甘肃省兰州市城关区兰州第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

甘肃省兰州市城关区兰州第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题 高二数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）‎ ‎1.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线焦点在轴上，则得到答案.‎ ‎【详解】因为抛物线的方程为，所以其焦点在轴上，‎ 则抛物线的焦点坐标是.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.‎ ‎2.若命题“”为真命题，则( )‎ A. 为假命题 B. 为假命题 C. 为真命题 D. 为真命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题“p∧(¬q)”为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,进而得到结果.‎ ‎【详解】命题“p∧(¬q)”为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,则q为假命题,故B正确；p∨q为真命题；¬p为假命题，¬q为真命题,故得到(¬p)∧(¬q)‎ 为假命题.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎3.已知条件，条件，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，：；‎ ‎，：，‎ 因此从集合角度分析可知是的充分不必要条件，选A.‎ ‎4.曲线与的关系是(　 )‎ A. 有相等的焦距，相同的焦点 B. 有相等的焦距，不同的焦点 C. 有不等的焦距，不同的焦点 D. 以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两个椭圆的焦点坐标与焦距的大小即可得到结果．‎ ‎【详解】曲线与0＜k＜9）都是椭圆方程，焦距为：‎2c=8，2 =8，焦距相等，的焦点坐标在x轴，的焦点坐标在y轴，故两者的焦点不同.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆简单性质的应用，考查计算能力．注意和椭圆方程有关的题目，通常会应用到注意.‎ ‎5.i是虚数单位，　　‎ A. i B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质计算．‎ ‎【详解】，‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．‎ ‎6.复数 z 满足条件，则复数z所对应的点Z的轨迹是（ ）‎ A. 双曲线 B. 双曲线的右支 C. 线段 D. 一条射线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用 表示复数Z对应的点Z到点和到点的距离之差等于，得到Z的轨迹是一条射线．‎ ‎【详解】复数Z满足条件，‎ 设,为虚数的单位，‎ 则，‎ ‎ ‎ 它表示复数Z对应的点到点和到点的距离之差等于， 故点Z的轨迹是一条射线. 故选：D ‎【点睛】题考查两个复数差的绝对值的几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，复数的模的定义，判断条件代表的几何意义，是解题的关键，属于基础题.‎ ‎7.下列说法错误的是（ ）‎ A. 回归直线过样本点的中心.‎ B. 对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1‎ D. 在回归直线方程＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线性回归的有关知识即可判断出．‎ ‎【详解】A．回归直线过样本点的中心，故A正确； B．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，故B不正确； C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故C正确； D．在线性回归方程＝0.2x＋0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，故D正确．‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎8.对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断．‎ A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 变量x 与中y随x增大而减小，为负相关；u 与v中，u 随v的增大而增大，为正相关．‎ ‎9.过抛物线y2＝8x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝（ ）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线方程，算出焦点为，准线方程为．利用抛物线的定义，有，结合PQ经过焦点且，即可得答案.‎ ‎【详解】由抛物线方程为y2＝8x，可得, ‎ 抛物线的焦点为，准线方程为．‎ 根据抛物线的定义，得 ‎ 所以 又PQ经过焦点F，且， .‎ 故选：C ‎【点睛】本题经过抛物线的焦点的弦PQ，在已知P、Q横坐标之和的情况下求PQ的长．着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题．‎ ‎10.对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式成立的充分不必条件要是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出关于[x]的不等式的解集，然后根据新定义得到的范围,从而得到答案．‎ ‎【详解】由，得.‎ 又表示不大于x的最大整数，所以 ．‎ 那么不等式成立的充分不必条件，‎ 即选出不等式的解集的一个非空真子集即可.‎ 根据选项则B选项满足.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和充分条件的选择，考查学生理解新定义的能力，是一道中档题．‎ ‎11.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由双曲线的几何性质可得焦点坐标以及渐近线的方程，进而由点到直线的距离公式计算可得答案．‎ ‎【详解】双曲线：的方程化为：.‎ 所以双曲线的焦点在轴上，且.‎ 渐近线方程为：，‎ 取的坐标为，取一条渐近线.‎ 则点到的一条渐近线的距离，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程，计算出焦点坐标以及渐近线的方程．属于基础题.‎ ‎12.已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出以为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式．从而求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】显然 在椭圆内，‎ 设直线与椭圆的交点为，‎ 由是的中点有：,‎ 将两点的坐标代入椭圆方程得:‎ ‎, 。‎ 两式相减得：,‎ 即,‎ 所以有，即 所以，‎ 则椭圆的离心率为： .‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率和中点弦的有关应用，中点公式及斜率公式的应用，本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法．属于基础题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在复平面内，复数对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则点C对应的复数可求．‎ ‎【详解】对应的点分别为A、B.‎ 则在复平面内，，‎ 则线段AB的中点，即 点C对应的复数是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎14.若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是 ________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的性质得到关于a的不等式，解出即可．