2019届二轮复习利用导数研究函数的极值，最值学案（全国通用）

2019届二轮复习利用导数研究函数的极值，最值学案（全国通用）

第三章 导数 第04节 利用导数研究函数的极值，最值 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 导数在研究函数中的应用 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极 小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.‎ ‎2014•浙江文 21，理 22；‎ ‎2017•浙江卷20；‎ ‎2018•浙江卷22.‎ ‎1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势． ‎ ‎2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；‎ ‎3.适度关注生活中的优化问题.‎ ‎4.备考重点：‎ ‎ (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；‎ ‎(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．函数的极值 ‎ (1)函数的极小值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ ‎(2)函数的极大值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．‎ ‎2．函数的最值 ‎ (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 应用导数研究函数的极（最）值问题 ‎【1-1】【2018年理新课标I卷】已知函数，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ 详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.‎ ‎【1-2】【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知 a＞0 且 a≠1，则函数 f (x)＝(x－a)2lnx（ ）‎ A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，又无极小值 ‎【答案】C ‎【解析】分析：对函数求导，令，得或，根据函数的图象可得方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到函数既有极大值，又有极小值.‎ 详解：由题意，，由，得或，由方程，结合函数图象，作出和的图象，‎ 结合图象得和的图象有交点，∴方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到：函数 既有极大值，又有极小值具有极大值，也有极小值，故选C.‎ ‎【1-3】【2018届华大新高考联盟4月检测】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根．求出的导数，当 时，直接验证；当时，利用导数研究函数 的单调性可得，要使 有两个不同解，只需要 ‎ 解得即可．‎ ‎ ‎ 当 时，令 ，解得 ， 令 ，解得 ，此时函数单调递增； 令 ，解得 ，此时函数单调递减． ∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根， 则，解得． ∴实数 的取值范围是（.‎ ‎【1-4】【2018年文北京卷】设函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在x=1处取得极大值，不合题意.‎ ‎（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，‎ ‎∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.‎ ‎②当，即01时，随x的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.‎ ‎（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：‎ x ‎ ]‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.‎ 点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题. ‎ 解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.求函数f(x)极值的步骤：‎ ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求导数f′(x)；‎ ‎(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；‎ ‎(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．‎ ‎2. 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 ‎(1)求函数在(a，b)内的极值；‎ ‎(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；‎ ‎(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【变式二】【2019届四川省成都市摸底测试】若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：对函数求导，根据函数在内有且只有一个极值点，则，求出实数 的范围。‎ 详解：，因为函数在内有且只有一个极值点，所以，，又当时，，令，满足题意。所以，选C.‎ ‎【变式三】【2017北京，理19】已知函数． 学 ]‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎ ‎【解析】‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知函数f(x)＝(x－k)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．‎ 易错分析：解答本题时，易于忽视对k－1不同取值情况的讨论，而错误得到f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)．‎ 正确解析： (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. ]‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1.‎ f(x)与f′(x)的情况如下：‎ x ‎(－∞，k－1)‎ k－1‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎   所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．‎ ‎(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，‎ 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；‎ 当0，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；‎ 当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．‎ 所以f (x)<0在x=2处取得极小值．‎ 若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，‎ 所以f ′(x)>0．‎ 所以2不是f (x)的极小值点．‎ 综上可知，a的取值范围是（，+∞）．‎