2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业13变化率与导数导数的计算含解析苏教版

2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业13变化率与导数导数的计算含解析苏教版

1 课时作业 13　变化率与导数、导数的计算 一、选择题 1．函数 y＝1 x＋cosx 的导数是(　B　) A．y′＝1 x2－sinx B．y′＝－1 x2－sinx C．y′＝1 x2＋cosx D．y′＝1 x2－cosx 解析：∵函数 y＝1 x＋cosx， ∴y′＝(1 x )′＋(cosx)′＝－1 x2－sinx. 2．设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝(　D　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：对函数求导得 y′＝a－ 1 x＋1，因为点(0,0)在曲线上，且切线方程为 y＝2x，所以 a－1＝2，所以 a＝3. 3．如果曲线 y＝x4－x 在点 P 处的切线垂直于直线 y＝－1 3x，那么点 P 的坐标为(　A　) A．(1,0) B．(0，－1) C．(0,1) D．(－1,0) 解析：设点 P(a，b)，则 b＝a4－a，由题得 y′＝4x3－1.因为曲线 y＝x4－x 在点 P 处的 切线垂直于直线 y＝－1 3x，所以 4a3－1＝3，所以 a＝1.所以 b＝14－1＝0，所以点 P 的坐标 为(1,0)． 4．(2020·焦作模拟)已知 f(x)＝xlnx＋f′(1) x ，则 f′(1)＝(　B　) A．1 B．1 2 C．2 D．e 解析：f′(x)＝1＋lnx－f′(1) x2 ，令 x＝1， 得 f′(1)＝1－f′(1)，解得 f′(1)＝1 2. 5．(2020·河北唐山模拟)已知函数 f(x)＝Error! 为奇函数，则 f(x)在 x＝2 处的切线斜率等于(　B　) A．6 B．－2 2 C．－6 D．－8 解析：设 x>0，则－x<0，f(－x)＝x 2－2x，又 f(x)为奇函数，则 f(x)＝－f(－x)＝－x 2＋ 2x，f′(x)＝－2x＋2，则 f′(2)＝－2.故选 B. 6．(2020·兰州诊断)若点 P 是函数 y＝ 2sinx sinx＋cosx图象上任意一点，直线 l 为点 P 处的切 线，则直线 l 倾斜角的取值范围是(　C　) A．[0，π 4] B．[π 4，π 3] C．[π 4，π 2) D．(π 2，3π 4 ] 解析：因为 sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π 4)，由 x＋π 4≠kπ，k∈Z，知函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ －π 4，k∈Z}．设直线 l 的倾斜角为 θ， y′＝2[cosx(sinx＋cosx)－sinx(cosx－sinx)] (sinx＋cosx)2 ＝ 2 [ 2sin(x＋π 4 )]2 ＝ 1 sin2(x＋π 4 ) . 因为 00，即 m>1 e即可，故选 B. 3 二、填空题 9．(2020·重庆七校联考)已知函数 f(x)＝lnx＋2x2－4x，则函数 f(x)的图象在 x＝1 处的切 线方程为 x－y－3＝0. 解析：因为 f(1)＝ln1＋2－4＝－2，所以切点为(1，－2)．因为 f′(x)＝1 x＋4x－4，所以 切线斜率 k＝f′(1)＝1.所以切线方程为 y＋2＝x－1，即 x－y－3＝0. 10．已知函数 f(x)＝x＋a x＋b(x≠0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝2x＋5，则 a－ b＝－8. 解析：∵f(x)＝x＋a x＋b，∴f′(x)＝1－a x2，∴f′(1)＝1－a＝2，∴a＝－1.∵f(1)＝1＋a＋ b＝7，∴b＝7，则 a－b＝－1－7＝－8. 11．(2020·贵州适应考试)阅读材料： 借助上述思路，曲线 y＝(2x－1)x＋1，x∈(1 2，＋∞)在点(1,1)处的切线方程为 4x－y－3＝ 0. 解析：根据题中材料将函数 y＝(2x－1)x＋1 转化为 lny＝ln(2x－1)x＋1＝(x＋1)ln(2x－1)， 两边同时求导数，得1 y×y′＝ln(2x－1)＋(x＋1)× 1 (2x－1)×2＝ln(2x－1)＋2(x＋1) 2x－1 ，∴y′＝ [ln(2x－1)＋2(x＋1) 2x－1 ]·(2x－1)x＋1， ∴y′|x＝1＝[ln(2x－1)＋2(x＋1) 2x－1 ](2x－1)x＋1|x＝1＝4， ∴切线方程为 y－1＝4(x－1)，即 4x－y－3＝0. 12．(2020·南昌二模)已知 f(x)＝4lnx－x2，若曲线 y＝f(x)在点(1，－1)处的切线与曲线 y ＝x2－3x＋m 相切，则 m 的值是13 4 . 解析：因为 f(x)＝4lnx－x2，所以 f′(x)＝4 x－2x，所以 f′(1)＝2，所以曲线 y＝f(x)在点 (1，－1)处的切线方程为 y＋1＝2(x－1)，即 y＝2x－3. 