【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二下学期4月月考（理）

【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二下学期4月月考（理）

甘肃省兰州市第一中学 2019-2020 学年 高二下学期 4 月月考（理） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、单项选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的) 2．函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图象如图所示．则函数 在 内有几个极小值点（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列事件 A,B 是独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上” B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数” D．A=“人能活到 20 岁”,B=“人能活到 50 岁” 4．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n﹣1）（n∈N+）时，由“n=k→n=k+1” 等式两边需同乘一个代数式，它是（　 　） A．2k+2 B．（2k+1）（2k+2） C． D． 5．直线 y＝kx+b 与曲线 y＝x3+ax+9 相切于点（3，0），则 b 的值为（　　） A．﹣15 B．﹣45 C．15 D．45 6．已知函数 ，则 的值为（ ） A．10 B． C． D．20 7．2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排 法的种数是（　　） ( )f x ( ),a b ( )f x′ ( ),a b ( )f x ( ),a b ( ) 2ln 8 1f x x x= + + ( ) ( ) 0 1 2 1lim x f x f x∆ → − ∆ − ∆ 10− 20− A．72 B．60 C．36 D．24 8．设随机变量 的分布列为 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 9．二颗骰子各掷一次，设事件 A=“二个点数不相同”，B=“至少出现一个 6 点”，则概率 等于（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 有且仅有一个极值点，则实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 12．已知 f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且 f（x）＞f´（x）对于 x∈R 恒成立 （e 为自然对数的底），则（　　） A．e2019•f（2020）＞e2020•f（2019） B．e2019•f（2020）=e2020•f（2019） C．e2019•f（2020）＜e2020•f（2019） D．e2019•f（2020）与 e2020•f（2019）大小不确定 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上） 13. 若 ，则 的值为 . 14．设随机变量 ，则 _______. 15．将 2 名教师，4 名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 小组由 1 名教师 2 名学生组成，不同的安排方案共有　 　种． 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） )( BAP 5 36 5 11 5 18 10 11 ξ ( )1,2,3,4,55 kP ak kξ = = =   1 1 10 2P ξ < <   3 5 4 5 2 5 1 5 )(ln)( axxxxf −= 2 1=a 0≤a 0≤a 2 1=a 0∴ + − < 1»ò 12 2 1 m m m  < − > − < < 12 2m∴− < < − 7 9 ( ) 2 10 2 10 71 9 xCP A C −= − = 5x = ( ) 3 5 5 3 10 , 0,1,2,3 k kC CP X k kC − = = = X 0 1 2 3 P 1 12 5 12 5 12 1 12 X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 2a a （1）求 a 的值； （2）若每个月被消费者投诉的次数互不影响，求该汽车品牌在五个月内被消费者投诉 3 次 的概率. 【解】(1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1，解答 a=0.2， …… ………… ……3 分 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 (2)设事件 A 表示“五个月内共被投诉 3 次”，事件 表示“五个月内有三个月被投诉 1 次，另 外两个月被投诉 0 次”，事件 表示“五个月内有一个月被投诉 2 次，另外一个月被投诉 1 次，还有三个月被投诉 0 次”，事件 表示“五个月内有一个月被投诉 3 次，另外四个月被 投诉 0 次”， 则由事件的独立性得 ， ， 所以 . 故该企业在这五个月内被消费者投诉 3 次的概率为 0.0052. …… ………… ……12 分 20.（本小题满分 12 分） 在 的展开式中，前 3 项的系数成等差数列，求 （1） 的值； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）展开式中含 的项的系数. 【解】（1）因为前 3 项的系数成等差数列，且前三项系数为 ， 1A 2A 3A 3 3 2 1 5 0) .1( 0.3P CA = × × 1 3 52 1 40.( ) 4 0.3 0.1P A C C= × × × × 1 4 53 0.2 0.1( )P CA = × × 1 2 3 0.0027 0.0024 0.0001 0.00( ) ( ) ( ) 5) 2(P A P A P A P A = + + == + + 4 1 2 n x x  +   n 2x− 0 1 21 1 2 4n n nC C C， ， 所以 ，即 ， 所以 （舍）或 . …… ………… ……4 分 （2）由 ，展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即 . ……8 分 （3）通项公式： 由 ， 所以含 的项的系数 . …… ………… ……12 分 21．