【数学】2020届数学文一轮复习第九章第7讲抛物线作业

【数学】2020届数学文一轮复习第九章第7讲抛物线作业

‎1．抛物线y＝ax2(a<0)的准线方程是(　　)‎ A．y＝－　　　　　　　 B.y＝－ C．y＝ D．y＝ 解析：选B.抛物线y＝ax2(a<0)可化为x2＝y，准线方程为y＝－.故选B.‎ ‎2．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是(　　)‎ A．y2＝12x B.y2＝8x C．y2＝6x D．y2＝4x 解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，‎ x1＋x2＋p＝8，‎ 因为AB的中点到y轴的距离是2，‎ 所以＝2，‎ 所以p＝4；‎ 所以抛物线方程为y2＝8x.故选B.‎ ‎3．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D.‎ 法二：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(‎ xx＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.‎ ‎4．设抛物线 y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么 ‎|PF|＝(　　)‎ A．4 B.8‎ C．8 D．16‎ 解析：选B.如图 ‎，由kAF＝－知∠AFM＝60°.‎ 又AP∥MF，所以∠PAF＝60°.‎ 又|PA|＝|PF|，所以△APF为等边三角形．‎ 故|PF|＝|AF|＝2|MF|＝2p＝8.‎ ‎5．已知点A(2，1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为(　　)‎ A．(2，1) B.(1，1)‎ C. D． 解析：选D.如图，设抛物线准线为l，作AA′⊥l于A′，PP′⊥l于P′，‎ 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|≥|AA′|，　‎ 即当P点为AA′与抛物线交点时，‎ ‎|PA|＋|PF|最小，此时P.‎ 故选D.‎ ‎6．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为________．‎ 解析：设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，‎ 所以xP＝，代入y2＝2x，‎ 得yP＝±，‎ 所以P.‎ 答案： ‎7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．‎ 解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，‎ ＝p，‎ 所以B.‎ 又因为点B在双曲线上，‎ 故－＝1，‎ 解得p＝6.‎ 答案：6‎ ‎8．过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线 x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，‎ 因为|PA|＝|AB|，‎ 所以又 得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为 ‎1＋＝.‎ 答案： ‎9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．‎ 解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，‎ 于是4＋＝5，‎ 所以p＝2.‎ 所以抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)因为点A的坐标是(4，4)，‎ 由题意得B(0，4)，M(0，2)．‎ 又因为F(1，0)，‎ 所以kFA＝，‎ 因为MN⊥FA，‎ 所以kMN＝－.‎ 所以FA的方程为y＝(x－1)，①‎ MN的方程为y－2＝－x，②‎ 联立①②，‎ 解得x＝，y＝，‎ 所以N的坐标为.‎ ‎10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以＝(－1，0)，‎ ＝(1，－a)，由题意得与的夹角为120°，‎ 得cos 120°＝＝－，解得a＝，‎ 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.‎ 答案：(x＋1)2＋(y－)2＝1‎ ‎4.‎ 如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.‎ 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，得p＝1.‎ 所以x2＝－2y.‎ 当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y，得x＝6，所以x0＝.‎ 所以水面宽|CD|＝2 m.‎ 答案：2 ‎5.‎ 如图，抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．‎ 解：(1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为 x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，‎ 消去x得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①‎ 因为＝2，‎ 所以y1＝－2y2.②‎ 联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.‎ 所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，‎ 得M是线段OC的中点，‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，‎ 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.‎ 因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|‎ ‎＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎ ‎6.‎ 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ ‎(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．‎ ‎(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．‎ 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．‎ 因为点P(1，2)在抛物线上，‎ 所以22＝2p×1，‎ 解得p＝2.‎ 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.‎ ‎(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.‎ 则kPA＝(x1≠1)，‎ kPB＝(x2≠1)，‎ 因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，‎ 所以kPA＝－kPB.‎ 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，‎ 得 所以＝－，‎ 所以y1＋2＝－(y2＋2)．‎ 所以y1＋y2＝－4.‎ 由 ①－②得，y－y＝4(x1－x2)，‎ 所以kAB＝＝＝－1.‎