由Error!得 x2－5x＋m＋3＝0，因为直线与曲线相切，所以 Δ＝25－4(m＋3)＝0，解得 m ＝13 4 . 三、解答题 13．已知函数 f(x)＝x3－4x＋2 及其图象上一点 M(1，－1)． (1)若直线 l1 与函数 f(x)的图象相切于点 M(1，－1)，求直线 l1 的方程； 4 (2)若函数 f(x)的图象的切线 l2 经过点 M(1，－1)，但 M 不是切点，求直线 l2 的方程． 解：(1)f′(x)＝3x2－4，f′(1)＝－1，所以直线 l1 的斜率 k1＝－1，所以直线 l1 的方程为 y＋1＝－(x－1)，即 x＋y＝0. (2)设切点坐标为(x0，f(x0))，x0≠1，则切线 l2 的方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 因为直线 l2 经过点 M(1，－1)，所以－1－f(x0)＝f′(x0)(1－x0)．其中 f(x0)＝x30－4x0＋2， f′(x0)＝3x20－4，于是－1－(x30－4x0＋2)＝(3x20－4)(1－x0)，整理得 2x30－3x20＋1＝0，即(x0－ 1)2(2x0＋1)＝0，又 x0≠1，所以 x0＝－1 2. 所以切点为(－1 2，31 8 )， 直线 l2 的斜率 k2＝f′(－1 2 )＝－13 4 ， 所以直线 l2 的方程为 y－31 8 ＝－13 4 (x＋1 2 )，即 y＝－13 4 x＋9 4. 14．已知函数 f(x)＝1 3x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线 C. (1)求曲线 C 上任意一点处的切线斜率的取值范围； (2)若曲线 C 存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取 值范围． 解：(1)由题意得 f′(x)＝x2－4x＋3，则 f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线 C 上任意一点 处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k(k≠0)， 则由题意并结合(1)中结论可知Error! 解得－1≤k<0 或 k≥1， 则－1≤x2－4x＋3<0 或 x2－4x＋3≥1， 解得 x∈(－∞，2－ 2]∪(1,3)∪[2＋ 2，＋∞)． 15．(2020·石家庄质检)将函数 y＝ex(e 为自然对数的底数)的图象绕坐标原点 O 顺时针旋 转角 θ 后第一次与 x 轴相切，则角 θ 满足的条件是(　B　) A．esinθ＝cosθ B．sinθ＝ecosθ C．esinθ＝1 D．ecosθ＝1 解析：由题意得 x 轴绕坐标原点 O 逆时针旋转角 θ 后第一次与 y＝ex 的图象相切，设切 点为(x0，e x0)，∵y′＝ex， ∴e x0 x0 ＝ex0，∴x0＝1，∴tanθ＝e，∴sinθ＝ecosθ，故选 B. 16．(2020·安徽淮南一模)已知函数 f(x)＝x2－lnx. (1)求函数 f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)在函数 f(x)＝x2－lnx 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直， 5 且切点的横坐标都在区间[1 2，1 ]上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意可得 f(1)＝1，且 f′(x)＝2x－1 x，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为 y－ 1＝1×(x－1)，即 y＝x. (2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1，x2∈[1 2，1 ]，不 妨设 x10， 所以 f(x)在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增． 因为 f(e)＝1－e＋1 e－1<0，f(e2)＝2－e2＋1 e2－1＝e2－3 e2－1>0，所以 f(x)在(1，＋∞)有唯一零点 x1， 即 f(x1)＝0. 又 0<1 x1<1，f(1 x1)＝－lnx1＋x1＋1 x1－1＝－f(x1)＝0， 故 f(x)在(0,1)有唯一零点1 x1. 综上，f(x)有且仅有两个零点． (2)证明：因为1 x0＝e－lnx0，故点 B(－lnx0，1 x0)在曲线 y＝ex 上． 由题设知 f(x0)＝0，即 lnx 0 ＝x0＋1 x0－1，连接 AB，则直线 AB 的斜率 k＝ 1 x0－lnx0 －lnx0－x0＝ 1 x0－x0＋1 x0－1 －x0＋1 x0－1－x0 ＝1 x0. 曲线 y＝ex 在点 B(－lnx0，1 x0)处切线的斜率是 1 x0，曲线 y＝lnx 在点 A(x0，lnx0)处切线的 斜率也是1 x0，所以曲线 y＝lnx 在点 A(x0，lnx0)处的切线也是曲线 y＝ex 的切线． 6