（本小题满分 12 分） 一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为 万元，每生产 万件需要再投入 万元.设 该公司一个月内生产该小型产品 万件并全部销售完，每万件的销售收入为 万元，且 每万件国家给予补助 万元. （ 为自然对数的底数， 是一个常数.） （1）写出月利润 （万元）关于月产量 （万件）的函数解析式； （2）当月生产量在 万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值 （万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成 本）. 【解】（1）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得 …… ………… ……4 分 （2） 的定义域为 ， 且 列表如下： （1，e） + - 增 极大值 减 1 0 21 4n n nC C C= + 2 9 8 0n n− + = 1n = 8n = 8n = ( ) 444 5 8 4 1 35 82 T C x x x  = =   ( ) 38 4 4 1 8 84 1 1 ,0 822 r r rrr r rT C x C x r r N x − − ∗ +    = = ≤ ≤ ∈      ， 34 2, 84 r r− = − ∴ = 2x− 1 256 1 1 2 x 4 x− 2 ln 12 e xe x x − − e e ( )f x x [1 ]2e, 2 ln 1( ) (4 2 2) 1e xf x x x e x x = − + − − − − 2 2( 1) 2 ln 2( 0)x e x e x x= − + + − − > 2( ) 2( 1) 2 ln 2f x x e x e x= − + + − − [1 ]2e, 2 2( 1)( )( ) 2 2( 1) ( 0)e x x ef x x e xx x − −= − + + − = − >′ (1, )e e ( ,2 ]e e ( )f x′ 0 ( )f x ( )f e 由上表得： 在定义域 上的最大值为 . 且 .即：月生产量在 万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利 润最大值为 ，此时的月生产量值为 （万 件）. …… ………… ……12 分 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 在 处有极值 ． （1）求 的解析式； （2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【解】（1） ， ， 因为函数 在 处有极值 ， 得 ， ，解得 ， ， 所以 ； …… ………… ……4 分 （2）法一 不等式 恒成立，即 恒成立， 令 ， 则不等式 对任意的 恒成立，则 . ． 又 函数 的定义域为 . ①当 时，对任意的 ， ，则函数 在 上单调递增． 又 ，所以不等式 不恒成立； 2( ) 2( 1) 2 ln 2f x x e x e x= − + + − − [1 ]2e, ( )f e 2( ) 2f e e= − [1 ]2e, 2( ) 2f e e= − e ( ) lnf x m x nx= + 1 3x = ln3 1− − ( )f x x ( ) ( )22 2 8 1f x ax a x≤ + − − a ( ) lnf x m x nx= + ( ) mf x nx ′∴ = + ( )y f x= 1 3x = ln3 1− − 1 3 03f m n ′ = + =   1 1 1ln ln3 13 3 3f m n  = + = − −   1m = 3n = − ( ) ln 3f x x x= − ( ) ( )22 2 8 1f x ax a x≤ + − − ( ) ( )22 2 8 1 0f x ax a x − + − − ≤  ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 8 1 2ln 2 2 1g x f x ax a x x ax a x = − + − − = − + − +  ( ) 0g x ≤ ( )0,x∈ +∞ ( )max 0g x ≤ ( ) ( ) ( )( )22 2 2 2 2 1 12 2 2 2 ax a x x axg x ax ax x x − + − + − + −′ = − + − = =  ( )y g x= ( )0, ∞+ 0a ≤ 0x > ( ) 0g x′ > ( )y g x= ( )0, ∞+ ( ) ( )1 3 1 0g a= − > ( ) ( )22 2 8 1f x ax a x≤ + − − ②当 时， ． 令 ，得 ，当 时， ；当 时， ． 因此，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． 故函数 的最大值为 ，由题意得需 . 令 ， 函数 在 上单调递减， 又 ，由 ，得 ， ， 因此，实数 的取值范围是 ； …… ………… ……12 分 法二 不等式 恒成立，即 恒 成立 即 恒成立. 令 ，知 令 ，则由 知 为（x>0）增函数. 而当 01 时 h(x)>0. 即当 0 ( ) ( )12 1a x xag x x  − − +  ′ = ( ) 0g x′ = 1x a = 10,x a  ∈   ( ) 0g x′ > 1 ,x a  ∈ +∞   ( ) 0g x′ < ( )y g x= 10, a      1 ,a  +∞   ( )y g x= 1 12ln 1g aa a   = − + −   1 12ln 1 0g aa a   = − + − ≤   ( ) 12ln 1h a a a = − + −  ( )y h a= ( )0, ∞+ ( )1 0h = ( ) 0h a ≤ ( ) ( )1h a h≤ 1a∴ ≥ a [ )1,+∞ ( ) ( )22 2 8 1f x ax a x≤ + − − 0,x∀ > ( )22ln 6 2 8 1x x ax a x− ≤ + − − 0,x∀ > 2 2ln 2 1 2 x xa x x + +≥ + 2 2ln 2 1( ) 2 x xg x x x + += + 2 2 2( 1)( ) (2ln 1)( 2 ) xg x x xx x +′ = − + −+ ( ) 2ln 1h x x x= + − 2( ) 1 0h x x ′ = + > ( ) 2ln 1h x x x= + − ( ) 0g x′ > 当 x=1 时 , 当 x>1 时 . 故 …… ………… ……12 分 ( ) 0g x′ = ( ) 0g x′ < max ( ) (1) 1g x g= = 1a∴ ≥