导 ] 方法 2 独立重复试验与二项分布 [ 点评 ] 　多以解答题出现 ， 难度为中偏难 . 考查方式为求事件的概率分布列和期望等 . 考查内容为对事件类型的判断和知识点的考查置于实际问题之中 ， 将实际问题中的量用随机变量正确表示是解决问题的入口 . 方法 3 正态分布 服从正态分布的概率的求法 (1) 正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，其中 μ 是随机变量取值的均值，可用样本均值去估计， σ 是随机变量取值的标准差，可以用样本标准差去估计 . (2) 求正态总体 X 在某区间内取值的概率 ( 即正态曲线与 x 轴之间在这个区间上的面积 ) 的基本方法 ① 利用正态分布的三个常数数据，把所求的问题转化到这三个区间内解决 . ② 充分利用正态曲线的对称性及面积为 1 的性质 . 正态曲线关于直线 x ＝ μ 对称，从而在关于直线 x ＝ μ 对称的区间上，概率相等 . 在利用对称性转化区间时，要注意区间是关于直线 x ＝ μ 对称，而不是关于 x ＝ 0( μ ≠ 0 时 ) 对称 . 【 例 3】 (2014· 成都模拟 ) 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布 N (80 ， 5 2 ) ，现已知该班同学中成绩在 80 ～ 85 分的有 17 人 . 试计算该班成绩在 90 分以上的同学有多少人 . [ 解题指导 ] 本题主要考查正态分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取值在区间 ( μ － σ ， μ ＋ σ ) ， ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ) ， ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 内的概率值，将所给问题转化为上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用 . 解　 依题意，由 80 ～ 85 分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求 90 分以上同学的人数 . ∵ 成绩服从正态分布 N (80 ， 5 2 ) ， ∴ μ ＝ 80 ， σ ＝ 5 ， μ － σ ＝ 75 ， μ ＋ σ ＝ 85. 于是成绩在 (75 ， 85] 内的同学占全班同学的 68.26%. 由正态曲线的对称性知，成绩在 (80 ， 85] 内的同学占全班同学的 × 68.26% ＝ 34.13%. 设该班有 x 名同学，则 x × 34.13% ＝ 17 ，解得 x ≈ 50. 又 μ － 2 σ ＝ 80 － 10 ＝ 70 ， μ ＋ 2 σ ＝ 80 ＋ 10 ＝ 90 ， ∴ 成绩在 (70 ， 90] 内的同学占全班同学的 95.44%. ∴ 成绩在 (80 ， 90] 内的同学占全班同学的 47.72%. ∴ 成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 50% － 47.72% ＝ 2.28%. 即有 50 × 2.28% ≈ 1( 人 ) ，即成绩在 90 分以上的同学仅有 1 人 . [ 点评 ] 　解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性 ， 把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化 . 解题时要充分结合图形进行分析、求解 ， 要注意数形结合思想及化归思想的运用 . 方法 4 相互独立事件概率问题 要搞清事件间的关系 ( 是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立 ) ，正确区分 “ 互斥事件 ” 与 “ 对立事件 ” . 并且仅当事件 A 和事件 B 相互独立时，才有 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ). [ 点评 ] 　将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干乘积之和 ( 相互乘积的事件之间必须满足相互独立 ).