‎ 详解】∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0，‎ 则△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了特称命题的真假，考查二次函数的性质，是一道基础题．一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．‎ 注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定．‎ ‎15.已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ 由题可知：利用椭圆的定义可得：.利用三角形三边的大小关系可得.‎ ‎16.已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列三个结论：‎ ‎①必为直角三角形；‎ ‎②直线必与抛物线相切；‎ ‎③的面积为．其中正确的结论是___．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①，验证是否成立即可得到结论是否正确；对于②，求出直线PM的方程后与抛物线方程联立消去得到关于的二次方程，根据判别式的符号进行验证即可得到结论是否正确；对于③，根据三角形的面积公式求出的面积后进行验证即可．‎ ‎【详解】对于①：由题意得抛物线的焦点为 ‎∴‎ 过F作轴的垂线交抛物线于M，N两点，则，‎ ‎∴F为MN的中点，且 ‎∴为等腰直角三角形，故①正确；‎ 对于②：直线PM的方程为，‎ 由消去整理得 ‎∴‎ ‎∴直线PM与抛物线相切，故②正确；‎ 对于③：由题意得，故③正确．‎ 综上可得正确结论的序号为①②③．‎ 故答案为①②③‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，求解的关键是借助于代数运算进行求解，考查转化和计算能力以及运用知识解决问题的能力，属于基础题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简命题p：－2≤x≤10，若￢p是￢q的必要不充分条件等价于q是p的必要不充分条件，从而可列出不等式组，求解即可.‎ ‎【详解】由题意得p：－2≤x≤10. ‎ ‎ ∵￢p是￢q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件． ‎ ‎∴p⇒q，qp.‎ ‎∴∴∴m≥9. ‎ ‎ 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．‎ ‎【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，逆否命题，属于中档题.‎ ‎18.已知直线和椭圆相交于A，B两点，且a＝2b，若，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a＝2b将椭圆方程化为，然后和直线方程联立，利用弦长公式求解.‎ ‎【详解】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由,消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.‎ 则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.‎ ‎∵，∴，‎ 即，解得b2＝4，故a2＝4b2＝16. ∴所求椭圆的方程为 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，根据弦长求椭圆方程，属于基础题,‎ ‎19.某校在高二年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查.现从高二年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.‎ ‎(1)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.‎ ‎(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 女生 合计 参考公式：，其中.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0500‎ ‎0.400‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意计算男、女生选修社会科学类与自然科学类的人数，填写列联表即可； （2）计算K 2，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】解：(1)根据统计数据，可得2×2列联表如下：‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 ‎60‎ ‎45‎ ‎105‎ 女生 ‎30‎ ‎45‎ ‎75‎ 合计 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ ‎(2)则K2的观测值为，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎20.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，试求的值.‎ ‎【答案】（1）x2－y2＝6.（2）0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程. （2）先求出的解析式，把点M(3，m)代入双曲线，可得到答案.‎ ‎【详解】解：(1)　∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).‎ ‎∵双曲线过点，∴16－10＝λ，即λ＝6. ‎ ‎ ∴双曲线的方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)由(1)可知，a＝b＝，‎ 得c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ‎，‎ 从而 由于点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查向量的数量积公式，属于中档题．‎ ‎21.设抛物线C顶点在原点，焦点F在y轴上，开口向上，焦点到准线的距离为 ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)已知抛物线C过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，求证： 为定值．‎ ‎【答案】(1) x2＝y.‎ ‎(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出抛物线方程，由焦点到准线的距离为可得，结合焦点在上，即可求得抛物线方程；(2)将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及平面向量数量积的坐标运算，即可求得为定值.‎ ‎【详解】(1)由焦点到准线的距离为知p＝，2p＝，抛物线的标准方程为x2＝y.‎ ‎(2)设直线l的方程为：y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由 得：x2－kx－＝0，∴x1x2＝－‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋4(x1x2)2＝－为定值 ‎【点睛】本题主要考查待定待定系数法求抛物线方程、圆锥曲线的定值问题，属于中档题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎22.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交于，两点，.‎ ‎(1)求抛物线方程；‎ ‎(2)点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）依题意，分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得抛物线方程.‎ ‎（2）设，，则，，直线联立直线方程与抛物线方程可得，点到直线的距离，则，当且仅当时等号成立，直线方程为或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，‎ 当直线的斜率不存在时，‎ 当直线的斜率存在时，设 由，化简得 由得，，所以抛物线方程.‎ ‎（2）设，，则，又由，可得 因为，，所以，故直线 由，化简得，所以.‎ 所以 设点到直线的距离为，则 所以，当且仅当，即 ‎,.‎ 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